فيديو الدرس: خواص المحددات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

خواص المحددات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد خواص مختلفة للمحددات، وكيف نستخدم هذه الخواص لتبسيط المسائل. قبل أن نبدأ في سرد خواص المحددات، يمكننا استرجاع أننا نعرف بالفعل عدة طرق لحساب قيم المحددات لمصفوفات مختلفة.

على سبيل المثال، نحن نعلم أنه يمكننا حساب قيمة محدد مصفوفة مربعة عن طريق جمع حواصل ضرب عناصر الأقطار وطرحها. أو يمكننا حساب قيمة محدد مصفوفة عن طريق الفك باستخدام الصف الأول. وبإمكاننا أيضًا توضيح أنه يمكننا الفك باستخدام أي صف أو عمود من المصفوفة. وسنحصل على القيمة نفسها للمحدد. وهذا يعني أنه يمكننا اختيار أي صف أو عمود من المصفوفة للفك باستخدامه لحساب قيمة محدد المصفوفة؛ وعليه، يمكننا اختيار أسهل صف أو عمود. يمكننا استخدام هذه النتيجة لإثبات خاصية مفيدة للغاية للمحددات.

إذا كانت لدينا مصفوفة مربعة تتضمن صفًّا أو عمودًا جميع عناصره أصفار، يمكننا إذن حساب قيمة محدد هذه المصفوفة بالفك باستخدام الصف الصفري أو العمود الصفري. وفي هذه العملية الحسابية، سيحتوي كل حد على عامل يساوي صفرًا. إذن، سيكون بإمكاننا إثبات أن محدد هذه المصفوفة يساوي صفرًا. ويجدر التأكيد هنا على أنه يمكننا حساب قيمة محدد المصفوفات المربعة فقط. لذا، عندما نتحدث عن خواص المحددات، فإننا نفترض أن جميع هذه المصفوفات مربعة. وبخلاف ذلك، لن نتمكن من حساب محدد هذه المصفوفة.

ثمة خاصية أخرى مفيدة يمكننا توضيحها؛ وهي أن أخذ مدور المصفوفة لا يؤثر على محددها. بعبارة أخرى، لأي مصفوفة مربعة ﺃ، فإن محدد مدور المصفوفة ﺃ يساوي محدد المصفوفة ﺃ، ودعونا نسترجع أنه لإيجاد مدور أي مصفوفة، فإن صفوف المصفوفة تكتب في صورة أعمدة مناظرة في الترتيب بالمصفوفة الجديدة. قبل المتابعة، تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا إثبات جميع خواص المحدد الموضحة في هذا الفيديو. وستتضمن معظم براهين الخواص استخدام تعريف المحدد والتأكد من أن طرفي المعادلة الأيمن والأيسر متساويان. ولكن كما سنلاحظ، هناك الكثير من خواص المحددات، ومن ثم لن يسعنا إثباتها كلها في هذا الفيديو.

وقبل أن ننتقل إلى الخاصية التالية، هناك أمر آخر مفيد. يمكننا استخدام النتائج التي تشير إلى أن محدد المصفوفة يساوي محدد مدورها. بمعنى أنه إذا أردنا إثبات إحدى الخواص السابقة التي تتضمن صفوفًا وأعمدة لمصفوفة ما، فإننا نعلم أن محدد المصفوفة يساوي محدد مدورها. كما نعلم أن صفوف المصفوفة ﺃ هي أعمدة مدور المصفوفة ﺃ. لذا، سيكون علينا فقط إثبات هذه الخاصية بالنسبة إلى الصفوف، ثم استخدام خاصية المدور لنثبت أنها تنطبق على الأعمدة.

الخاصية التالية التي يمكننا توضيحها هي أنه إذا كانت جميع العناصر الموجودة في صف أو عمود واحد من المصفوفة لها عامل مشترك، يمكننا إذن أخذ هذا العامل المشترك خارج المحدد. ويمكننا تناول مثال على ذلك. سنتناول محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ اثنان، واحد، خمسة، ١٠. في هذه المصفوفة، نلاحظ أن الصف الثاني يحتوي على العامل المشترك خمسة. وتخبرنا خواص المحدد أنه بإمكاننا أخذ العامل المشترك خمسة قبل حساب قيمة المحدد. ونجد أنه يصبح لدينا خمسة في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ اثنان، واحد، واحد، اثنان. ويمكننا حساب طرفي هذه المعادلة كل على حدة.

في المصفوفة الأولى، نحسب الفرق بين حاصلي ضرب عنصري كل من القطرين. وهذا يعطينا اثنين في ١٠ ناقص خمسة في واحد، وهو ما يساوي ١٥. وسنفعل الأمر نفسه في المصفوفة الثانية. ونحسب الفرق بين حاصلي ضرب عنصري كل من القطرين. وهذا يعطينا اثنين في اثنين ناقص واحد في واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. وبعد ذلك، سنضرب هذا الناتج في العامل خمسة لنجد أن الطرف الأيسر من المعادلة يساوي ١٥ أيضًا.

ثمة خاصية أخرى مفيدة يمكننا توضيحها؛ وهي أنه إذا كانت المصفوفة المربعة تحتوي على صف أو عمود متكرر، فإن محددها يساوي صفرًا. وهذه النتيجة يمكن أن تكون مفيدة للغاية في إيجاد محددات المصفوفات الكبيرة. يجب أن نتحقق دائمًا مما إذا كان هناك صف أو عمود متكرر في أي مصفوفة حتى نقرر أن محددها يساوي صفرًا.

الخاصية المفيدة التالية التي يمكننا توضيحها هي أنه إذا بدلنا أي صفين أو عمودين من المصفوفة، فهذا سيغير إشارة محدد تلك المصفوفة. ولكي نرى مثالًا على هذا، سنبدل عمودي المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ اثنان، واحد، خمسة، ١٠. بالتبديل بين العمود الأول والعمود الثاني، نحصل على المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ واحد، اثنان، ١٠، خمسة. ولدينا ترميز لذلك؛ وهو ﻉ واحد يرمز إلى العمود الأول من المصفوفة، وﻉ اثنان يرمز إلى العمود الثاني منها. ونستخدم هنا سهمًا ثنائي الرأس للتعبير عن التبديل بين العمودين. إذن، إذا حسبنا قيمة محدد هذه المصفوفة، فسنحصل على واحد مضروبًا في خمسة ناقص ١٠ مضروبًا في اثنين، وهو ما يعطينا سالب ١٥؛ أي سالب المصفوفة الأصلية. وبذلك، نجد أن تبديل أي صفين أو عمودين من المصفوفة يغير إشارة المحدد.

هناك خاصية أخرى يمكننا توضيحها بشأن المحددات؛ وهي أنه يمكننا جمع المضاعفات القياسية لصفوف أو أعمدة المصفوفة مع صفوف أو أعمدة أخرى من المصفوفة أو طرحها منها دون التأثير على المحدد. ولمساعدتنا في معرفة ما يعنيه هذا، دعونا نتناول مثالًا حول ذلك. إذا أردنا حساب قيمة محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ واحد، ثلاثة، صفر، اثنان، يمكننا فعل ذلك مباشرة، أو يمكننا إعادة كتابة المصفوفة باستخدام هذه الخاصية. وبدلًا من العمود الثاني هنا، نطرح ثلاثة مضروبًا في العمود الأول من المصفوفة. وتذكر أن هذه الخاصية تضمن أن هذا لن يؤثر على قيمة المحدد. ومن ثم، يمكننا كتابة هذا على الصورة ﻉ اثنين ناقص ثلاثة ﻉ واحد بدلًا من ﻉ اثنين. وبطرح ثلاثة أمثال العمود الأول من العمود الثاني، نحصل على صفر، اثنين.

ومن ثم، فإن محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ واحد، ثلاثة، صفر، اثنان يساوي محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ واحد، صفر، صفر، اثنان. تفيد هذه الخاصية تحديدًا في مساعدتنا على تبسيط محددات المصفوفات من الرتبة ثلاثة في ثلاثة والرتب الأعلى.

لا يزال هناك عديد من خواص المحددات التي يمكننا توضيحها. لذا، دعونا نفرغ بعض المساحة ونتناول بعض الخواص الأخرى. الخاصية التالية التي يمكننا توضيحها هي أنه إذا ضربنا جميع عناصر صف أو عمود في العوامل المرافقة المناظرة لها في صف أو عمود مختلفين، فإن مجموع هذه القيم يساوي صفرًا. وهذه خاصية معقدة إلى حد ما، لذا من الأسهل معرفة ما يعنيه ذلك باستعراض مثال. دعونا نبدأ بتطبيق هذه الخاصية على المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة، ثمانية، تسعة. وسنستخدم الصف الأول من هذه المصفوفة، ولكن تذكر أنه يمكننا استخدام أي صف أو عمود من هذه المصفوفة.

حسنًا، إننا نريد الآن ضرب كل عنصر بهذا الصف من المصفوفة في العوامل المرافقة المناظرة له بصف آخر منها. وعندما نجمع هذه القيم، يجب أن نحصل على صفر. دعونا نضرب هذه العناصر في العوامل المرافقة المناظرة لها بالصف الثالث من المصفوفة؛ أي الصف الذي به العناصر سبعة، ثمانية، تسعة. سنبدأ بإيجاد المصفوفة الصغرى التي نحصل عليها من العنصر سبعة في هذه المصفوفة. ونجد أنها محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي نحصل عليها عن طريق إزالة العمود الأول والصف الثالث من المصفوفة. وهي المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ اثنان، ثلاثة، خمسة، ستة. تذكر أن علينا التحقق من إشارة هذا العنصر بتحديد زوجية أو فردية مجموع رقم الصف ورقم العمود، وهذا العنصر يوجد في العمود الأول والصف الثالث. ومجموع رقميهما يساوي أربعة، وهو عدد زوجي. إذن، هذه مصفوفة صغرى موجبة.

وأخيرًا، في هذه الخاصية، نضرب هذه المصفوفة الصغرى في العنصر المناظر لها في الصف الأول. لذا، سنضربها في واحد. وبعد ذلك، يمكننا فعل الشيء نفسه مع العنصر التالي في هذا الصف. ونجد أن المصفوفة الصغرى لهذا العنصر هي محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ واحد، ثلاثة، أربعة، ستة. ثم علينا أخذ سالب هذه القيمة. وأخيرًا، علينا ضربها في العنصر المناظر لها في الصف الأول؛ وهو اثنان.

سنفعل الشيء نفسه مع العنصر الثالث في هذا الصف. ويصبح لدينا ثلاثة في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ واحد، اثنان، أربعة، خمسة. وتنص خاصية المصفوفات هذه على أن هذا المجموع يجب أن يساوي صفرًا. لذا، يمكننا حساب ذلك للتأكد من أن هذا صحيح في الحالة لدينا. وهناك طريقة أخرى مختلفة قليلًا يمكننا تناول هذه الخاصية من خلالها. يمكننا قول إننا نحسب قيمة محدد هذه المصفوفة عن طريق الفك باستخدام الصف الثالث من المصفوفة. لكننا نستخدم معاملات الصف الأول بدلًا من ذلك.

وثمة خاصية مفيدة أخرى للمحددات يمكننا توضيحها؛ وهي أن محددات أي مصفوفة مثلثية مربعة تساوي حاصل ضرب جميع عناصر قطرها الرئيسي. وهناك بعض الأمور التي تجدر الإشارة إليها هنا. ينطبق هذا أولًا على المصفوفات المثلثية العليا والسفلى. وبالمثل، بما أن المصفوفات القطرية هي مصفوفات مثلثية عليا وسفلى معًا، فإن هذه الخاصية تنطبق أيضًا على المصفوفات القطرية. وأخيرًا، إذا كان أي عنصر من العناصر الموجودة في القطر الرئيسي للمصفوفة المثلثية يساوي صفرًا، فسيحتوي حاصل الضرب هذا على عامل يساوي صفرًا. إذن، محددها يساوي صفرًا، وبذلك تكون غير قابلة للعكس. دعونا نستخدم هذه الخاصية في مثال.

سنفترض أننا نريد حساب محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ واحد، اثنان، ثلاثة، صفر، أربعة، خمسة، صفر، صفر، ستة. يمكننا هنا ملاحظة أننا نحسب قيمة محدد مصفوفة مثلثية عليا؛ لأن جميع العناصر التي تقع تحت القطر الرئيسي تساوي صفرًا. وبذلك، تخبرنا الخاصية أنه يمكننا حساب محدد هذه المصفوفة عن طريق حساب حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي. وهذا يعطينا واحدًا في أربعة في ستة، وهو ما يساوي ٢٤.

الخاصية التالية التي سنتناولها تنطبق على أي مصفوفة مربعة من أي رتبة، وتنطبق على أي صف أو عمود فيها. ولكن، إذا أردنا تضمين كل هذه الاحتمالات في العبارة، فستكون العبارة نفسها معقدة للغاية. لذا، سنذكر هذه الخاصية بالنسبة إلى الصف الأول فقط من مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. ولكن، هذا ينطبق أيضًا على أي صف وأي عمود وأي مصفوفة مربعة من أي رتبة.

يمكن تقسيم محدد أي مصفوفة مربعة — يكتب فيها أحد الصفوف أو الأعمدة في صورة مجموع — على النحو التالي. إنه يساوي مجموع قيمتي محددي المصفوفتين التاليتين. والفرق الوحيد بين هاتين المصفوفتين هو أننا قسمنا الصف أو العمود الذي كان مكتوبًا على صورة مجموع في المصفوفة الأصلية. فالمصفوفة الأولى بها الحدود الأولى في كل من هذه المجاميع، والمصفوفة الثانية بها الحدود الثانية في كل منها.

وأخيرًا، يجدر التأكيد هنا على أنه بالرغم من أن العبارة التي كتبناها مرتبطة هنا بالصف الأول فقط من المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، فإن العبارة تنطبق على أي مصفوفة مربعة، كما تنطبق على أي صف أو أي عمود من المصفوفة. والأمر الثاني الذي قد لا نلاحظه في هذه العبارة هو أنها تنطبق أيضًا بشكل عكسي. بعبارة أخرى، إذا كنا نحسب مجموع قيمتي محددي مصفوفتين أو قيم محددات أكثر من مصفوفتين حيث يكون الاختلاف الوحيد في عمود أو صف واحد فقط، فإنه يمكننا عندئذ جمع هذه الصفوف أو الأعمدة معًا بحيث نحسب قيمة محدد مصفوفة واحدة فقط.

ثمة خاصيتان أخريان للمحددات علينا توضيحهما. أولًا، محدد حاصل ضرب مصفوفتين يساوي حاصل ضرب محددي المصفوفتين، وبالطبع يجب أن يكون ﺃ وﺏ مصفوفتين مربعتين. وإذا كانا بخلاف ذلك، فلن نتمكن من حساب محدديهما. يمكننا استخدام هذه الخاصية لتوضيح خاصية مفيدة أخيرة. محدد ﺃ في ﺃ يساوي محدد ﺃ مضروبًا في محدد ﺃ. بعبارة أخرى، محدد ﺃ في ﺃ يساوي محدد ﺃ الكل تربيع.

يمكننا المتابعة بتوضيح أنه إذا كان لدينا أس صحيح موجب ﻥ، فإن محدد المصفوفة ﺃ أس ﻥ يساوي محدد المصفوفة ﺃ الكل مرفوع للقوة ﻥ. دعونا نتناول الآن بعض الأمثلة على كيفية استخدام خواص المحددات هذه لتبسيط المسائل التي تتضمن محددات مصفوفات مختلفة وإيجاد قيمها.

أوجد قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ أربعة، واحد، سالب ثمانية، سالب ستة، ثلاثة، ستة، صفر، صفر، صفر.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. وقد نرغب في البدء مباشرة وإيجاد قيمة هذا المحدد عن طريق الفك باستخدام الصف الأول. وسيكون ذلك مفيدًا؛ وسنحصل على الإجابة الصحيحة. لكن عندما يطلب منا إيجاد قيمة محدد ما، يمكننا دائمًا التحقق مما إذا كان بإمكاننا تبسيط المسألة باستخدام خواص المحددات. وفي هذه المسألة، يمكننا ملاحظة أن الصف الثالث من هذه المصفوفة جميع عناصره أصفار.

دعونا إذن نسترجع الحقيقة الآتية حول محددات المصفوفات. إذا كانت جميع عناصر صف أو عمود في مصفوفة مربعة هي أصفار، فإن محددها يساوي صفرًا أيضًا. وجدير بالذكر في هذه الحالة أن هذا مطابق تمامًا لقولنا إننا سنحسب قيمة محدد المصفوفة عن طريق الفك باستخدام الصف الثالث؛ وذلك لأنه عند حساب قيمة المحدد، يكون لكل حد عامل يساوي صفرًا. إذن، محدد هذه المصفوفة سيظل صفرًا. وفي كلتا الحالتين، تمكنا من توضيح أن محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ أربعة، واحد، سالب ثمانية، سالب ستة، ثلاثة، ستة، صفر، صفر، صفر يساوي صفرًا؛ لأن المصفوفة تتضمن صفًّا جميع عناصره أصفار.

دعونا الآن نتناول مثالًا آخر على حساب قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة دون الفك باستخدام الصفوف أو الأعمدة.

بدون فك، أوجد قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ ثمانية، سالب ثلاثة، سالب اثنين، سبعة، واحد، سالب ثمانية، ٢٤، سالب تسعة، سالب ستة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. ويمكننا فعل ذلك بالفك باستخدام أي من صفوفها أو أعمدتها. ولكن، مطلوب منا بشكل صريح في السؤال أن نفعل ذلك من دون فك. هناك طرق مختلفة يمكننا استخدامها لإيجاد قيم المحددات باستخدام خواص مختلفة للمحدد. على سبيل المثال، يمكننا استرجاع أن بإمكاننا جمع المضاعفات الخطية للصفوف والأعمدة مع صفوف وأعمدة أخرى من المصفوفة أو طرحها منها. وهذا لن يؤثر على قيمة محدد هذه المصفوفة.

إذن، يمكننا استخدام هذه الخاصية لمحاولة إعادة كتابة هذه المصفوفة على صورة مصفوفة مثلثية عليا. ثم إيجاد قيمة محدد المصفوفة المثلثية العليا الذي يساوي حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسي. ولكن هذه العملية معقدة، لذا يجب علينا دائمًا التحقق مما إذا كانت هناك طريقة أسهل أولًا. يمكننا البدء بتذكر أن بوسعنا أخذ العوامل المشتركة بين عناصر صف أو عمود من المصفوفة. وعلى وجه التحديد، يمكننا هنا ملاحظة أن عناصر الصف الثالث من هذه المصفوفة لها عامل مشترك يساوي ثلاثة. بأخذ ثلاثة عاملًا مشتركًا من هذا الصف، يصبح لدينا ثلاثة مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ ثمانية، سالب ثلاثة، سالب اثنين، سبعة، واحد، سالب ثمانية، ثمانية، سالب ثلاثة، سالب اثنين.

في هذه المرحلة، يمكننا أيضًا ملاحظة أن العناصر الموجودة في العمود الثالث من هذه المصفوفة لها عامل مشترك يساوي اثنين أو سالب اثنين. ويمكننا إخراج هذا العامل من المصفوفة بالطريقة نفسها. لكن، بإمكاننا إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة باستخدام خاصية مختلفة. نلاحظ هنا أن الصف الأول من هذه المصفوفة يساوي صفها الثالث. ولعلنا نسترجع أنه إذا كانت المصفوفة تحتوي على صف أو عمود متكرر، فإن محددها يساوي صفرًا. إذن، نظرًا لأن الصفين الأول والثالث متكرران في هذه المصفوفة، يمكننا استنتاج أن محددها يساوي صفرًا، وهو ما يعطينا ثلاثة في صفر، وهذا يساوي صفرًا.

وقبل أن ننتهي من هذا السؤال، تجدر الإشارة هنا إلى أننا أوضحنا خاصية مفيدة للمصفوفات. لقد أوضحنا أنه إذا كان أحد صفوف أو أعمدة هذه المصفوفة مضاعفًا قياسيًّا لصف أو عمود آخر بها، فإن محددها يساوي صفرًا. وفي كلتا الحالتين، استطعنا توضيح أن محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ ثمانية، سالب ثلاثة، سالب اثنين، سبعة، واحد، سالب ثمانية، ٢٤، سالب تسعة، سالب ستة يساوي صفرًا.

سنتناول الآن مثالًا على دمج عدة محددات في محدد واحد.

أوجد قيمة محدد المصفوفة: سالب ستة، واحد، واحد، واحد زائد محدد المصفوفة: سالب خمسة، واحد، واحد، واحد زائد محدد المصفوفة: سالب أربعة، واحد، واحد، واحد. ونستمر في جمع محددات مصفوفات على هذه الصورة وصولًا إلى محدد المصفوفة: ١٠، واحد، واحد، واحد.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة مقدار. ويمكننا أن نلاحظ في هذا المقدار أن كل حد هو محدد مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين. لذا، فإن إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال هي إيجاد قيم جميع هذه المحددات ثم جمعها معًا. ولكن يمكننا تبسيط هذا المقدار أولًا باستخدام خواص المحددات.

للقيام بذلك، علينا ملاحظة أمر مثير للاهتمام بشأن جميع المصفوفات المعطاة. نلاحظ هنا أن الصف الثاني في جميع هذه المصفوفات متطابق تمامًا. وهناك خاصية من خواص المحددات تخبرنا كيف نجمع مصفوفتين تتضمنان صفًّا واحدًا أو عمودًا واحدًا مختلفًا. دعونا نسترجع معًا أنه يمكننا جمع محددي مصفوفتين بهما العناصر نفسها باستثناء صف أو عمود واحد مناظر، عن طريق دمج هذه العناصر في مصفوفة واحدة، بحيث نجمع العناصر المناظرة في الصف أو العمود المختلف.

والآن، يمكننا استخدام هذه الخاصية لجمع محددين معًا. لكن نلاحظ في هذه المسألة أن جميع المصفوفات على الصورة نفسها. لذا، سنطبق هذه الخاصية على جميع الحدود. إذن، لاستخدام هذه الخاصية في هذا المجموع، فإننا نعرف أولًا أن الصف الثاني من هذه المصفوفة سيكون واحد، واحد. وبعد ذلك، سيكون العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة هو مجموع كل العناصر الموجودة في الصف الأول والعمود الأول من الحدود لدينا. وهذا بالطبع يساوي سالب ستة زائد سالب خمسة. ونستمر في جمع الأعداد الصحيحة على هذه الصورة حتى ١٠.

وسنفعل الشيء نفسه مع العناصر الموجودة في الصف الأول والعمود الثاني. لكننا نلاحظ أن هذه العناصر جميعها العدد واحد. إذن، عند جمع هذه العناصر معًا، نحصل على عدد الحدود. وعدد الحدود من سالب ستة إلى ١٠ يساوي ١٧. إذن، باستخدام خواص المحددات، تمكنا من إعادة كتابة مجموع المحددات في صورة محدد واحد.

والآن، لإيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، علينا أن نوجد قيمة المجموع الموجود في الصف الأول والعمود الأول. هناك عدة طرق للقيام بذلك. على سبيل المثال، هذه متتابعة حسابية حدها الأول هو سالب ستة والفرق المشترك هو واحد. إذن، يمكننا استخدام صيغة مجموع المتتابعة الحسابية المنتهية. ولكن، ثمة طريقة أخرى لفعل ذلك. يمكننا ملاحظة أن الحد سالب ستة يلغي العدد ستة، وسالب خمسة يلغي العدد خمسة، ويستمر ذلك حتى نصل إلى سالب واحد الذي يلغي العدد واحدًا. وبالطبع، إضافة صفر لن تغير قيمة المجموع. إذن، يمكن تبسيط ذلك ليعطينا سبعة زائد ثمانية زائد تسعة زائد ١٠. وإذا حسبنا هذه القيمة، فسنجد أنها تساوي ٣٤. وعليه، فإن مجموع هذه المحددات يساوي محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ ٣٤، ١٧، واحد، واحد.

وأخيرًا، يمكننا إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة بإيجاد الفرق بين حاصلي ضرب عنصري كل من قطريها. وهذا يعطينا ٣٤ في واحد ناقص ١٧ في واحد، وهو ما يساوي ١٧. وبذلك، نكون قد تمكنا من إيجاد قيمة مجموع هذه المحددات باستخدام خواص المحددات. لقد تمكنا من توضيح أن هذا المجموع يساوي ١٧.

دعونا نتناول الآن مثالًا أخيرًا على استخدام خواص المحددات للإجابة عن الأسئلة.

لدينا محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: ﺱ، ﺹ، ﻝ، ﻭ يساوي ستة. أوجد قيمة محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: ﺱ ناقص ١٠ﺹ، ﺹ، ﻝ ناقص ١٠ﻭ، ﻭ.

في هذا السؤال، لدينا قيمة محدد مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، ومطلوب منا إيجاد قيمة محدد مصفوفة أخرى من الرتبة اثنان في اثنين. وهاتان المصفوفتان بهما أربع قيم مجهولة، لذا لا يمكننا إيجاد هذه القيم مباشرة. قد نرغب في فك محدد المصفوفة الأولى، ثم فك محدد المصفوفة الثانية ومحاولة إعادة كتابة هذا التعبير بدلالة المحدد الأول. ولكن، هناك طريقة أبسط بكثير تتضمن خواص المحددات.

لفعل ذلك، علينا ملاحظة أمر مثير للاهتمام بشأن المصفوفة الثانية. في العنصر الأول بالعمود الأول، نطرح ١٠ﺹ، وفي العنصر الثاني بالعمود الثاني، نطرح ١٠ﻭ. وهذا هو العمود الثاني من المصفوفة الأولى مضروبًا في عدد ثابت. في الواقع، إننا نطرح هذا مباشرة من العمود الأول بتلك المصفوفة. بعبارة أخرى، لتكوين المصفوفة الثانية، فإننا نطرح ١٠ أمثال العمود الثاني من العمود الأول بالمصفوفة الأولى. ويمكننا استرجاع أن جمع المضاعفات القياسية لصف أو عمود مع صف أو عمود مختلفين أو طرحها منهما لن يؤثر على قيمة المحدد. ومن ثم، فإن محدد المصفوفة الثانية سيساوي محدد المصفوفة الأولى، والذي علمنا أنه يساوي ستة.

دعونا الآن نستعرض بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لقد أوضحنا في البداية أن بإمكاننا استخدام خواص المحددات المتعددة لتبسيط التعبيرات التي تتضمن محددات. وهذا يعني أنه عندما يكون لدينا تعبير يتضمن محددات أو عندما يطلب منا إيجاد قيمة محدد، فعلينا دائمًا التحقق مما إذا كان بإمكاننا تبسيط هذه المسألة باستخدام خواص المحددات. وهناك العديد من خواص المحددات التي لا يمكننا سردها كلها في النقاط الرئيسية.

إليك بعضًا منها؛ إيجاد مدور المصفوفة المربعة لا يؤثر على محددها. وإذا كانت جميع العناصر الموجودة في صف أو عمود من المصفوفة المربعة تساوي صفرًا، فإن محدد هذه المصفوفة يساوي صفرًا أيضًا. وإذا كانت مصفوفة مربعة تحتوي على صف أو عمود متكرر، فإن محدد هذه المصفوفة يساوي صفرًا. ومحدد أي مصفوفة مثلثية هو حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسي. وبالطبع، هذا يشمل المصفوفات القطرية أيضًا.