نسخة الفيديو النصية
باستخدام البارامتر ﺭ، اكتب معادلتين بارامتريتين تصفان الخط المستقيم الموضح.
في هذا السؤال، لدينا خط مستقيم. وعلينا استخدام هذا الشكل المعطى لكتابة معادلتين بارامتريتين تمثلان هذا الخط المستقيم، حيث نرمز إلى البارامتر بـ ﺭ. لكي نفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر كيفية إيجاد معادلتين بارامتريتين تمثلان خطًّا مستقيمًا. لعلنا نتذكر أن المعادلتين البارامتريتين للخط المستقيم تكون على الصورة ﺱ يساوي ﺱ واحد زائد ﺃ في ﻙ، وﺹ يساوي ﺹ واحد زائد ﺏ في ﻙ، حيث تقع النقطة التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد على الخط المستقيم، والمتجه ﺃ، ﺏ يوازي الخط المستقيم، وهو متجه غير صفري.
تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا اختيار أي نقطة على الخط المستقيم لكي تكون النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد. كما يمكننا اختيار أي متجه غير صفري مواز للخط المستقيم ليكون المتجه ﺃ، ﺏ. واختيار أي نقطة أو متجه سيعطينا مجموعة مختلفة من المعادلات البارامترية للخط المستقيم. لكن جميعها المعادلات البارامترية نفسها. نلاحظ أن لدينا هنا نقطة تقع على الخط المستقيم بالفعل. فالنقطة اثنان، ثلاثة تقع على الخط المستقيم. إذن في المعادلتين البارامتريتين لهذا الخط المستقيم، سنجعل ﺱ واحد يساوي اثنين، وﺹ واحد يساوي ثلاثة. كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد متجه غير صفري مواز للخط المستقيم. وهناك العديد من الطرق المختلفة لفعل ذلك.
إحدى هذه الطرق هي ملاحظة أن لدينا الزاوية التي يصنعها الخط المستقيم مع المحور ﺱ. يمكننا تذكر أن ظل هذه الزاوية يساوي ميل الخط المستقيم. يعني هذا أن ﻡ يساوي ظل الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة. وهذه إحدى الزوايا الخاصة. نتذكر أن ظل الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على ثلاثة. وبما أن ميل الخط المستقيم يوضح لنا مقدار الإزاحة لأعلى أو لأسفل على الخط لكل وحدة إلى اليمين، يمكننا ملاحظة أن الخط المستقيم الذي ميله ﻡ سيكون موازيًا للمتجه واحد، ﻡ. وبما أن قيمة ﻡ هي جذر ثلاثة على ثلاثة، فلا بد أن يكون هذا الخط المستقيم موازيًا للمتجه واحد، جذر ثلاثة على ثلاثة. فكلما تحركنا وحدة واحدة في اتجاه اليمين، يتحرك الخط بمقدار جذر ثلاثة على ثلاثة وحدة لأعلى.
يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد مجموعة من المعادلات البارامترية لهذا الخط المستقيم. في المعادلتين البارامتريتين لدينا، نعوض عن ﺱ واحد باثنين، وعن ﺹ واحد بثلاثة، وعن ﺃ بواحد، وعن ﺏ بجذر ثلاثة على ثلاثة. ومن ثم، نحصل على ﺱ يساوي اثنين زائد ﺭ، وﺹ يساوي ثلاثة زائد جذر ثلاثة على ثلاثة مضروبًا في ﺭ. وهذه إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال. لكن هناك العديد من الطرق الأخرى لإيجاد معادلات بارامترية مختلفة تمثل أيضًا هذا الخط المستقيم. على سبيل المثال، بدلًا من استخدام ظا ٣٠ درجة لإيجاد ميل الخط المستقيم، يمكننا حساب جا ٣٠ درجة وجتا ٣٠ درجة.
يمكننا مثلًا رسم هذا المثلث القائم الزاوية الذي يتضمن زاوية قياسها ٣٠ درجة. نحن نعلم أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا، ودالة الجيب تمثل النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الوتر. ومن ثم، فإن النسبة بين هذين الطولين يجب أن تساوي نصفًا. إحدى طرق تمثيل ذلك هي أننا نساوي طول الضلع المقابل لهذه الزاوية بنصف، ونساوي طول الوتر بواحد. وبالمثل، توضح لنا نسبة جيب التمام النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر. يمكننا تذكر أن جتا ٣٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على اثنين. وهذه طريقة ثانية لإيجاد متجه غير صفري يوازي الخط المستقيم.
لكل حركة بمقدار جذر ثلاثة على اثنين وحدة في اتجاه اليمين، نتحرك نصف وحدة لأعلى. إذن يمكننا إيجاد معادلتين بارامتريتين أخريين تمثلان الخط المستقيم باستخدام ﺱ واحد يساوي اثنين، وﺹ واحد يساوي ثلاثة، وﺃ يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وﺏ يساوي نصفًا. ومن ثم، نحصل على ﺱ يساوي اثنين زائد ﺭ في جذر ثلاثة على اثنين، وﺹ يساوي ثلاثة زائد ﺭ مقسومًا على اثنين. لكن هناك العديد من الصور المختلفة الأخرى الممكنة لهاتين المعادلتين البارامتريتين.
بذلك نكون قد تمكننا من إيجاد طريقتين مختلفتين لكتابة معادلتين بارامتريتين تمثلان الخط المستقيم الموضح. وهاتان المعادلتان هما ﺱ يساوي اثنين زائد ﺭ جذر ثلاثة على اثنين، وﺹ يساوي ثلاثة زائد ﺭ على اثنين.
