فيديو السؤال: تحديد الحد العام للمتتابعة التي لا تحتوي على أي أعداد أولية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أي من متتابعات الأعداد الصحيحة الآتية لا يحتوي على أي أعداد أولية؟ الخيار أ: اثنان ﻥ زائد واحد، الخيار ب: اثنان ﻥ زائد ثلاثة، الخيار ج: اثنان ﻥ زائد أربعة، الخيار د: اثنان ﻥ زائد خمسة.

نبدأ بتذكر أن العدد الأولي هو عدد لا يقبل القسمة إلا على واحد وعلى نفسه. فالأعداد اثنان وثلاثة وسبعة، على سبيل المثال: أعداد أولية. لكن العدد تسعة ليس أوليًّا؛ فبالإضافة إلى كون العددين واحد وتسعة عاملين له، فإن العدد ثلاثة أحد عوامله أيضًا. والآن هيا نطبق قاعدة الأعداد الأولية تلك على المتتابعات الناتجة عن هذه الخيارات الأربعة المعطاة. يمكن إنتاج متتابعة باستخدام الدليل ﻥ. وعادة ما تبدأ هذه المتتابعة بقيمة صحيحة لـ ﻥ، وتكون تلك القيمة واحدًا أو أكبر. إذن الحد الأول دليله واحد، والحد الثاني دليله اثنان، والحد الثالث دليله ثلاثة، وهكذا. ولكي نوجد حدود المتتابعة، نعوض بقيم ﻥ في الحد النوني أو الحد العام.

هيا نتناول الحد العام المعطى في الخيار أ، ونوجد حدود المتتابعة. سوف نتمكن بعد ذلك من معرفة إذا ما كانت هذه المتتابعة ستحتوي على أي أعداد أولية أم لا. إذا بدأنا بالقيمة واحد للدليل، فسنوجد الحد الأول في المتتابعة، وهو اثنان في واحد زائد واحد، وهو ما يعطينا القيمة ثلاثة. إذن الحد الأول في هذه المتتابعة هو ثلاثة. يمكننا المتابعة والتعويض عن ﻥ بالقيم اثنين وثلاثة وهكذا. لكن لنتأمل العدد ثلاثة. للعدد ثلاثة عاملان فقط، هما واحد وثلاثة. وهذا يعني أن ثلاثة عدد أولي. ومن ثم إذا فكرنا في السؤال «هل هذه المتتابعة لا تحتوي على أي أعداد أولية؟»، فإن الإجابة هي لا؛ لأنه من الواضح أن الحد الأول في المتتابعة عدد أولي بالفعل.

هيا نكرر هذه العملية مع الحد النوني المعطى في الخيار ب، وهو الحد العام اثنان ﻥ زائد ثلاثة. الحد الأول في هذه المتتابعة دليله ﻥ يساوي واحدًا. هذه المرة سيكون لدينا اثنان في واحد زائد ثلاثة، وهذا يعطينا خمسة. ومن ثم نتساءل إذا ما كان العدد خمسة عددًا أوليًّا أم لا، هل له أي عوامل أخرى غير الواحد والخمسة؟ وبما أن العدد خمسة ليس له عوامل أخرى غير الواحد والخمسة، فهو عدد أولي، وهذا يعني أن بوسعنا استبعاد خيار الإجابة ب. إذن نحن نعلم أن ذلك الحد العام ينتج عددًا أوليًّا واحدًا على الأقل.

هيا نكرر الخطوات نفسها مع الخيار ج. يمكننا الحصول على الحد الأول في هذه المتتابعة بضرب اثنين في واحد ثم إضافة أربعة. وهذا يعطينا القيمة ستة. وبما أننا نعلم أن العدد ستة له أكثر من عاملين، فهو ليس عددًا أوليًّا. لنجرب إذن بعض الحدود الأخرى في هذه المتتابعة. الحد الثاني في هذه المتتابعة دليله ﻥ يساوي اثنين. وبناء عليه، نوجد قيمة اثنين في اثنين زائد أربعة. وهذا يعطينا ثمانية. ونحن نعلم أن ثمانية ليس عددًا أوليًّا كذلك. يمكننا المضي قدمًا في هذه المتتابعة، وسيكون الحد الثالث فيها هو ١٠. ربما نكون الآن قد بدأنا بإدراك النمط الذي تتبعه هذه المتتابعة التي تحتوي على الحدود ستة، وثمانية، و ١٠، وهكذا. وقد نتساءل بعد ذلك عما نصف به هذه المتتابعة.

ربما لاحظنا أن جميع القيم في هذه المتتابعة أعداد زوجية. بم يمكننا وصف الأعداد الأولية والأعداد الزوجية؟ في الواقع، لا يوجد سوى عدد أولي واحد يكون أوليًّا وزوجيًّا في الوقت نفسه، وهو اثنان. ونحن نعلم أن كل الأعداد الزوجية الأخرى غير الاثنين لها أكثر من عاملين. ولأن هذه المتتابعة تبدأ بالقيمة ستة ثم تتزايد، فإنها لا تتضمن العدد اثنين. ومن ثم فإن هذه المتتابعة التي حدها العام اثنان ﻥ زائد أربعة لن تحتوي على أي أعداد أولية. وبذلك نكون قد توصلنا إلى إجابة السؤال. ومع ذلك، فلنتناول الخيار الأخير أيضًا.

الحد الأول في المتتابعة ذات الحد النوني اثنين ﻥ زائد خمسة هو اثنان في واحد زائد خمسة، وهذا يساوي سبعة. لكننا نعلم أن سبعة عدد أولي. ومن ثم لا يمكننا القول إن هذه المتتابعة لا تحتوي على أي أعداد أولية. إذن يمكننا استنتاج أنه من بين هذه الخيارات الأربعة المختلفة، هناك متتابعة واحدة فقط لا تحتوي على أي أعداد أولية، وهي المتتابعة التي لها الحد العام اثنان ﻥ زائد أربعة.