تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: مسقط المتجه

سوزان فائق

يوضح الفيديو مسقط المتجه على متجه آخَر، وكيفية استنتاج القانون المستخدم، وكيفية كتابة متجه على شكل محصلة متجهين متعامدين أحدهما مسقط على متجه آخَر.

١٣:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على مَسقَط المتجه.

هنعرف إزاي نُسقط متجه على متجه آخر في اتجاهه أو عكس اتجاهه. إزاي هنوجد له المعيار والاتجاه. بيمكن تحليل المتجه إلى مركّبتين عموديتين. وغالبًا بتكون المركّبتين دول أفقية ورأسية. ولكن من المفيد أحيانًا أن تكون إحدى المركّبتين موازية لمتجه آخر. يعني مثلًا لو عندنا قوة معيَّنة بنحلّلها لمركّبتين متعامدتين، بنبقى محتاجين أحيانًا إن القوة دي ناخدها في اتجاه قوة أخرى؛ علشان نعرف القوة المحصّلة. أو عايزين نعرف القوة الناتجة هتبقى متوجّهة فين للمتجه التاني ده. فإحنا عايزين نوجد مسقط المتجه الأولاني، اللي هي القوى الأساسية، في اتجاه قوة تانية. وده اللي بنقول عليها: موازية لمتجه آخر.

لإيجاد مسقط متجه على متجه آخر، بنستخدم القانون اللي قدامنا ده: إذا كان المتجه أ والمتجه ب متجهين غير صفريين. وكان المتجه أ واحد والمتجه أ اتنين مركّبتي المتجه أ. بحيث إن كان أ واحد، اللي هو المتجه أ واحد، بيوازي المتجه ب، كما بالشكل. إذن المتجه أ واحد هو مسقط المتجه أ على المتجه ب. وبنحسب قيمته، اللي هو بيساوي المتجه أ، ضرب قياسي المتجه ب، على معيار المتجه ب الكل تربيع، مضروبين في المتجه ب.

زيّ ما إحنا شايفين في الرسم، المتجه أ بنحلّله مركّبتين متعامدتين، اللي همّ أ واحد وَ أ اتنين. المحصّلة بتاعتهم بتبقى الـ أ. بيبقوا مايلين بزاوية 𝜃 على المتجه ب. المتجه ب إحنا عايزين نجيب مركّبة للـ أ في اتجاه المتجه ب. وبيبقى مسقط المتجه أ على ب بالشكل اللي هو: الـ أ ضرب قياسي ب، اللي همّ المتجهين الأساسيين اللي عندنا، على معيار المتجه اللي هنوجد في اتجاهه تربيع. ونضرب الكلام ده كله في المتجه اللي إحنا عايزين نوجّه ناحيته، اللي هو نوجّه ناحيته المسقط.

هنقلب الصفحة، ونشوف القانون ده اتحسب منين. بما إن مسقط الـ أ على الـ ب بيبقى موازي للـ ب؛ لذلك يمكن كتابته ككمّية قياسية من مضاعفات الـ ب. يعني لو عندنا المتجه ب كان في الاتجاه ده، اللي هو اتجاه الموجب لمحور السينات، وإحنا عايزين نسقط عليه متجه أ مثلًا. فالمتجه الـ أ لمّا بنسقطه بيبقى هنا طوله هو طول المتجه اللي أسقطناه في اتجاه الـ ب. طب يبقى هو خَد جزء مِ المتجه ب، جزء منه أو أكبر منه. يعني ممكن يبقى نصّه، ربعه، خُمسه، ضِعفه، تلاتة مضروبين في المتجه ب. يبقى إحنا محتاجين من المتجه ب بس الاتجاه، وبناخد الطول من المتجه أ.

يبقى المعيار بتاع القيمة اللي هنسقطها، يعني معيار أ واحد، في متجه الوحدة لـ ب في اتجاه السين. والسين دي اللي هو المتجه القياسي، في اتجاه محور السينات، القيمة الموجبة. يبقى مسقط الـ أ على الـ ب بيساوي معيار أ واحد في متجه الوحدة لـ ب، في اتجاه المتجه القياسي، السين. باستخدام خواصّ المثلث قائم الزاوية، اللي بيتكوّن من المتجه أ واحد، والمتجه أ اتنين، والمتجه أ، وجيب التمام. وده لحساب معيار المتجه أ واحد. فإن الـ جتا 𝜃 بتساوي معيار المتجه أ واحد على معيار المتجه أ.

لو ضربنا الطرفين في معيار المتجه أ، مضروبة في المعيار للمتجه ب. يبقى معيار المتجه أ في معيار المتجه ب في جتا 𝜃 هيساوي معيار المتجه أ في معيار المتجه ب في معيار المتجه أ واحد، على معيار المتجه أ. هنختصر معيار المتجه أ مع معيار المتجه أ. وبما إن القيمة دي بتعبّر عن أ ضرب قياسي الـ ب، فإحنا نقدر نعوّض عنها. وده بسبب إن جتا الـ 𝜃 بتساوي أ ضرب قياسي الـ ب، على معيار الـ أ، مضروب في معيار الـ ب.

لو ضربنا طرفين في وسطين، هنلاقي إن أ ضرب قياس ب هتساوي القيمة اللي هنعوّض عنها دي. هنكمّل البرهان. يبقى أ ضرب قياسي ب هتساوي معيار الـ ب مضروب في معيار الـ أ واحد. يبقى كده حصلنا على معيار أ واحد هيساوي أ ضرب قياسي الـ ب على معيار الـ ب. هو ده قيمة طول مسقط أ على ب.

عايزين نجيب اتجاهه. إحنا قلنا: إن إحنا بنشوفه في اتجاه الـ ب. يبقى معنى كده إن المتجه، اللي هو هيمثّل أ واحد، هيساوي أ، ضرب قياسي الـ ب، على معيار الـ ب، مضروب في … اتجاه الـ ب يعني متجه الوحدة الخاصّ بالـ ب. اللي هو هيبقى الـ ب على معيار الـ ب. اللي هو هيساوي أ ضرب قياسي الـ ب، على معيار الـ ب تربيع. كل ده مضروب في المتجه ب. وهو ده قانون مسقط الـ أ على الـ ب.

نقلب الصفحة، وناخد مثال. اوجد مسقط المتجه أ، اللي يساوي تلاتة واتنين، على المتجه ب، اللي هو بيساوي خمسة وسالب خمسة. ثم اكتب المتجه أ على شكل مجموع متجهين متعامدين، أحدهما مسقط أ على الـ ب.

هنوجد مسقط المتجه أ على الـ ب، اللي هو هيساوي الـ أ ضرب قياسي الـ ب، على معيار الـ ب تربيع، مضروبين في المتجه ب. يبقى هيساوي تلاتة واتنين ضرب قياسي خمسة وسالب خمسة، على معيار الـ ب تربيع، اللي هو الجذر التربيعي لمربع المركّب الأول. اللي هو خمسة تربيع زائد سالب خمسة تربيع، الكل ده هنجيب له التربيع، وهنضرب في المتجه ب، اللي هو قيمته خمسة وسالب خمسة. اللي هو هيساوي تلاتة واتنين ضرب قياسي خمسة وسالب خمسة. بنضرب التلاتة في الخمسة، وبنجمعها على الاتنين في السالب خمسة.

يبقى تلاتة في خمسة بخمستاشر. وهنجمع على الاتنين في سالب خمسة، اللي هي سالب عشرة، على خمسين. مضروبين في المتجه ب، اللي هو خمسة وسالب خمسة. هيساوي … دي قيمتها خمسة على خمسين، هنضربها في المتجه خمسة وسالب خمسة. هنضرب الثابت ده في الخمسة مرة. وهنضربه في السالب خمسة مرة. هتساوي نصّ، وسالب نصّ. يبقى ده مسقط الـ أ على الـ ب، زيّ ما إحنا شايفين في الرسم كده. لو أسقطنا التلاتة والاتنين على الـ ب، اللي هو خمسة وسالب خمسة. يبقى القيمة بتاعة الـ أ واحد دي مسقط المتجه أ في اتجاه المتجه ب.

عايزين نكتب الـ أ على شكل مجموع متجهين متعامدين أحدهما مسقط أ على ب. إحنا عندنا الـ أ بتساوي الـ أ واحد زائد الـ أ اتنين. حَسَبنا قيمة الـ أ واحد. وعندنا قيمة الـ أ. يبقى مطلوب نحسب قيمة الـ أ اتنين. يبقى الـ أ اتنين، اللي هو متجه الـ أ اتنين، هيساوي متجه أ ناقص المتجه أ واحد. اللي هو هيساوي تلاتة واتنين ناقص نصّ وسالب نصّ. ده جمع متجهين واحد منهم إشارته سالبة. يعني كأننا بنجمع تلاتة واتنين زائد سالب نصّ وسالب نصّ.

يبقى المتجه أ اتنين هيساوي خمسة على اتنين وخمسة على اتنين. يبقى المتجه أ لمّا هنحطّه بصورة جمع متجهين، هيبقى نصّ وسالب نصّ زائد خمسة على اتنين وخمسة على اتنين. وده المتجهين المتعامدين اللي أحدهم مسقط المتجه أ على الـ ب. لمّا بنحسب مسقط المتجه أ على الـ ب كان بيبقى في اتجاه الـ ب. لكن في بعض الأحيان ما بيبقاش في نفس الاتجاه، بيبقى عكس اتجاهه. لكن برضو بيفضل موازي له.

نقلب الصفحة، ونشوف مثال. اوجد مسقط المتجه أ، اللي هو بيساوي أربعة وسالب تلاتة، على الـ ب، اللي هو بيساوي اتنين وستة. ثم اكتب أ على شكل محصّلة متجهين متعامدين أحدهم مسقط أ على الـ ب.

لو رسمنا المتجهين بالشكل اللي قدامنا ده، وعايزين نسقط المتجه أ، فإحنا الأول بنمدّ المتجه اللي عايزين نجيب في اتجاهه، اللي هو هنا الـ ب. بنسقط عليه المتجه أ، هيبقى بالشكل ده. يبقى المتجه أ واحد هياخد اتجاه المتجه أ. يبقى هيبقى إلى أسفل كده. والمتجه العمودي، اللي هي المركّبة العمودية، ودي بنسمّيها المركّبة العمودية على الـ ب، اللي هي هنسمّيها هنا أ اتنين. يبقى كده مسقط المتجه أ، اللي هو أ واحد، في اتجاه الـ ب. لأ، هو عكس اتجاه الـ ب. بس موازي للـ ب.

يبقى علشان نوجد مسقط المتجه أ على المتجه ب، يبقى هنستخدم القانون اللي كتبناه من شوية. اللي هو: أ ضرب قياسي الـ ب، على معيار الـ ب تربيع، مضروبين في المتجه ب. هيساوي … أ ضرب قياسي ب اللي هي أربعة وسالب تلاتة، ضرب قياسي اتنين وستة، على معيار المتجه ب، الكل تربيع، اللي هو اتنين تربيع زائد ستة تربيع. ده كله هنضربه في المتجه ب، اللي هو قيمته اتنين وستة. هيساوي … الضرب القياسي اللي في البسط هيبقى أربعة في اتنين زائد سالب تلاتة في ستة، على أربعين، مضروبين في الاتنين وستة. هيساوي سالب عشرة على أربعين، مضروبين في الاتنين وستة، اللي هي هتساوي سالب نصّ، وسالب تلاتة عَ الاتنين. يبقى ده مسقط المتجه أ على المتجه ب.

علشان نكتب المتجه أ في صورة مركّبتين متعامدتين، يبقى الـ أ إحنا قلنا: هتساوي الـ أ واحد زائد الـ أ اتنين، اللي هي المحصّلة بتاعتها. حَسَبنا قيمة الـ أ واحد، نقدر نجيب قيمة الـ أ اتنين، اللي هي هتساوي أ ناقص الـ أ واحد. بتساوي … الـ أ قيمتها أربعة وسالب تلاتة، ناقص … الـ أ واحد سالب نصّ وسالب تلاتة على الاتنين. اللي هي هتساوي تسعة على اتنين وسالب تلاتة على الاتنين.

يبقى المتجه أ هيساوي … المتجهين اللي همّ سالب نصّ وسالب تلاتة على اتنين، زائد تسعة على اتنين وسالب تلاتة على اتنين. دول المركّبتين المتعامدتين، اللي أحدهم مسقط أ على الـ ب. وأحدهما اللي هو مسقط الـ أ على الـ ب، اللي إحنا قلنا: قيمته سالب نصّ وسالب تلاتة عَ الاتنين.

يبقى في الفيديو ده اتكلّمنا على مسقط المتجه، وإزاي بنحسب قيمته واتجاهه. وأثبتنا قانون مسقط المتجه على متجه آخر.