نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺱ يشير إلى متغير عشوائي متقطع يمكن أن يأخذ القيم: ثلاثة، وخمسة، وستة. أي الدوال الآتية يمكن أن تمثل دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير ﺱ؟ (أ) د ﺱ تساوي أربعة ﺱ زائد خمسة على اثنين. (ب) د ﺱ تساوي أربعة على خمسة ﺱ زائد اثنين. (ج) د ﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة على ١٠. (د) د ﺱ تساوي ﺱ ناقص اثنين على ثمانية.
نتذكر أولًا أن دالة الاحتمال لمتغير عشوائي متقطع ﺱ هي مجموعة جميع القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير مع قيم الاحتمال المرتبطة بها. وفي هذا السؤال، نعرف أن ﺱ يمكن أن يأخذ القيم ثلاثة، وخمسة، وستة. ومن ثم، فإن جدول دالة الاحتمال له يحتوي على هذه القيم الثلاث في الصف الأول، ويحتوي على قيم احتمالاتها المناظرة في الصف الثاني.
فإذا كانت د ﺱ تمثل دالة احتمال لمتغير عشوائي متقطع، فلا بد أن تحقق اثنتين من الخواص. أولًا، يجب أن تكون قيم د ﺱ بين صفر وواحد لكل قيمة تقع في مدى المتغير العشوائي المتقطع. وثانيًا، مجموع قيم د ﺱ يجب أن يساوي واحدًا. أي إن مجموع احتمالات جميع قيم ﺱ الممكنة يجب أن يساوي واحدًا.
إذن، لتحديد أي من هذه الدوال هي دالة احتمال لـ ﺱ، علينا حساب قيم كل دالة لقيم ﺱ الثلاث: ثلاثة، وخمسة، وستة، ثم ملاحظة إذا ما كانت القيم التي أوجدناها تحقق خاصيتي دالة التوزيع الاحتمالي. هيا نبدأ بالخيار (أ). بالتعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة أولًا، نجد أن د لثلاثة تساوي أربعة مضروبًا في ثلاثة زائد خمسة الكل على اثنين. وهذا يساوي ١٢ زائد خمسة على اثنين، ما يساوي ١٧ على اثنين، أو ٨٫٥.
في الواقع، يمكننا التوقف هنا لأن هذه القيمة أكبر من واحد. وهي لا تحقق الخاصية الأولى لدالة الاحتمال، حيث قلنا إن قيمة د ﺱ لكل قيمة من قيم ﺱ يجب أن تكون بين صفر وواحد. إذن، نستبعد الخيار (أ).
والآن، هيا نتناول الخيار (ب). بحساب قيمة د لثلاثة، نحصل على أربعة على خمسة في ثلاثة زائد اثنين. وهذا يساوي أربعة على ١٥ زائد اثنين، وهو ما يساوي أربعة على ١٧. وهذا جيد حتى الآن لأن القيمة تقع بين صفر وواحد. ود لخمسة تساوي أربعة على خمسة مضروبًا في خمسة زائد اثنين. وهو ما يساوي أربعة على ٢٧. وهذه القيمة تقع هي الأخرى بين صفر وواحد، لذا سنتابع. وأخيرًا، د لستة تساوي أربعة على خمسة مضروبًا في ستة زائد اثنين، وهو ما يساوي أربعة على ٣٢. وهذه القيمة تقع بين صفر وواحد. إذن، الخاصية الأولى لدالة الاحتمال متحققة.
بعد ذلك، علينا التحقق إذا كان مجموع هذه القيم الثلاث يساوي واحدًا. حسنًا، لدينا أربعة على ١٧ زائد أربعة على ٢٧ زائد أربعة على ٣٢. عملية الجمع هذه ليست سهلة، لكن المجموع يساوي ١٨٦٧ على ٣٦٧٢. وهذا بالتأكيد لا يساوي واحدًا.
توجد طريقة أخرى لمعرفة ذلك، وهي ملاحظة أن كل كسر من الكسور التي نجمعها أقل من الثلث، ومن ثم يجب أن يكون مجموعها أقل من واحد. لقد وجدنا أنه على الرغم من تحقق الخاصية الأولى لدوال الاحتمال، فإن الخاصية الثانية غير متحققة. ومن ثم، فإن الخيار (ب) لا يمكن أن يكون دالة احتمال لـ ﺱ.
بعد ذلك سنتناول الخيار (ج). بالتعويض أولًا بـ ﺱ يساوي ثلاثة، نحصل على د لثلاثة تساوي ثلاثة تربيع زائد ثلاثة على ١٠. وهذا يساوي تسعة زائد ثلاثة على ١٠، أو ١٢ على ١٠، وهو ما يساوي ١٫٢. يمكننا التوقف هنا لأن هذه القيمة أكبر من واحد. ومن ثم، نلاحظ أن الخاصية الأولى لدوال الاحتمال لا تتحقق في الخيار (ج).
وعليه، نتوقع أن يكون الخيار (د) هو إجابتنا، فهو الخيار الوحيد المتبقي، لكن علينا التحقق من ذلك. بالتعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة، نحصل على د لثلاثة تساوي ثلاثة ناقص اثنين على ثمانية، وهو ما يبسط إلى ثمن. ود لخمسة تساوي خمسة ناقص اثنين على ثمانية، وهو ما يبسط إلى ثلاثة أثمان. ود لستة تساوي ستة ناقص اثنين على ثمانية، وهو ما يبسط إلى أربعة أثمان. الآن، بالطبع يمكننا تبسيط ذلك إلى نصف، لكننا سنتركه ليظل المقام ثمانية في الوقت الحالي.
إن كلًّا من هذه الكسور يقع بالفعل بين صفر وواحد. إذن، الخاصية الأولى لدوال الاحتمال متحققة. وبجمع القيم الثلاث معًا، نحصل على ثمن زائد ثلاثة أثمان زائد أربعة أثمان، وهو ما يساوي ثمانية أثمان. وبالطبع يبسط ذلك إلى واحد. إذن، الخاصية الثانية، وهي أن مجموع الاحتمالات يجب أن يساوي واحدًا، متحققة أيضًا.
إذن، إجابتنا هي الخيار (د): د ﺱ تساوي ﺱ ناقص اثنين على ثمانية؛ حيث إنها هي الدالة الوحيدة من بين الدوال الأربع التي تحقق الخاصيتين اللازمتين لدوال الاحتمال.
