نسخة الفيديو النصية
القوتان ﻕ واحد تساوي ٣٩ نيوتن، وﻕ اثنان تساوي ٣٩ جذر اثنين نيوتن تؤثران في نقطة. قياس الزاوية بينهما يساوي ٤٥ درجة. أوجد مقدار محصلتهما ﺡ، وقياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المحصلة والقوة ﻕ واحد. وضح إجابتك لأقرب دقيقة.
لنبدأ برسم شكل يوضح القوتين ﻕ واحدًا وﻕ اثنين المؤثرتين في نقطة. لنفترض أن القوة ﻕ واحدًا تؤثر في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، كما هو موضح. ويمكننا رسم القوة ﻕ اثنين بزاوية قياسها ٤٥ درجة. فيكون لدينا بعد ذلك محصلة القوتين. إذا اعتبرنا أن كلًّا من هاتين القوتين كمية متجهة، فإن متجه المحصلة ﺡ يساوي مجموع المتجه ﻕ واحد والمتجه ﻕ اثنين، كما هو موضح. وهذا يعني أنه يمكننا رسم مثلث قوى باستخدام ﻕ واحد وﻕ اثنين وﺡ. بما أن لدينا الآن خطين متوازيين، فيمكننا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين ﻕ واحد وﻕ اثنين، فلنسمها 𝜃، وهذا بملاحظة أن 𝜃 و٤٥ درجة زاويتان متكاملتان. ومجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة. إذن 𝜃 تساوي ١٨٠ ناقص ٤٥، وهو ما يساوي ١٣٥. وعليه فإن قياسها ١٣٥ درجة.
إذا اعتبرنا أن كل ضلع من أضلاع المثلث يمثل ببساطة مقدار كل قوة، فسنجد أنه يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث غير القائم الزاوية لإيجاد مقدار ﺡ. وفي هذه الحالة، يمكن استخدام قانون جيوب التمام. بتسمية الضلع الذي نحاول إيجاد طوله ﺃ شرطة، نجد أن ﺃ شرطة تربيع يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺏ شرطة ﺟ شرطة جتا ﺃ. إذن ﺡ تربيع يساوي ٣٩ جذر اثنين تربيع زائد ٣٩ تربيع ناقص اثنين في ٣٩ جذر اثنين في ٣٩ جتا ١٣٥. ٣٩ جذر اثنين تربيع زائد ٣٩ تربيع يساوي ٤٥٦٣. وجتا ١٣٥ يساوي سالب جذر اثنين على اثنين. وعليه يبسط الجزء الثاني إلى سالب ٣٠٤٢ جذر اثنين في سالب جذر اثنين على اثنين. وهذا يعني أن ﺡ تربيع يساوي ٤٥٦٣ زائد ٣٠٤٢؛ أي ٧٦٠٥.
لإيجاد قيمة ﺡ، التي تمثل مقدارًا ولذلك يجب أن تكون موجبة، فإننا نأخذ الجذر التربيعي. الجذر التربيعي لـ ٧٦٠٥ هو ٣٩ جذر خمسة. ومن ثم، فإن قيمة ﺡ؛ أي مقدار المحصلة، تساوي ٣٩ جذر خمسة نيوتن.
يطلب منا الجزء التالي من السؤال إيجاد قياس 𝜃؛ أي قياس الزاوية المحصورة بين المحصلة وﻕ واحد. ولا ينبغي الخلط بين هذا والقيمة السابقة لـ 𝜃 التي أوجدناها، فنحن نريد هنا إيجاد قياس الزاوية ﺏ في المثلث الذي رسمناه للتو. هذه المرة، يمكننا استخدام قانون الجيوب ليساعدنا في إيجاد قيمة 𝜃. سنستخدم الصيغة جا ﺏ على ﺏ شرطة يساوي جا ﺃ على ﺃ شرطة. لقد أوجدنا للتو قيمة ﺃ شرطة، وهي ٣٩ جذر خمسة. إذن يصبح لدينا جا 𝜃 على ٣٩ جذر اثنين يساوي جا ١٣٥ على ٣٩ جذر خمسة. بعد ذلك، نضرب كلا الطرفين في ٣٩ جذر اثنين. وبذلك يحذف العددان ٣٩ معًا، ونجد أن جا 𝜃 يساوي جذر اثنين جا ١٣٥ على جذر خمسة.
للتأكد من أننا نتعامل مع قيم دقيقة، دعونا نأخذ ببساطة الدالة العكسية للجيب لطرفي هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃. وعندما نفعل ذلك، نجد أن 𝜃 تساوي ٢٦٫٥٦٥، وهكذا مع توالي الأرقام. ولكي نحصل على هذه القيمة لأقرب دقيقة، نضرب الجزء العشري في ٦٠. وبذلك نحصل على ٣٣٫٩، وهكذا مع توالي الأرقام. وعند التقريب لأقرب عدد صحيح، نحصل على ٣٤. إذن 𝜃 تساوي ٢٦ درجة و٣٤ دقيقة. ومن ثم، فإن قيمة ﺡ؛ أي مقدار المحصلة، تساوي ٣٩ جذر خمسة نيوتن. وقياس الزاوية المحصورة بين المحصلة والقوة ﻕ واحد؛ أي 𝜃 يساوي ٢٦ درجة و٣٤ دقيقة.
