نسخة الفيديو النصية
أوجد نهاية سبعة ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ زائد أربعة الكل مقسوم على خمسة ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع عندما يقترب ﺱ من ∞.
يطلب منا السؤال إيجاد قيمة نهاية دالة كسرية عندما يقترب ﺱ من ∞. نسمي هذه الدالة دالة كسرية لأنها خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود. دعونا نسم الدالة كثيرة الحدود في البسط ﻡ ﺱ، والدالة كثيرة الحدود في المقام ﻥ ﺱ. نعلم كيفية إيجاد نهاية الدالة الكسرية ﻡ ﺱ مقسومة على ﻥ ﺱ عندما يقترب ﺱ من ∞. أولًا، نوجد أعلى قوة لـ ﺱ في أي من الدالتين كثيرتي الحدود، ﻡ ﺱ أو ﻥ ﺱ. ثانيًا، نريد قسمة الدالتين كثيرتي الحدود على قوة ﺱ هذه. ثالثًا، علينا إيجاد قيمة نهاية هذه الدالة الجديدة.
دعونا نطبق هذه الطريقة على النهاية المعطاة لنا في السؤال. أولًا، علينا إيجاد أعلى قوة لـ ﺱ في كل من الدالة ﻡ ﺱ أو ﻥ ﺱ. يمكننا أن نلاحظ أن أعلى قوة لـ ﺱ في البسط هي ﺱ تربيع، وأعلى قوة لـ ﺱ في المقام هي ﺱ تكعيب. وﺱ تكعيب هي قوة لـ ﺱ أعلى من ﺱ تربيع. إذن، سنستخدم ﺱ تكعيب.
توضح لنا الخطوة التالية أن علينا قسمة حدود الدالتين ﻡ ﺱ وﻥ ﺱ على ﺱ تكعيب. إذن، لدينا نهاية الدالة الكسرية عندما يقترب ﺱ من ∞ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ∞ لسبعة ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ زائد أربعة مقسومًا على ﺱ تكعيب. ثم نقسم ذلك كله على خمسة ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع مقسومًا على ﺱ تكعيب. وعلينا أن نتذكر أننا لا نغير قيمة النهاية لأننا نقسم البسط والمقام على نفس القيمة وهي ﺱ تكعيب. وبقسمة حدود البسط على ﺱ تكعيب، نحصل على سبعة على ﺱ زائد ثمانية على ﺱ تربيع زائد أربعة على ﺱ تكعيب. وبقسمة حدود المقام على ﺱ تكعيب، نحصل على خمسة زائد ثلاثة على ﺱ.
نريد الآن إيجاد قيمة هذه النهاية الجديدة. وفي الواقع، يمكننا فعل ذلك مباشرة. نلاحظ أن النهاية تحسب عندما يقترب ﺱ من ∞. ويمكننا ملاحظة أن سبعة على ﺱ، وثمانية على ﺱ تربيع، وأربعة على ﺱ تكعيب، وثلاثة على ﺱ؛ جميعها تقترب قيمها من صفر عندما يقترب ﺱ من ∞. وهذا لأن هذه الحدود جميعها بسطها عبارة عن قيم ثابتة. لكن مقام هذه الحدود تزداد قيمته أكثر فأكثر بلا حد. إذن، تقترب جميع قيم حدود البسط من صفر. والحد المتبقي في المقام هو الثابت خمسة فقط. لذلك، يقترب هذا من خمسة. إذن، فإن قيمة هذه النهاية تساوي صفرًا مقسومًا على خمسة، وهو ما يساوي صفرًا.
إذن، بقسمة كل من البسط والمقام على أعلى قوة لـ ﺱ موجودة في الدالة الكسرية، نوضح أن نهاية سبعة ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ زائد أربعة مقسومًا على خمسة ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع تساوي صفرًا عندما يقترب ﺱ من ∞.
