نسخة الفيديو النصية
احسب 𝐢 في 𝐣.
هذا سؤال عن الضرب الاتجاهي، ومطلوب منا حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين 𝐢 و𝐣. 𝐢 هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑥، و𝐣 هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑦. بما أن المطلوب هو حساب حاصل الضرب الاتجاهي، فلنبدأ بتذكر التعبير العام للضرب الاتجاهي لمتجهين. سنسمي هذين المتجهين 𝐀 و𝐁، وسنفترض أن كليهما يقع في المستوى 𝑥𝑦.
يمكننا كتابة المتجهين على الصورة الإحداثية حيث 𝐀 يساوي مركبة 𝑥 وهي 𝐴𝑥 مضروبة في 𝐢، زائد مركبة 𝑦 وهي 𝐴𝑦 مضروبة في 𝐣، وبالمثل بالنسبة إلى المتجه 𝐁. بالتالي، حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 و𝐁 يعرف بأنه المركبة 𝑥 للمتجه 𝐀 مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه 𝐁 ناقص المركبة 𝑦 للمتجه 𝐀 مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝐁، وهذا كله مضروب في متجه الوحدة 𝐤، الذي يشير إلى الاتجاه 𝑧. هذه هي الحالة العامة. الآن، لنطبق ذلك على المتجهين 𝐢 و𝐣.
لاستخدام هذا التعبير، علينا إيجاد المركبتين 𝑥 و𝑦 للمتجهين 𝐢 و𝐣. يمكننا كتابة المتجه 𝐢 على صورة واحد مضروبًا في 𝐢 زائد صفر مضروبًا في 𝐣. هذا يعني أن 𝐢، متجه الوحدة في الاتجاه 𝑥، له وحدة واحدة على طول المحور 𝑥 وصفر من الوحدات على طول المحور 𝑦، وهذا منطقي بالتأكيد. بالطريقة نفسها، يمكننا إعادة كتابة المتجه 𝐣 على الصورة صفر مضروب في 𝐢 زائد واحد مضروب في 𝐣. بعد ذلك، علينا استخدام التعبير العام لإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐢 في 𝐣.
بالنظر إلى الحد الأول في التعبير، نجد أننا نحتاج إلى ضرب المركبة 𝑥 للمتجه الأول في حاصل الضرب الاتجاهي، وهو في هذه الحالة المتجه 𝐢 في المركبة 𝑦 للمتجه الثاني في حاصل الضرب الاتجاهي، وهو في هذه الحالة المتجه 𝐣. المركبة 𝑥 للمتجه 𝐢 تساوي واحدًا، والمركبة 𝑦 للمتجه 𝐣 تساوي واحدًا أيضًا. إذن الحد الأول يساوي واحدًا مضروبًا في واحد. بعد ذلك، نطرح الحد الثاني. بالنظر مرة أخرى إلى تعبير حاصل الضرب الاتجاهي، نجد أن الحد الثاني يعطى بواسطة ضرب المركبة 𝑦 للمتجه الأول 𝐢، التي تساوي صفرًا، في المركبة 𝑥 للمتجه الثاني 𝐣، التي تساوي صفرًا أيضًا. ومن ثم، الحد الثاني يساوي صفرًا مضروبًا في صفر. ويضرب الكل بعد ذلك في متجه الوحدة 𝐤.
الخطوة الأخيرة هي إيجاد قيمة هذا الجزء. الحد الأول يساوي واحدًا مضروبًا في واحد، وهو ما يعطينا واحدًا. والحد الثاني يساوي صفرًا مضروبًا في صفر، وهو ما يعطينا صفرًا. إذن، لدينا واحد ناقص صفر، ما يعطينا واحدًا. إذن، لدينا واحد مضروب في 𝐤. بالطبع، يمكننا كتابة ذلك بصورة أبسط وهي 𝐤 فقط.
وبذلك نكون قد توصلنا إلى الإجابة عن السؤال وهي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐢 في 𝐣 يساوي 𝐤، وهو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑧.
