نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل باستخدام قانون نيوتن الأول للحركة، الذي يسمى أحيانًا بقانون القصور الذاتي.
قدم إسحاق نيوتن ثلاثة قوانين للحركة في كتاب يعرف باسم المبادئ عام ١٦٨٦. وتصف هذه القوانين حركة الأجسام وكيفية تفاعلها، والميكانيكا الكلاسيكية المعتمدة عليها كما نعرفها حاليًا. وكانت هذه القوانين غير مسبوقة في هذا الوقت، إذ سمحت لعلماء الرياضيات والفيزيائيين بتناول السيناريوهات المعقدة وتبسيطها. وبالتفكير في هذه الأجسام بوصفها كتلًا نقطية فردية، استطاعوا التعامل معها باعتبارها نقاطًا ليس لها حجم أو دوران، ومن ثم كان عليهم أن يتجاهلوا عوامل مثل الاحتكاك أو مقاومة الهواء.
سنتناول هنا قانون نيوتن الأول للحركة. يسمى هذا القانون أحيانًا بقانون القصور الذاتي. وينص أن الجسم يظل في حالة سكون أو في حالة حركة منتظمة في خط مستقيم ما لم تؤثر عليه قوة خارجية. بعبارة أخرى، إذا لم تكن هناك محصلة قوى، أي كانت القوى المؤثرة على الجسم بالأساس تلغي بعضها البعض، فسيحتفظ الجسم بسرعة ثابتة. وإذا كانت هذه السرعة تساوي صفرًا، فسيظل الجسم في حالة سكون. في هذه الحالة، نقول إن نظام القوى في حالة اتزان. أي إن محصلة هذه القوى تساوي صفرًا.
يوجد العديد من التطبيقات لهذا القانون في الحياة اليومية. على سبيل المثال، تخيل أنك في سيارة متحركة حاملًا فنجانًا مملوءًا بالقهوة الساخنة. إذا كانت هذه السيارة تتحرك بسرعة ثابتة، فستظل القهوة في الفنجان، وتظل ملابسك نظيفة كما هي. لكن عند التأثير بقوة خارجية ناتجة عن التوقف مثلًا، ستستمر القهوة ببساطة في التحرك للأمام بنفس السرعة وفي نفس الاتجاه كما كانت. ولن تتعرض ملابسك فقط للاتساخ، ولكن أيضًا لوحة العدادات وحتى الزجاج الأمامي للسيارة.
لدينا الآن قانون نيوتن الأول ونصه، دعونا نلق نظرة على كيفية تطبيقه على نظام من القوى المؤثرة في بعدين.
في الشكل التالي، الجسم في حالة سكون تحت تأثير نظام من القوى. إذا كانت القوى مقيسة بالنيوتن، فأوجد مقدار كل من ﻕ وﻙ.
يوضح لنا الرسم جسمًا في حالة سكون، ويوجد عدد من القوى المؤثرة عليه. نتذكر إذن قانون نيوتن الأول للحركة. وينص أنه إذا لم تكن هناك محصلة قوى، أو بعبارة أخرى إذا كانت القوى المؤثرة على الجسم تلغي بعضها البعض، فسيحتفظ الجسم بسرعة ثابتة. وإذا كانت هذه السرعة تساوي صفرًا، فسيظل الجسم في حالة سكون. إذن، لكي يظل الجسم لدينا في حالة سكون، تحت تأثير هذا النظام من القوى، فلا بد أن يكون مجموع هذه القوى صفرًا. ويعرف هذا باسم الاتزان.
بما أن القوى تؤثر في بعدين، يمكننا التفكير في الاتجاه الأفقي والاتجاه الرأسي كل على حدة. أو يمكننا التفكير في ذلك بدلالة المتجهات. في هذه الحالة، يجب أن يساوي المجموع الاتجاهي للقوى صفرًا. في الواقع، سنتعامل مع الاتجاهين الأفقي والرأسي كل على حدة. سنبدأ بالاتجاه الرأسي، ونفترض أن الاتجاه لأعلى موجب. لدينا قوة مقدارها ٥٧ نيوتن تؤثر لأعلى. ثم لدينا قوة ﻕ تؤثر لأسفل، أي إنها تؤثر في الاتجاه السالب. إذن نقول إن مجموع القوتين المؤثرتين في الاتجاه الرأسي يساوي ٥٧ ناقص ﻕ.
ولكي يظل الجسم في حالة سكون، نعلم أن مجموع هاتين القوتين لا بد أن يساوي صفرًا. إذن ٥٧ ناقص ﻕ يساوي صفرًا. سنحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻕ بإضافة ﻕ إلى كلا الطرفين. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ٥٧ يساوي ﻕ أو ﻕ تساوي ٥٧. نعرف بالطبع أن هذه القياسات بالنيوتن. إذن، ﻕ تساوي ٥٧ نيوتن.
سنتناول الآن الاتجاه الأفقي. وسنفترض أن الاتجاه ناحية اليمين موجب. في هذا الاتجاه، لدينا ٢٧ و٦٦ نيوتن. وفي الاتجاه الآخر، أي السالب، لدينا ﻙ. أي إن مجموع القوى المؤثرة أفقيًا يساوي ٢٧ زائد ٦٦ ناقص ﻙ. مرة أخرى، نعلم أن هذا يساوي صفرًا. إذن، لدينا معادلة بدلالة ﻙ. ٢٧ زائد ٦٦ يساوي ٩٣. إذن، يمكن تبسيط المعادلة إلى ٩٣ ناقص ﻙ يساوي صفرًا. هذه المرة سنحل المعادلة بإضافة ﻙ إلى كلا الطرفين، فنحصل على ٩٣ يساوي ﻙ. هذه القياسات أيضًا بالنيوتن. إذن، ﻙ تساوي ٩٣ نيوتن. ومن ثم، قيمتا ﻕ وﻙ، تذكر أنهما قوتان، هما ٥٧ و٩٣ نيوتن على الترتيب.
سنرى الآن كيف تبدو هذه العملية عندما يكون الجسم في حالة حركة.
في الشكل التالي، يتحرك الجسم بسرعة ثابتة ﻉ تحت تأثير نظام من القوى. إذا كانت القوى مقيسة بالنيوتن، فأوجد مقدار كل من ﻕ وﻙ.
تخبرنا المسألة أن هذا الجسم يتحرك بسرعة ثابتة تحت تأثير عدد من القوى. ولذا، يمكننا تذكر قانون نيوتن الأول للحركة. وينص أنه إذا لم توجد محصلة قوى، أو بعبارة أخرى كانت القوى المؤثرة على الجسم تلغي إحداها الأخرى، فسيحتفظ الجسم بسرعة ثابتة. لذلك، لكي يحافظ الجسم لدينا على سرعته الثابتة تحت تأثير نظام من القوى، يجب أن يكون مجموع هذه القوى صفرًا. في الواقع، تؤثر هذه القوى في بعدين. ولذا، يمكننا التفكير في الاتجاهين الأفقي والرأسي كل على حدة أو التفكير فيها كمتجه، بحيث يساوي المجموع الاتجاهي للقوى صفرًا.
سنفكر فيها كاتجاهين، ونتناول الاتجاه الرأسي أولًا. سنفترض أن الاتجاه لأعلى موجب. لا يهم الاتجاه الذي سنختاره ليكون موجبًا ما دمنا سنستمر في استخدامه هكذا طوال السؤال. القوة الوحيدة التي تؤثر في هذا الاتجاه لدينا هي القوة ﻕ. إذا نظرنا جيدًا، فسنجد أن القوة التي توازي ﻕ هي ٢٠، وتؤثر في الاتجاه المعاكس. إذن، مجموع هاتين القوتين هو ﻕ ناقص ٢٠.
لدينا أيضًا قوة مقدارها ٣١ نيوتن تؤثر في الاتجاه السالب. إذن، مجموع كل القوى المؤثرة رأسيًا يساوي ﻕ ناقص ٢٠ ناقص ٣١. وبالطبع، نعلم أن هذا يجب أن يساوي صفرًا حتى يحتفظ الجسم بسرعته الثابتة. دعونا نبسط هذا المقدار. سالب ٢٠ ناقص ٣١ يصبح سالب ٥١. إذن، مجموع القوى يساوي ﻕ ناقص ٥١. ومعادلتنا هي ﻕ ناقص ٥١ يساوي صفرًا. لحل هذه المعادلة، لإيجاد قيمة ﻕ، سنضيف ٥١ إلى طرفي المعادلة. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﻕ تساوي ٥١. قيل لنا إن القوى مقيسة بالنيوتن. إذن، يمكننا القول إن ﻕ تساوي ٥١ نيوتن.
نكرر هذه العملية ولكن في الاتجاه الأفقي. هذه المرة الاتجاه يمينًا هو الموجب. القوة المؤثرة في هذا الاتجاه، التي يشير إليها السهم، تساوي ﻙ نيوتن. وفي الاتجاه المعاكس، لدينا قوة مقدارها ٧٩ نيوتن. إذن، مجموع القوتين المؤثرتين على هذا الجسم في الاتجاه الأفقي يساوي ﻙ ناقص ٧٩. يمكننا مساواة ذلك بالصفر مرة أخرى؛ لأننا نعلم أن سرعة الجسم ثابتة. وبعدها، نوجد قيمة ﻙ. نضيف ٧٩ إلى طرفي المعادلة. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﻙ تساوي ٧٩ أو ٧٩ نيوتن. بهذا نكون وجدنا أن ﻕ تساوي ٥١ نيوتن وﻙ تساوي ٧٩ نيوتن.
ما معنى أن تؤثر قوة واحدة أو أكثر على الجسم بزاوية ما؟ حسنًا، يشبه هذا تمامًا حرصنا على التفكير في اتجاه القوى. دعونا نتناول مثالًا على ذلك.
جسم كتلته ٢٠ كيلوجرامًا سحب على مستوى أفقي بواسطة حبل يصنع زاوية 𝜃 مع المستوى؛ حيث ظا 𝜃 يساوي خمسة على ١٢. يتحرك الجسم بسرعة منتظمة عندما تكون قوة الشد في الحبل ٩١ نيوتن. أوجد المقاومة الكلية ﻡ للحركة ورد الفعل العمودي ﺭ. اعتبر أن ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.
لنبدأ برسم شكل توضيحي. كتلة الجسم ٢٠ كيلوجرامًا، ويعني هذا أنه يؤثر على السطح بقوة ٢٠ﺩ لأسفل. سحب الجسم بحبل يكون زاوية 𝜃 مع المستوى. تخبرنا المسألة بعد ذلك أنه عندما تكون قوة الشد ٩١ نيوتن، فإن الجسم يتحرك بسرعة منتظمة. إذن، القوة التي تسحب الجسم فعليًا هي ٩١ نيوتن.
توجد قوة أخرى تعنينا، لكنها خارج نطاق الفيديو ولن ندرسها باستفاضة. يخبرنا قانون نيوتن الثالث للحركة أن لكل فعل رد فعل مساويًا له في المقدار ومضادًا له في الاتجاه. إذن، توجد قوة رد فعل عمودية للمستوى على الجسم. وهي نتيجة لقوة وزن الجسم على المستوى. وتؤثر هذه القوة لأعلى وبعيدًا عن المستوى، كما هو موضح. وأخيرًا، دعونا نضف قوة مقاومة الحركة ﻡ. ونفترض أنها تؤثر بالتوازي مع المستوى، كما هو موضح. قد تكون هذه قوة احتكاك أو قوة مقاومة الهواء.
لدينا كل القوى على الشكل الآن. وقيل لنا إن الجسم يتحرك بسرعة منتظمة. ينص قانون نيوتن الأول للحركة أنه لكي يتحقق هذا، لا بد أن تكون محصلة القوى في الاتجاهين الرأسي والأفقي صفرًا. إذن، سنحسب محصلة القوى في الاتجاه الأفقي والرأسي ونقارن بينهما. يعني هذا أن علينا الانتباه إلى قوة الشد التي تؤثر بزاوية. إذا أضفنا مثلثًا قائم الزاوية، كما نرى، فسنجد أن هناك مركبات لهذه القوة تؤثر في الاتجاهين الأفقي والرأسي.
علينا إذن استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد هذه المركبات. طول الوتر في هذا المثلث يساوي ٩١ نيوتن. وعليه، فإن المركبة التي تؤثر في الاتجاه الرأسي يمثلها الضلع المقابل. والمركبة التي تؤثر في الاتجاه الأفقي يمثلها الضلع المجاور. وسنبدأ بتناول القوى التي تؤثر في الاتجاه الأفقي. لنفترض أن طول الضلع المجاور في المثلث القائم الزاوية يمثل ﺱ نيوتن. إذا افترضنا بعد ذلك أن الاتجاه إلى اليمين موجب، فيمكننا القول إن مجموع القوتين المؤثرتين في هذا الاتجاه يساوي ﺱ ناقص ﻡ.
وبما أن الجسم يتحرك بسرعة منتظمة، يمكننا القول إن مجموع هاتين القوتين يساوي صفرًا. عند إيجاد قيمة ﻡ بإضافة ﻡ إلى طرفي المعادلة، نجد أن ﻡ تساوي ﺱ. يمكننا في الواقع إيجاد قيمة ﺱ باستخدام نسبة جيب التمام؛ لأننا نعرف طول الوتر ونريد إيجاد طول الضلع المجاور. يمكننا القول إن جتا 𝜃 يساوي ﺱ مقسومًا على ٩١. إذن، بالضرب في ٩١ نحصل على ﺱ يساوي ٩١ جتا 𝜃.
لكننا لم نستخدم بعد حقيقة أن ظا 𝜃 يساوي خمسة على ١٢. وبما أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، يمكننا إنشاء مثلث عام. في هذا المثلث، طول الضلع المقابل لـ 𝜃 يساوي خمس وحدات، وطول الضلع المجاور يساوي ١٢ وحدة. ووفقًا لثلاثية فيثاغورس، خمسة تربيع زائد ١٢ تربيع يساوي ١٣ تربيع، إذن، طول الوتر يجب أن يساوي ١٣. وجتا 𝜃 للزاوية، الذي يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، يجب أن يساوي ١٢ على ١٣. إذن، ﺱ يساوي ٩١ في ١٢ على ١٣، وهو ما يساوي ٨٤. وبما أن ﻡ تساوي ﺱ، فيمكننا القول إن ﻡ يجب أن تساوي ٨٤ أيضًا. وبما أن جميع القياسات بالنيوتن، إذن ﻡ تساوي ٨٤ نيوتن.
علينا إجراء عملية مماثلة، لكن في اتجاه رأسي هذه المرة. وسيسمح لنا هذا بحساب قيمة ﺭ. سنحدد الاتجاه لأعلى ليكون موجبًا. وسنقول إن طول الضلع المقابل للزاوية 𝜃 في المثلث القائم الزاوية يساوي ﺹ. وهو يؤثر لأعلى أيضًا. إذن في الاتجاه لأعلى، لدينا ﺭ زائد ﺹ. ثم لدينا ٢٠ﺩ في الاتجاه المعاكس. إذن، مجموع القوى يساوي ﺭ زائد ﺹ ناقص ٢٠ﺩ. ومرة أخرى، يجب أن يساوي ذلك صفرًا. سنضيف ٢٠ﺩ إلى طرفي هذه المعادلة ونطرح منها ﺹ، فنحصل على ﺭ يساوي ٢٠ﺩ ناقص ﺹ.
لكن علينا الآن إيجاد قيمة ﺹ. مرة أخرى، سنستخدم حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. ولكن هذه المرة سنستخدم نسبة الجيب؛ بما أن جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. إذن جا 𝜃 يساوي ﺹ على ٩١. إذن، ﺹ يساوي ٩١ جا 𝜃. لكن دعونا نعد إلى المثلث العام لدينا. نعلم أن طول الضلع المقابل في هذا المثلث يساوي خمسة، وطول وتره يساوي ١٣. إذن، جا 𝜃 لا بد أن يساوي خمسة على ١٣، وﺹ يساوي ٩١ في خمسة على ١٣. وهو ما يساوي ٣٥.
إذن، تصبح المعادلة السابقة ﺭ يساوي ٢٠ﺩ ناقص ٣٥. لكننا نعرف بالطبع أن ﺩ تساوي ٩٫٨. فيصبح هذا ٢٠ في ٩٫٨ ناقص ٣٥، وهو ما يساوي ١٦١ أو ١٦١ نيوتن. إذن، مقاومة الحركة ﻡ تساوي ٨٤ نيوتن، ورد الفعل العمودي ﺭ يساوي ١٦١ نيوتن.
في المثال الأخير، سنعرف كيف يمكننا استخدام قانون نيوتن الأول للحركة لحساب السرعة.
قفز أحد جنود المظلات من طائرة. وكانت مقاومة حركته بعد فتح المظلة تتناسب طرديًا مع مكعب سرعته. عندما كانت سرعته ١٩ كيلومترًا لكل ساعة، كانت مقاومة حركته واحد على ٢٧ من وزنه ووزن المظلة معًا. احسب أقصى سرعة لهبوط الجندي مع مظلته.
دعونا نرسم شكلًا توضيحيًا. لدينا هنا الجندي أثناء هبوطه من السماء. وقوة وزنه المؤثرة لأسفل هي ما تدفعه للقيام بذلك. ولدينا أيضًا مقاومة لحركة المظلة، وهي ﻡ. وتؤثر في الاتجاه المعاكس. نعلم أن المقاومة تتناسب طرديًا مع مكعب سرعة الجندي. إذن، لنفترض أن سرعته تساوي ﻉ كيلومتر لكل ساعة. وفي هذه الحالة، ﻡ تساوي ﺙ في ﻉ تكعيب، حيث ﺙ هو ثابت التناسب. هيا نوجد مقدار ﺙ باستخدام بقية معطيات هذا السؤال.
عندما كانت سرعة الجندي ١٩، كانت المقاومة واحدًا على ٢٧ من وزنه ووزن المظلة معًا. إذن، عند ﻉ تساوي ١٩، فإن ﻡ تساوي واحدًا على ٢٧ في ﻭ. إذن، يمكننا القول إن واحدًا على ٢٧ في ﻭ يساوي ﺙ في ١٩ تكعيب. ويعني هذا أن ﺙ يساوي واحدًا على ٢٧ في ﻭ مقسومًا على ١٩ تكعيب. ويكافئ هذا ﻭ على ٢٧ في ١٩ تكعيب. لن نحاول حل هذا الآن، وسنعرف السبب بعد لحظات. يمكننا إذن التعويض بذلك في المعادلة السابقة، ونقول إن ﻡ تساوي ﻭﻉ تكعيب على ٢٧ في ١٩ تكعيب.
نعلم الآن أنه عند نقطة ما يصل الجندي إلى أقصى سرعة. وعند هذه النقطة، ستظل السرعة كما هي. لكي تظل السرعة منتظمة، ينص قانون نيوتن الأول للحركة أن مجموع كل القوى في هذا الاتجاه يجب أن يساوي صفرًا. لنفترض أن الاتجاه لأسفل هو الاتجاه الموجب. يمكننا القول إن الوزن ناقص قوة رد الفعل هو مجموع هذه القوى. إذن ﻭ ناقص ﻡ يساوي صفرًا. ثم بإضافة ﻡ إلى طرفي المعادلة، نحصل على ﻭ يساوي ﻡ.
لكن دعونا نستبدل ﻡ بالمقدار السابق المكتوب بدلالة ﻭ وﻉ. وبما أن ﻭ لا يساوي صفرًا، يمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على ﻭ. إذن، واحد يساوي ﻉ تكعيب على ٢٧ في ١٩ تكعيب. ثم نضرب طرفي المعادلة في ٢٧ في ١٩ تكعيب. وأخيرًا، نوجد الجذر التكعيبي لكلا الطرفين. الجذر التكعيبي لـ ٢٧ يساوي ثلاثة، والجذر التكعيبي لـ ١٩ تكعيب يساوي ١٩. إذن، نجد أن ثلاثة في ١٩ يساوي ﻉ، وثلاثة في ١٩ يساوي ٥٧. إذن، ﻉ تساوي ٥٧ كيلومترًا لكل ساعة.
دعونا نلخص النقاط الأساسية في هذا الدرس. في هذا الفيديو، رأينا أنه يمكننا اعتبار الأجسام نقاطًا ليس لها حجم أو دوران. وهذا يعني أنه يمكننا تجاهل العوامل الخارجية مثل الاحتكاك أو مقاومة الهواء. ينص قانون نيوتن الأول أنه إذا لم تكن هناك محصلة قوى، أي كانت القوى المؤثرة على الجسم بالأساس تلغي بعضها البعض، فسيحتفظ الجسم بسرعة ثابتة. وبالطبع، إذا كانت تلك السرعة تساوي صفرًا، فلا بد أن يظل الجسم في حالة سكون. في هذه الحالة، نقول إن نظام القوى في حالة اتزان؛ أي إن مجموع القوى يساوي صفرًا. وأخيرًا، رأينا أنه عندما نتعامل مع قوى مؤثرة في اتجاه آخر غير الاتجاه الأفقي أو الرأسي، يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لتحليل هذه القوى إلى المركبات اللازمة.
