فيديو السؤال: حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

بإكمال المربع، حل المعادلة واحد زائد ﺱ يساوي ﺱ تربيع.

عندما يكون لدي مسألة مثل هذه ويطلب مني حل معادلة تربيعية، أي مثل التي لدينا هنا، فإنني أفضل أن أكتبها في الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا أولًا. إذن لدي الحد ﺱ تربيع أولًا، ثم الحد ﺱ، وبعد ذلك الحد الثابت وذلك كله يساوي صفرًا.

وللقيام بذلك، سأطرح ﺱ من كلا طرفي المعادلة. سأقوم بذلك لأني أود الاحتفاظ بالحد ﺱ تربيع موجبًا. وعند القيام بذلك، أحصل على واحد يساوي ﺱ تربيع ناقص ﺱ. بعد ذلك، سأطرح واحدًا من كلا طرفي المعادلة. وعند القيام بذلك، أحصل على صفر يساوي ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص واحد، والذي يمكنني إعادة كتابته مع وضع الصفر في الطرف الأيسر من المعادلة. إذن، لدينا ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. حسنًا، عظيم. وبذلك، أصبحت المعادلة بالصورة التي أردتها.

الآن ما علينا القيام به هو إكمال المربع؛ لأن المسألة تطلب منا إكمال المربع لحل المعادلة. لكي نتمكن من إكمال المربع، لدينا هذه القاعدة العامة. وهي أنه إذا كان لدينا ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ — إذن لدينا بصيغة ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ حيث ﺏ هو معامل ﺱ وﺱ تربيع هو حد ﺱ تربيع وحيد — فهذا يساوي ﺱ زائد ﺏ على اثنين — أي معامل ﺱ على اثنين ثم الكل تربيع — ناقص ﺏ على اثنين تربيع، حيث مجددًا ﺏ هو معامل ﺱ.

والآن إذا نظرنا إلى معادلتنا، فإننا نلاحظ أن معامل ﺱ في المعادلة لدينا هو سالب واحد. وبذلك، تكون قيمة ﺏ هي سالب واحد. ويمكننا الآن استخدام هذا لإعادة ترتيب المعادلة في صورة تتضمن إكمال المربع.

وعند القيام بهذا، سأحصل على ﺱ ناقص واحد على اثنين الكل تربيع. بعد ذلك أحصل على سالب واحد على اثنين؛ لأنه إن كان لدينا نصف سالب واحد، فسنحصل على سالب واحد على اثنين. ثم ناقص سالب واحد على اثنين الكل تربيع ناقص واحد يساوي صفرًا. ثم عند تبسيط المعادلة، نحصل على ﺱ ناقص واحد على اثنين الكل تربيع ناقص خمسة على أربعة أو خمسة أرباع يساوي صفرًا. وقد حصلنا على سالب خمسة على أربعة أو سالب خمسة أرباع؛ إذ كان لدينا سالب واحد على اثنين تربيع، أي واحد على أربعة، ثم كان لدينا علامة سالب أمام ذلك، إذن لدينا سالب واحد على أربعة ثم ناقص واحد؛ حيث واحد يساوي أربعة على أربعة. ومن ثم، نحصل على سالب خمسة على أربعة.

لقد انتهينا الآن من المرحلة الأولى وأكملنا المربع. نريد الآن حل المعادلة. والخطوة الأولى لحل المعادلة هي إضافة خمسة أرباع أو خمسة على أربعة إلى كل طرف من طرفي المعادلة. وعند القيام بذلك، نحصل على ﺱ ناقص واحد على اثنين الكل تربيع يساوي خمسة على أربعة. في المرحلة الثانية، سنستخرج الجذر التربيعي لكلا الطرفين. هذا لأن لدينا ﺱ ناقص واحد على اثنين الكل تربيع. إذن العملية العكسية هي الجذر التربيعي لذلك. وعند القيام بذلك، نحصل على ﺱ ناقص واحد على اثنين يساوي موجب أو سالب جذر خمسة على أربعة.

من المهم أن نتذكر إمكانية استخدام الناتج السالب أو الموجب هنا. الخطوة التالية بعد ذلك هي إضافة واحد على اثنين إلى كلا طرفي المعادلة، إذن نحصل على ﺱ يساوي موجب أو سالب جذر خمسة على أربعة زائد واحد على اثنين. والآن نستطيع إجراء خطوة تبسيط إضافية؛ لأنه يمكننا استخدام قاعدة نعرفها. وهذه القاعدة هي أن جذر ﺃ على ﺏ يساوي جذر ﺃ على جذر ﺏ.

لذا، يمكننا استخدامها هنا لأنه يمكننا القول إن جذر خمسة على أربعة سيكون مساويًا لجذر خمسة على جذر أربعة. ومن ثم، نحصل على ﺱ يساوي — وقد وضعت واحدًا على اثنين في المقدمة هنا — واحدًا على اثنين زائد أو ناقص جذر خمسة على اثنين، وهذا لأن جذر أربعة يساوي اثنين. وبما أن لدينا كسرين بالمقام نفسه، حيث لدينا واحد على اثنين وجذر خمسة على اثنين، إذن يمكننا جمع البسطين أو طرحهما. إذن، يمكننا القول إنه بإكمال المربع، فإن حلي المعادلة واحد زائد ﺱ يساوي ﺱ تربيع هما ﺱ يساوي واحدًا زائد جذر خمسة على اثنين أو واحدًا ناقص جذر خمسة على اثنين.