نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتناول الحالة المبهمة لقانون الجيب. افترض أن لديك بعض المعطيات عن مثلث؛ حيث لديك طولا ضلعين فيه وقياس إحدى زواياه. تحدث الحالة المبهمة عندما لا تنطبق هذه المعطيات على مثلث واحد. لكن في الواقع، يمكن رسم أكثر من مثلث واحد باستخدام المعلومات المعطاة. وبشكل أكثر تحديدًا، فهي تحدث عندما تكون الزاوية المعطاة غير محصورة بين الضلعين المعلومين. دعونا نتناول مثالًا لتوضيح ما نعنيه.
لدينا هنا مثلث معلوم فيه طولا ضلعين، وهما خمسة سنتيمترات وستة سنتيمترات، وقياس زاوية واحدة. ونلاحظ أن هذه الزاوية غير محصورة بين الضلعين المعلومين. أي إنها لا تقع بين الضلعين اللذين طولهما ستة سنتيمترات وخمسة سنتيمترات. مطلوب منا حساب قياس الزاوية ﺃ. سنحاول إذن حل هذه المسألة باستخدام قانون الجيب. لذا علينا تذكر ما يخبرنا به. تذكر أنه يخبرنا بأن النسبة بين طول كل ضلع وجيب الزاوية المقابلة له متساوية. حسنًا، لقد اخترنا كتابته هنا بهذه الصورة بحيث تكون جيوب الزوايا في البسط؛ لأن هذا السؤال بالتحديد يطلب منا حساب قياس زاوية ما، لذا سيكون استخدام هذه الصورة أكثر سهولة من استخدام الصورة التي تكون فيها أطوال الأضلاع في البسط.
سنكتب قانون الجيب بالاستعانة بالمعطيات الواردة في هذا السؤال. وبذلك سيكون لدينا جا ﺃ على ستة يساوي جا ٥٠ على خمسة. وهذا يعطينا معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمة ﺃ. الخطوة الأولى إذن هي ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ستة. وبذلك، نحصل على جا ﺃ يساوي ستة جا ٥٠ على خمسة. ولإيجاد قياس الزاوية ﺃ الآن، علينا إيجاد دالة الجيب العكسية لكلا الطرفين. بذلك يكون لدينا ﺃ تساوي الدالة العكسية لـ جا ستة جا ٥٠ على خمسة. والآن، سنستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك. وعندئذ، سنجد أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ٦٦٫٨١٧ أو ٦٧ درجة بالتقريب لأقرب درجة.
حسنًا، مذهل! هذا رائع! ربما تظن أننا قد انتهينا من إجابة السؤال. لكن دعونا ننظر إلى الشكل ونلق نظرة بالتحديد على الزاوية ﺃ. من غير المفترض أن يكون هذا الشكل مضللًا بصورة مقصودة. فنحن يمكننا ملاحظة أن الزاوية ﺃ زاوية منفرجة. إذن، لا يمكن بأي حال أن يكون قياس الزاوية ﺃ ٦٧ درجة. بل يجب أن يكون قياسها بين ٩٠ و١٨٠ درجة. إذن ما الخطأ الذي حدث؟ حسنًا، لا يوجد أي خطأ في العمليات الحسابية التي أجريناها حتى الآن. فكل الخطوات التي اتبعناها صحيحة تمامًا. الأمر فقط هو أن هذه الخطوات لم تجعلنا نوجد فعليًا قياس الزاوية ﺃ في هذا المثلث تحديدًا؛ لأنه يوجد مثلث آخر يمكننا رسمه باستخدام هذه المعطيات نفسها.
إذا مددنا قاعدة المثلث للخارج في هذا الاتجاه هنا، ثم أخذنا الفرجار وثبتناه على النقطة ﺏ وفتحناه بمقدار خمسة سنتيمترات ثم رسمنا قوسًا صغيرًا بخط متقطع، فسنلاحظ بالفعل أنه يقطع هذا الخط مرة أخرى. ففي الواقع، سنجد أن هناك نقطة أخرى تقع على خط القاعدة هذا وتبعد أيضًا خمسة سنتيمترات عن النقطة ﺏ. سنسميها ﺩ. بذلك يكون لدينا مثلثان وهما: المثلث ﺃﺏﺟ، وهو المثلث الأصلي، والمثلث ﺩ ﺏﺟ. وكل من هذين المثلثين له المعطيات نفسها. إذن في كلا هذين المثلثين، يكون قياس الزاوية ﺟ ٥٠ درجة، وطول الضلع ﺏﺟ ستة سنتيمترات، وطول الضلع ﺃﺏ أو ﺩ ﺏ — حسب المثلث الذي نتحدث عنه — خمسة سنتيمترات. إذن، هذه المجموعة من المعطيات لا تنطبق على مثلث واحد فقط.
ما يعنيه هذا كله هو أن الزاوية التي حسبنا قياسها للتو، وهو ٦٧ درجة، ليست الزاوية ﺃ. إنها الزاوية ﺩ، والتي نلاحظ أنها بالفعل زاوية حادة. إذن لدينا قياس هذه الزاوية هنا. لكن يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قياس الزاوية ﺃ. إذا نظرنا إلى المثلث الذي رءوسه ﺃ وﺏ وﺩ، فسنجد أن هذا المثلث متساوي الساقين لأن له هذين الضلعين اللذين لهما الطول نفسه، وهو خمسة سنتيمترات. ما يعنيه ذلك هو أن قياس زاوية القاعدة الأخرى يجب أن يساوي ٦٧ درجة أيضًا. بذلك، يكون بإمكاننا إيجاد قياس الزاوية ﺃ التي نريدها بحساب ١٨٠ ناقص ٦٧؛ حيث نلاحظ أن هاتين الزاويتين تقعان على خط مستقيم معًا. إذن بطرح ٦٧ من ١٨٠، نحصل على قيمة تساوي ١١٣ درجة. وهذا هو قياس الزاوية ﺃ الذي كنا نبحث عنه.
يوضح ذلك خاصية عامة لنسبة الجيب، وهي أن أي زاوية 𝜃 قياسها بين صفر و١٨٠ درجة، يكون جا 𝜃 مساويًا لـ جا ١٨٠ ناقص 𝜃. تنطبق هذه العلاقة دائمًا على الزوايا المتكاملة. ففي هذا السؤال، طبقنا قانون الجيب بشكل صحيح، وحصلنا على إجابة لقياس الزاوية ﺃ. لكننا رأينا بعد ذلك أن إجابتنا لا يمكن أن تكون صحيحة في ضوء الشكل المعطى، وحقيقة أن الزاوية ﺃ هي زاوية منفرجة. فإذا لم يكن لدينا الشكل الموضح للرجوع إليه، وكان لدينا بدلًا من ذلك قائمة المعطيات المكتوبة باللون الأخضر، فستكون أي قيمة من قيمتي ﺃ الموضحتين صحيحة. وفي هذه الحالة يمكن أن تكون الزاوية ﺃ قياسها ٦٧ درجة أو ١١٣ درجة. وسيكون علينا تقديم إجابتين محتملتين لهذه المسألة.
هذه المسألة تقول: ﺃﺏﺟ مثلث فيه قياس الزاوية ﺏ يساوي ١١٠ درجات، وطول الضلع ﺏ شرطة يساوي ١٦ سنتيمترًا، وطول الضلع ﺟ شرطة يساوي ١٢ سنتيمترًا. ما عدد الحلول الممكنة للأطوال والزوايا الأخرى؟
حسنًا، تشير كلمة «ممكنة» هنا إلى وجود عدة حالات محتملة الحدوث. من المحتمل أن تكون المعطيات التي لدينا لا تنطبق على أي مثلث على الإطلاق، وألا نتمكن من رسم مثلث بهذه المواصفات. ومن المحتمل أن تنطبق هذه المعطيات على مثلث واحد، وفي هذه الحالة سيكون هناك حل ممكن واحد فقط للأضلاع والزوايا الأخرى. ومن المحتمل أيضًا أن يكون هذا مثالًا على الحالة المبهمة لقانون الجيب، وفي الواقع، حينها سيكون هناك حلان ممكنان للأطوال والزوايا الأخرى.
سنبدأ برسم شكل يوضح ما قد يبدو عليه المثلث ﺃﺏﺟ. والآن كما ذكرنا، قد تكون هذه هي الحالة التي لا يوجد فيها أي مثلث على الإطلاق، أو الحالة التي يوجد فيها أكثر من مثلث يمكننا رسمه. لكننا سنبدأ بفكرة واحدة فقط. حسنًا، المثلث ﺃﺏﺟ قد يكون بهذا الشكل. وقد وضعنا كل المعطيات ذات الصلة على هذا الشكل. سنبدأ الآن بمحاولة حساب قياس الزاوية ﺟ. وسنستخدم في ذلك قانون الجيب. تذكر أن هذا هو ما ينص عليه قانون الجيب؛ وهو أن النسبة بين جيب كل زاوية وطول الضلع المقابل لها ثابتة في المثلث الواحد. سنستخدم إذن المعطيات التي نعرفها؛ وهي طول الضلع ﺏ شرطة وقياس الزاوية ﺏ وطول الضلع ﺟ شرطة أيضًا. والزاوية ﺟ هي التي نريد حساب قياسها.
بالتعويض بهذه المعطيات، نحصل على جا ١١٠ على ١٦ يساوي جا ﺟ على ١٢. والآن نريد حل هذه المعادلة لإيجاد قياس الزاوية ﺟ. سنضرب كلا الطرفين في ١٢. وقد بدلنا فقط ترتيب الطرفين هنا. لكن هذا يخبرنا بأن جا ﺟ يساوي ١٢ جا ١١٠ على ١٦. ولإيجاد قياس الزاوية ﺟ، علينا استخدام دالة الجيب العكسية. ويخبرنا هذا بأن الزاوية ﺟ تساوي الدالة العكسية لـ ١٢ جا ١١٠ على ١٦. والآن، سنستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك. وبذلك نجد أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ٤٤٫٨١٠٩ أو ٤٥ درجة، عند التقريب لأقرب درجة.
نعرف من ذلك إذن أن هناك حلًا ممكنًا واحدًا على الأقل للأطوال والزوايا الأخرى. لقد حسبنا قياس الزاوية ﺟ وهو ٤٥ درجة. وبالتالي، يمكننا حساب قياس الزاوية ﺃ بطرح ٤٥ درجة و١١٠ درجات من ١٨٠؛ وهو مجموع قياسات زوايا المثلث. يمكننا بعد ذلك تطبيق قانون الجيب مرة أخرى لإيجاد طول الضلع ﺃ شرطة. السؤال الآن هو: هل هناك بالفعل حلان ممكنان؟ هل هذا مثال على الحالة المبهمة لقانون الجيب حيث تكون هناك قيمة ممكنة أخرى لقياس الزاوية ﺟ؛ ومن ثم توجد قيمة ممكنة أخرى لقياس الزاوية ﺃ وهكذا؟
ربما تتذكر الطريقة التي نوجد بها القيمة الممكنة الأخرى للزاوية؛ وهي أننا نطرح القيمة الموجودة لدينا من ١٨٠. وإذا فعلنا ذلك، فسنجد أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٣٥ درجة. والآن السؤال هو: هل هذا ممكن؟ هل من الممكن أن يكون قياس الزاوية ﺟ ١٣٥ درجة؟ لتحديد ما إذا كان ذلك ممكنًا، علينا أن نلقي نظرة مرة أخرى على المثلث الأصلي. نحن نعرف بالفعل أن قياس الزاوية ﺏ في المثلث لدينا يساوي ١١٠ درجات. هذا يعني أنه من غير الممكن أن يكون قياس الزاوية ﺟ مساويًا لـ ١٣٥ درجة لأننا إذا جمعنا قياسي هاتين الزاويتين معًا، فسيتجاوز المجموع ١٨٠ درجة؛ وهو مجموع قياسات زوايا المثلث. وهذا يعني أن الزاوية ﺟ لا بد وأن يكون قياسها ٤٥ درجة، وهو القياس الذي أوجدناه في البداية. وبالتالي، يوجد حل واحد لهذه المسألة. إذن، لا يوجد سوى حل واحد ممكن لأطوال الأضلاع وقياسات الزوايا. إذن فعملية التحقق هذه ضرورية. فإذا كنت تظن أن هناك حلًا ممكنًا آخر، فعليك النظر إلى قياسات الزوايا الأخرى في المثلث والتأكد من أن مجموعها لا يتجاوز مجموع قياسات زوايا المثلث.
خلاصة القول، لقد تعرفنا على الحالة المبهمة لقانون الجيب. وعرفنا كيفية حدوثها وسببه. وعرفنا أيضًا كيف نتحقق من وجود حل ممكن آخر عند وجود حل واحد.
