فيديو الدرس: حل المعادلات الأسية بيانيًّا الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل معادلات أسية باستخدام طرق بيانية.

٢٦:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

حل المعادلات الأسية بيانيًّا

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد عدد الحلول لمعادلة أسية معطاة بيانيًّا، وسوف نتعلم أيضًا كيف نطبق ذلك لحل معادلات أسية باستخدام طرق بيانية. قبل أن نبدأ في محاولة حل معادلات أسية بيانيًّا، دعونا نبدأ بتذكر ما تعنيه الدالة الأسية.

نحن نتذكر أن الدالة الأسية هي معادلة على الصورة: ﺩﺱ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺏ أس ﺱ؛ حيث يكون ﺏ عددًا موجبًا ولا يساوي واحدًا. من الجدير بالذكر أن هذه ليست الصورة الوحيدة للدوال الأسية. على سبيل المثال، يمكننا ضرب قيمة ﺱ في عدد ثابت أو إضافة عدد ثابت إلى قيمة ﺱ هذه، وستظل هذه الدالة أسية. لكننا سنركز الآن على هذا النوع فقط من الدوال الأسية. هذا يعني أن المعادلة الأسية هي معادلة تتضمن دالة أسية. ومن ثم، فإنها معادلة على الصورة: ﺃ في ﺏ أس ﺱ يساوي الدالة ر ﺱ. حل هذه المعادلة هو قيمة ﺱ التي تجعل طرفي المعادلة متساويين.

في بعض الأحيان، يمكننا حل المعادلات باستخدام العمليات الجبرية. لكن، عادة ما يكون ذلك صعبًا للغاية في المعادلات الأسية. وذلك لأن ﺱ، أي المتغير، يظهر في الأس. لذا، سنركز على إيجاد هذه الحلول بيانيًّا. لمعرفة كيف يمكننا حل معادلة أسية بيانيًّا، هيا نبدأ بهذا المثال. دعونا نفترض أن لدينا التمثيل البياني للدالة الأسية ﺹ تساوي أربعة أس ﺱ، ولنفترض أن المطلوب هو حل المعادلة: أربعة أس ﺱ يساوي واحدًا. هذا يعني أنه علينا إيجاد قيمة ﺱ التي نعوض بها في الدالة الأسية لتعطينا القيمة واحدًا. يمكننا فعل ذلك باستخدام التمثيل البياني. تذكر أن الإحداثي ﺹ لكل نقطة على المنحنى يخبرنا بالقيمة المخرجة للدالة عند قيمة ﺱ هذه.

علينا معرفة متى تعطينا الدالة القيمة واحدًا؛ ونجد أنها تعطينا القيمة واحدًا عندما يساوي الإحداثي ﺹ لها واحدًا. لذا، نرسم الخط المستقيم ﺹ يساوي واحدًا على المحورين. يمكننا بعد ذلك أن نرى متى تساوي القيمة ﺹ للمنحنى واحدًا. القيمة ﺹ للمنحنى تساوي واحدًا عندما تكون القيمة ﺱ مساوية لصفر. بعبارة أخرى، قد أوضحنا أن هناك نقطة تقاطع واحدة بين المستقيم ﺹ يساوي واحدًا والمنحنى ﺹ يساوي أربعة أس ﺱ. وهي النقطة التي إحداثياها: صفر، واحد. عند قيمة ﺱ هذه، كل من الدالة أربعة أس ﺱ والدالة واحد يعطينا القيمة نفسها. فكلتاهما ستعطينا القيمة واحدًا. ومن ثم، فلا بد من أن يكون هذا حلًّا للمعادلة. ‏ﺱ يساوي صفرًا هو حل المعادلة: أربعة أس ﺱ يساوي واحدًا.

هناك بعض الأمور الأخرى التي يمكننا ملاحظتها. على سبيل المثال، هذه هي نقطة التقاطع الوحيدة بين المستقيم والمنحنى. كل حل لهذه المعادلة سيمثل نقطة تقاطع بين المستقيم والمنحنى. بما أن هناك نقطة تقاطع واحدة فقط بين المستقيم والمنحنى، فنستنتج أنه يوجد حل واحد فقط لهذه المعادلة. وجدير بالذكر أيضًا أنه يمكننا التأكد من أن ﺱ يساوي صفرًا هو حل للمعادلة من خلال التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في كلا طرفي المعادلة، والتأكد من أنهما متساويان. دعونا نبدأ بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الطرف الأيمن للمعادلة.

بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الطرف الأيمن للمعادلة، نحصل على: أربعة أس صفر. يمكننا إيجاد قيمة ذلك باستخدام قوانين الأسس. نحن نعلم أن أي عدد لا يساوي صفرًا مرفوع للقوة صفر يساوي دائمًا واحدًا. يمكننا بعد ذلك فعل الأمر نفسه في الطرف الأيسر من المعادلة. لكن الطرف الأيسر من هذه المعادلة هو مجرد قيمة ثابتة تساوي واحدًا؛ لذا فإن قيمة ﺱ لا تؤثر على هذه القيمة. وهكذا، عندما يساوي ﺱ صفرًا، نجد أن كلا طرفي المعادلة الأيمن والأيسر متساويان. هذا يؤكد أن ﺱ يساوي صفرًا هو حل للمعادلة.

يمكننا استخدام هذه الطريقة نفسها لحل معادلات أسية أخرى. على سبيل المثال، دعونا نحل المعادلة: أربعة أس ﺱ يساوي خمسة ناقص ﺱ. مرة أخرى، بما أن حل المعادلة هو قيمة ﺱ التي تجعل طرفي المعادلة متساويين، فيمكننا إيجاد حلول المعادلة بإيجاد نقاط التقاطع بين المنحنى ﺹ يساوي أربعة أس ﺱ والمستقيم ﺹ يساوي خمسة ناقص ﺱ؛ لأن نقاط التقاطع ستكون لها القيمة المخرجة نفسها لكلتا الدالتين، أي إنها ستمثل حلولًا للمعادلة.

لدينا بالفعل تمثيل بياني لـ ﺹ يساوي أربعة أس ﺱ. لذا، علينا أن نرسم المستقيم ﺹ يساوي خمسة ناقص ﺱ على المحور نفسه. أولًا، نحن نعلم أن الجزء المقطوع لهذا المستقيم من المحور ﺹ يساوي خمسة. يمكننا أيضًا إيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺱ لهذا المستقيم. نعوض بـ ﺹ يساوي صفرًا، ثم نحل المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. نلاحظ أن الجزء المقطوع من المحور ﺱ لهذا المستقيم هو عندما يساوي ﺱ خمسة. يمكننا استخدام هذا لتمثيل المستقيم. نحن نعلم أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي خمسة، وأن الجزء المقطوع من المحور ﺱ يساوي خمسة أيضًا. ومن ثم، فإن المستقيم الذي يصل بين هاتين النقطتين هو المستقيم ﺹ يساوي خمسة ناقص ﺱ.

وأخيرًا، نلاحظ وجود نقطة تقاطع واحدة بين المنحنى والمستقيم، وهذه هي النقطة التي تتساوى عندها القيمتان المخرجتان لهاتين الدالتين. نرى أن الإحداثي ﺱ لنقطة التقاطع هذه يساوي واحدًا. إذن، ﺱ يساوي واحدًا هو حل للمعادلة. وبما أن هذه هي نقطة التقاطع الوحيدة بين المستقيم والمنحنى، فإن هذا يكون هو الحل الوحيد للمعادلة. لكن علينا الانتباه. إننا نرسم المستقيم ﺹ يساوي خمسة ناقص ﺱ، ونستخدم هذا لتقدير نقطة التقاطع بين المستقيم والمنحنى. لذا، فلا يمكننا التأكد من أن ﺱ يساوي واحدًا هو الحل الدقيق للمعادلة لأننا نوجد قيمة تقريبية باستخدام هذا الرسم.

لنثبت أن ﺱ يساوي واحدًا هو حل هذه المعادلة، علينا التعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في كلا الطرفين الأيمن والأيسر من المعادلة، والتأكد مما إذا كان الطرفان متساويين أم لا. يمكننا أن نبدأ بالطرف الأيمن من المعادلة. بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا، نحصل على: أربعة أس واحد. وباستخدام قوانين الأسس، نحن نعرف أن أي عدد مرفوع للقوة واحد يساوي نفسه. لذا، أربعة أس واحد يساوي أربعة. بعد ذلك، يمكننا فعل الأمر نفسه في الطرف الأيسر من المعادلة. بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا، نحصل على: خمسة ناقص واحد، وهو ما يساوي أربعة. إذن، بما أن الطرفين الأيمن والأيسر للمعادلة متساويان عندما يساوي ﺱ واحدًا، نستنتج أن ﺱ يساوي واحدًا هو حل للمعادلة الأسية التي لدينا.

كل المعادلات التي تناولناها حتى الآن لها حلول. لكن من الممكن أيضًا أن تكون هناك معادلة ليس لها حلول. على سبيل المثال، يمكننا ملاحظة أنه لا توجد نقاط تقاطع بين المستقيم ﺹ يساوي سالب اثنين، والمنحنى ﺹ يساوي أربعة أس ﺱ. هذا يعني أنه إذا طلب منا حل المعادلة: أربعة أس ﺱ يساوي سالب اثنين باستخدام الشكل المعطى، فسنستنتج أنه لا توجد حلول لهذه المعادلة؛ لأن أي حل لهذه المعادلة سيكون نقطة تقاطع بين المنحنى ﺹ يساوي أربعة أس ﺱ والمستقيم ﺹ يساوي سالب اثنين. وبدلًا من أن نقول إنه لا توجد حلول لهذه المعادلة، يمكننا طرح فكرة مجموعة الحل.

مجموعة الحل لأي معادلة هي المجموعة التي تتضمن جميع حلول هذه المعادلة. لذا، بدلًا من أن نقول إن المعادلة: أربعة أس ﺱ يساوي سالب اثنين ليست لها حلول، يمكننا القول إن مجموعة حلها هي المجموعة الخالية. دعونا نستعرض الآن مثالًا لدينا فيه التمثيل البياني لدالة أسية وعلينا استخدام هذا لإيجاد مجموعة حل معادلة أسية.

استخدم التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي اثنين أس خمسة ناقص ﺱ لإيجاد مجموعة حل المعادلة اثنين أس خمسة ناقص ﺱ يساوي اثنين.

في هذا السؤال، لدينا التمثيل البياني لدالة أسية، وتظهر هذه الدالة الأسية في المعادلة الأسية المعطاة. علينا استخدام هذا لإيجاد مجموعة حل المعادلة. أولًا، نتذكر أن مجموعة الحل لأي معادلة هي المجموعة التي تتضمن جميع حلول هذه المعادلة. ومن ثم، نحن نبحث عن مجموعة تتضمن كل قيم ﺱ التي تحقق توازنًا بين طرفي المعادلة. هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي أنه بما أن اثنين أس خمسة ناقص ﺱ يساوي الدالة ﺩﺱ، فيمكننا التعويض بـ ﺩﺱ في المعادلة. وبذلك، نجد أن المعادلة ﺩﺱ تساوي اثنين. نحن نبحث عن مجموعة تتضمن كل قيم ﺱ التي تجعل ﺩﺱ تساوي اثنين.

لإيجاد قيم ﺱ هذه، نتذكر أن كل نقطة تقع على المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ سيكون إحداثياها على الصورة: ﺱ، ﺩﺱ. بعبارة أخرى، تخبرنا الإحداثيات ﺹ للنقاط التي تقع على المنحنى بمخرجات الدالة عند قيمة ﺱ المعطاة. نحن نريد إيجاد قيم ﺱ التي تعطينا الدالة عندها القيمة اثنين. هذه هي النقاط الواقعة على المنحنى، التي يساوي الإحداثي ﺹ لها اثنين. لذا يمكننا إيجاد هذه القيم برسم المستقيم ﺹ يساوي اثنين على مجموعة المحاور نفسها. نرى أن هناك نقطة واحدة فقط على المنحنى يساوي الإحداثي ﺹ لها اثنين. وتكون هي نقطة التقاطع بين المستقيم ﺹ يساوي اثنين، والمنحنى ﺹ يساوي اثنين أس خمسة ناقص ﺱ. الإحداثي ﺹ لهذه النقطة هو اثنان، والإحداثي ﺱ هو أربعة. بعبارة أخرى، عندما يساوي ﺱ أربعة، تكون القيمة المخرجة للدالة اثنين. هذا يعني أن قيمة ﺩ عند أربعة تساوي اثنين.

إذن، فإن ﺱ يساوي أربعة هو حل للمعادلة. في الواقع، بما أن هذه هي نقطة التقاطع الوحيدة بين المستقيم والمنحنى، فإن هذا هو الحل الوحيد للمعادلة. هذا يعني أن مجموعة حل المعادلة هي المجموعة التي تحتوي على أربعة.

تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه يمكننا التحقق من صحة إجابتنا بالتعويض بـ ﺱ يساوي أربعة في المعادلة أو في الدالة. بالتعويض بـ ﺱ يساوي أربعة في الدالة ﺩﺱ، نجد أن قيمة ﺩ عند أربعة تساوي اثنين أس خمسة ناقص أربعة. خمسة ناقص أربعة يساوي واحدًا. يمكننا تبسيط ذلك ليصبح لدينا: اثنان أس واحد. وأي عدد مرفوع للقوة واحد يساوي نفسه. ومن ثم، فإن قيمة ﺩ عند أربعة تساوي اثنين، وهي القيمة نفسها في الطرف الأيسر من المعادلة، وهذا يؤكد أن ﺱ يساوي أربعة هو حل للمعادلة. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن مجموعة حل المعادلة: اثنين أس خمسة ناقص ﺱ يساوي اثنين هي المجموعة التي تحتوي على أربعة.

دعونا نتناول الآن مثالًا آخر لدينا فيه التمثيل البياني لدالة أسية، وعلينا استخدام هذا لحل معادلة أسية.

يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي اثنين أس اثنين ﺱ. استخدم هذا التمثيل البياني لإيجاد مجموعة حل المعادلة اثنين أس اثنين ﺱ يساوي أربعة.

في هذا السؤال، لدينا التمثيل البياني لدالة أسية، ومطلوب منا حل معادلة أسية تظهر فيها هذه الدالة. لفعل ذلك، نبدأ بتذكر أن مجموعة الحل لأي معادلة هي المجموعة التي تتضمن جميع حلول هذه المعادلة. هذا يعني أننا نبحث عن جميع قيم ﺱ التي تحل المعادلة: اثنين أس اثنين ﺱ يساوي أربعة. ولمساعدتنا في ذلك، دعونا نبدأ بالتعويض عن اثنين أس اثنين ﺱ في هذه المعادلة بـ ﺩﺱ. هذا يعني أنه يمكن إعادة كتابة المعادلة المطلوب حلها على صورة: ﺩﺱ تساوي أربعة.

بعبارة أخرى، نحن نبحث عن قيم ﺱ التي تجعل الدالة ﺩ تعطينا القيمة أربعة. ويمكننا تذكر أن الإحداثي ﺹ لنقطة تقع على المنحنى، يخبرنا بالقيمة المخرجة للدالة عند قيمة ﺱ هذه. إذن، يمكننا إيجاد جميع القيم التي تعطينا عندها الدالة القيمة أربعة عن طريق رسم المستقيم ﺹ يساوي أربعة على الشكل. نلاحظ من التمثيل البياني أنه توجد نقطة واحدة فقط على المنحنى؛ حيث الإحداثي ﺹ يساوي أربعة. هذ هي النقطة التي لها الإحداثيان: واحد، أربعة.

وجدير بالتكرار أن هذه النقطة تخبرنا أن قيمة ﺩ عند واحد تساوي أربعة. وبذلك، فإن العدد واحدًا هو حل للمعادلة. في الواقع، جميع حلول المعادلة هي نقطة تقاطع بين المستقيم ﺹ يساوي أربعة، والمنحنى ﺹ يساوي اثنين أس اثنين ﺱ. بما أننا نلاحظ وجود نقطة تقاطع واحدة فقط، فإننا نعلم أنه يوجد حل واحد فقط. ومن ثم، فإن مجموعة حل المعادلة: اثنين أس اثنين ﺱ هي المجموعة التي تحتوي على واحد.

دعونا نلق نظرة الآن على مثال علينا فيه أولًا إعادة ترتيب المعادلة الأسية المعطاة.

يوضح الشكل منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين أس ﺱ على اثنين. استخدم هذا المنحنى لإيجاد مجموعة حل المعادلة اثنين أس ﺱ على اثنين زائد خمسة يساوي تسعة.

في هذا السؤال، لدينا منحنى الدالة الأسية ﺩﺱ. ومطلوب منا استخدام ذلك لتحديد مجموعة حل المعادلة التي تتضمن الدالة ﺩﺱ. لفعل ذلك، نبدأ بتذكر أن مجموعة حل معادلة ما هي مجموعة كل حلول هذه المعادلة. في هذا السؤال، ستكون مجموعة الحل المجموعة التي تتضمن كل قيم ﺱ التي تجعل اثنين أس ﺱ على اثنين زائد خمسة يساوي تسعة. للإجابة عن هذا السؤال، يمكن أن تساعدنا إعادة كتابة المعادلة الأسية بدلالة الدالة ﺩﺱ. بالتعويض باثنين أس ﺱ على اثنين يساوي ﺩﺱ في المعادلة، نحصل على: ﺩﺱ زائد خمسة يساوي تسعة. يمكننا تبسيط هذه المعادلة أكثر بطرح خمسة من كلا الطرفين. فنجد أن ﺩﺱ تساوي تسعة ناقص خمسة، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح لدينا: ﺩﺱ تساوي أربعة. إذن، علينا إيجاد قيم ﺱ التي تجعل الدالة تعطينا القيمة أربعة.

تذكر أن الإحداثي ﺹ لأي نقطة على المنحنى يخبرنا بالقيمة المخرجة للدالة عند قيمة ﺱ هذه. لذا، علينا إيجاد جميع النقاط على المنحنى التي يساوي الإحداثي ﺹ لها أربعة. نفعل ذلك برسم المستقيم ﺹ يساوي أربعة على الشكل. نلاحظ وجود نقطة تقاطع واحدة فقط بين المستقيم والمنحنى. نرى أيضًا أن الإحداثي ﺱ لهذه النقطة هو أربعة. ومن ثم، عند إدخال قيمة ﺱ تساوي أربعة في الدالة، تكون القيمة المخرجة هي أربعة. هذا يعني أن ﺩ لأربعة تساوي أربعة. بما أن هذه هي نقطة التقاطع الوحيدة بين المستقيم والمنحنى، فهي الحل الوحيد للمعادلة. وهكذا، فإن مجموعة حل هذه المعادلة هي المجموعة التي تحتوي على أربعة.

يمكننا التحقق من أن ﺱ يساوي أربعة هو حل المعادلة بالتعويض بـ ﺱ يساوي أربعة في الطرف الأيمن من المعادلة. بالتعويض بـ ﺱ يساوي أربعة في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على: اثنين أس أربعة على اثنين زائد خمسة، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح: أربعة على اثنين يساوي اثنين. وهذا يساوي اثنين تربيع زائد خمسة. بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة ذلك. اثنان تربيع يساوي أربعة. فيصبح لدينا: أربعة زائد خمسة؛ أي تسعة، وهو ما يساوي الطرف الأيسر من هذه المعادلة. ومن ثم، فإن أربعة هو حل للمعادلة، ونحن نعلم أنه الحل الوحيد. إذن، فإن مجموعة حل المعادلة: اثنين أس ﺱ على اثنين زائد خمسة يساوي تسعة هي المجموعة التي تحتوي على أربعة.

دعونا نتناول الآن مثالًا تتضمن فيه المعادلة الأسية دالة خطية.

استخدم المنحنيين الموضحين للإجابة عن السؤال الآتي. صواب أم خطأ: المعادلة اثنان أس ﺱ يساوي سالب ﺱ ليس لها حل.

في هذا السؤال، لدينا منحنيان لدالتين. هيا نبدأ بإيجاد الدالتين الممثلتين بهذين المنحنيين. أولًا، نلاحظ أن المستقيم يمر بنقطة الأصل؛ ومن ثم فإن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي صفرًا. بعد ذلك، نرى أنه لكل وحدة ننتقلها أفقيًّا، فإننا نتحرك بمقدار وحدة واحدة إلى الأسفل. إذن، ميله يساوي سالب واحد. في صيغة الميل والمقطع، نجد أن هذا هو المستقيم ﺹ يساوي سالب واحد ﺱ زائد صفر، وهو ما يعطينا ﺹ يساوي سالب ﺱ. أما المنحنى الآخر، فهو على شكل دالة أسية، ونلاحظ أنه يمر بالنقطة التي إحداثياها: واحد، اثنان. إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي واحدًا في الدالة اثنين أس ﺱ، فسنجد أنها تعطينا القيمة اثنين. يمكننا فعل ذلك مع نقاط أخرى على المنحنى لنستنتج أن هذا حقًّا هو رسم المنحنى ﺹ يساوي اثنين أس ﺱ.

علينا استخدام هذين المنحنيين لتحديد ما إذا كانت المعادلة اثنان أس ﺱ يساوي سالب ﺱ لها حل أم لا. قد نريد محاولة حل هذه المعادلة باستخدام بعض العمليات الجبرية. لكن هذا سيكون صعبًا للغاية؛ لأن ﺱ يظهر في الأس وليس في الأساس. بدلًا من ذلك، نتذكر أن حل هذه المعادلة هو قيمة ﺱ التي تجعل طرفي المعادلة متساويين. بعبارة أخرى، علينا إدخال قيمة ﺱ في الدالة اثنين أس ﺱ، ثم إدخال القيمة نفسها في الدالة سالب ﺱ للحصول على القيمة المخرجة نفسها. يمكننا فعل ذلك مباشرة من التمثيل البياني. لكي تتساوى القيمتان المخرجتان لهاتين الدالتين لقيمة ﺱ المدخلة نفسها، يجب أن تكون لهما نقطة تقاطع. وهذا لأن الإحداثي ﺹ يخبرنا بمخرجات هذه الدالة بالنسبة للقيمة المدخلة.

بما أن لدينا نقطة تقاطع واحدة بين المستقيم والمنحنى، نستنتج أن المعادلة: اثنين أس ﺱ يساوي سالب ﺱ لها حل واحد. ويمكننا تقريب هذه القيمة بمحاولة قراءة الإحداثي ﺱ من التمثيل البياني. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﺱ يساوي سالب ٠٫٦ تقريبًا. وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه من الخطأ أن نقول إن المعادلة: اثنين أس ﺱ يساوي سالب ﺱ ليس لها حلول.

في المثال الأخير، سنحل معادلة أسية بيانيًّا من خلال رسم دالة خطية على التمثيل البياني نفسه.

يوضح المنحنى الآتي الدالة ﺩ واحد ﺱ تساوي اثنين أس سالب ﺱ. استخدم هذا المنحنى وارسم الدالة ﺩ اثنين ﺱ تساوي ﺱ زائد ثلاثة لإيجاد مجموعة حل المعادلة اثنين أس سالب ﺱ يساوي ﺱ زائد ثلاثة.

في هذا السؤال، لدينا الدالتان ﺩ واحد ﺱ وﺩ اثنان ﺱ، ولدينا منحنى الدالة ﺹ تساوي ﺩ واحد ﺱ. ومطلوب منا إيجاد مجموعة الحل لمعادلة. بما أن ﺩ واحد ﺱ تساوي الطرف الأيمن من هذه المعادلة، وﺩ اثنين ﺱ تساوي الطرف الأيسر من هذه المعادلة؛ فإن المعادلة هي: ﺩ واحد ﺱ تساوي ﺩ اثنين ﺱ. يمكننا حل هذه المعادلة بيانيًّا. أي حل لهذه المعادلة هو نقطة تقاطع بين المنحنى ﺹ يساوي ﺩ واحد ﺱ والمستقيم ﺹ يساوي ﺩ اثنين ﺱ. بما أن نقطة التقاطع سيكون لها الإحداثي ﺹ نفسه، والإحداثي ﺹ هو القيمة المخرجة للدالة للإحداثي ﺱ المعطى، وهو ما يعني أن مخرجات الدالة ستكون هي نفسها؛ فسنتمكن إذن من حل هذه المعادلة.

علينا رسم المنحنى ﺹ يساوي ﺱ زائد ثلاثة. أولًا، نلاحظ أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ سيقع عند ثلاثة. يمكننا أيضًا إيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺱ بالتعويض بـ ﺹ يساوي صفرًا. بحل هذه المعادلة، نجد أن ﺱ يساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، يمكننا رسم المستقيم. نقطة تقاطع المحور ﺹ مع هذا المستقيم تقع عند ثلاثة، ونقطة تقاطع المحور ﺱ مع هذا المستقيم تقع عند سالب ثلاثة. سيسمح لنا ذلك برسم المستقيم. علينا فقط أن نصل بين نقطة التقاطع مع محور ﺹ ونقطة التقاطع مع محور ﺱ بمستقيم. وهكذا، تكون نقطة التقاطع الوحيدة بين المستقيم والمنحنى هي الحل الوحيد للمعادلة. يمكننا قراءة الإحداثي ﺱ لها؛ ونلاحظ أنه يساوي سالب واحد.

بما أن السؤال يطلب منا كتابة ذلك على صورة مجموعة حل، فإننا نكتبه على صورة المجموعة التي تحتوي على سالب واحد. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن مجموعة حل المعادلة: اثنين أس سالب ﺱ يساوي ﺱ زائد ثلاثة هي المجموعة التي تحتوي على سالب واحد.

دعونا نستعرض الآن بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، مجموعة الحل لأي معادلة هي المجموعة التي تتضمن جميع حلول هذه المعادلة؛ أي مجموعة كل القيم التي تحقق المعادلة. وعلى وجه التحديد، إذا كانت هناك معادلة ليس لها حلول، يمكننا القول إن مجموعة الحل هي المجموعة الخالية. بعد ذلك، عرفنا أنه يمكننا حل المعادلة: ﺩﺱ تساوي ﺭﺱ من خلال إيجاد الإحداثيات ﺱ لجميع نقاط التقاطع بين التمثيلين البيانيين ﺹ يساوي ﺩﺱ وﺹ يساوي ﺭﺱ.

تمثل كل نقطة تقاطع حلًّا للمعادلة. إذا لم تكن هناك نقاط تقاطع، فلن تكون هناك حلول للمعادلة. وأخيرًا، عرفنا أن الحلول البيانية للمعادلات يمكن أن تكون قيمًا تقريبية. ينطبق ذلك تحديدًا إذا أردنا رسم إحدى الدوال بأنفسنا. في هذه الحالات، علينا استخدام الخطوط الإحداثية حتى تكون القيمة التقريبية دقيقة قدر الإمكان.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.