نسخة الفيديو النصية
سيارة كتلتها 660 كيلوجرامًا تتحرك بسرعة ثابتة على طريق دائري أملس، كما هو موضح في الشكل. تتبع السيارة مسارًا حول مركز الطريق، محافظة على مسافة ثابتة منه 𝑟 تساوي 22 مترًا من مركز مسارها الدائري. الزاوية التي يميل بها الطريق على الأفقي 𝜃 تساوي 28 درجة. ما مقدار القوة التي تؤثر على السيارة في اتجاه 𝑟؟ أجب لأقرب نيوتن.
مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد مقدار القوة المؤثرة على سيارة في اتجاه نصف القطر 𝑟 للمسار الدائري الذي تتحرك فيه السيارة. هذه القوة المؤثرة على السيارة ناتجة عن قوة رد الفعل العمودية التي تؤثر على السيارة بسبب تلامسها مع سطح مائل.
حسنًا، دعونا نبدأ بكتابة المعلومات المعطاة. كتلة السيارة، التي سنشير إليها بالحرف 𝑚، تساوي 660 كيلوجرامًا. تتحرك السيارة في طريق دائري نصف قطره 𝑟 يساوي 22 مترًا. ويميل الطريق على الأفقي بزاوية 𝜃 تساوي 28 درجة.
بعد إفراغ بعض المساحة على الشاشة، دعونا نسترجع أنه عندما يتحرك جسم في دائرة، فإنه تؤثر عليه قوة في اتجاه مركز هذه الدائرة تعرف بالقوة الجاذبة المركزية. والقوة الجاذبة المركزية، التي يشار إليها بالرمز 𝐹𝑐، تساوي كتلة الجسم 𝑚 في سرعته الخطية 𝑣 تربيع مقسومة على نصف القطر 𝑟 للمسار الدائري الذي يتبعه الجسم. في هذا المثال، القوة المؤثرة على السيارة في اتجاه مركز الطريق هي قوة جاذبة مركزية. لذا سنشير إليها بالرمز 𝐹𝑐.
دعونا نتخيل أن السيارة تتحرك نحونا مباشرة. توجد قوتان تؤثران على السيارة، وهما وزن السيارة المؤثر لأسفل وقوة رد الفعل العمودية التي نرمز لها بـ 𝑅. وبما أن سطح الطريق المائل أملس، فيمكننا تجاهل قوى الاحتكاك المؤثرة على السيارة لأعلى أو لأسفل. لاحظ أنه لا توجد قوة يرمز لها بـ 𝐹𝑐 تؤثر على السيارة. لكن توجد قوة تؤثر على السيارة باتجاه المركز.
يمكننا الملاحظة من هذا المنظور أن مركز الطريق يقع عند نقطة ما في اتجاه اليمين. وإحدى مركبتي قوة رد الفعل العمودية تشير إلى هذا الاتجاه. وبما أنها تشير دائمًا إلى مركز الطريق، يمكننا القول إنها قوة جاذبة مركزية. تنتج القوى الجاذبة المركزية دائمًا عن قوى فعلية تؤثر على الجسم. وفي هذه الحالة، نلاحظ أن القوة الفعلية المؤثرة على الجسم هي قوة رد الفعل العمودية. وهذا هو السبب الفيزيائي للقوة 𝐹𝑐.
إذن، بدلًا من الحل لإيجاد قيمة 𝐹𝑐 باستخدام المعادلة السابقة، سنستخدم مخطط الجسم الحر لدينا. في البداية، دعونا نكتب معادلة لـ 𝐹𝑐 بدلالة قوة رد الفعل العمودية 𝑅. لفعل ذلك، يمكننا رسم محوري الإحداثيات بحيث تكون 𝐹𝑐 في الاتجاه الموجب للمحور 𝑥 بالكامل. إذا حللنا القوة 𝑅 إلى مركبتيها 𝑥 و𝑦، فسنلاحظ أن هذه المتجهات تكون معًا مثلثًا قائم الزاوية. هذا المثلث القائم الزاوية يشبه المثلث القائم الزاوية الذي يكونه الطريق المائل مع الأرض والخط الرأسي الذي يصل بينهما. وبما أن الطريق يميل بزاوية 𝜃 على الأفقي، فإن الزاوية العلوية في المثلث الذي تكونه متجهات القوة ستساوي أيضًا 𝜃.
ومن ثم، يمكننا القول إن 𝐹𝑐 تساوي متجه القوة 𝑅 في sin 𝜃. نحن نعلم قيمة 𝜃؛ إنها تساوي 28 درجة. لكننا لا نعلم قيمة القوة 𝑅. ولإيجاد قيمتها، سنقارن قوة رد الفعل العمودية بقوة الوزن 𝑊. سيساعدنا في ذلك تعديل وضع محوري الإحداثيات بحيث يشير الاتجاه الموجب من المحور 𝑥 في اتجاه الطريق لأسفل، ويشير الاتجاه الموجب من المحور 𝑦 في اتجاه 𝑅؛ أي لأعلى بحيث يكون عموديًّا على الطريق.
إذا حللنا 𝑊 إلى مركبتيها 𝑥 و𝑦 على هذين المحورين الجديدين، فسنجد أن لدينا مرة أخرى مثلثًا قائم الزاوية يشبه المثلث الذي يكونه الطريق؛ حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 𝑊 و𝑊𝑦. وسنجد أن المركبة 𝑊𝑦 تساوي قوة رد الفعل العمودية 𝑅 في المقدار.
باستخدام هذا المثلث القائم الزاوية لمتجهات قوة الوزن، يمكننا الملاحظة أن 𝑊𝑦 تساوي 𝑊 في cos 𝜃. بدمج هاتين المعادلتين معًا، نجد أن 𝑅 تساوي 𝑊 في cos 𝜃. ومن ثم يمكننا التعويض بالطرف الأيمن من هذه المعادلة عن 𝑅 في المعادلة السابقة. بوجه عام، قوة وزن الجسم 𝑊 تساوي كتلته 𝑚 في عجلة الجاذبية الأرضية 𝑔. لذا، يمكننا التعويض مباشرة ويصبح لدينا الآن معادلة لـ 𝐹𝑐 بدلالة الكميات المعلومة. 𝑚 تساوي 660 كيلوجرامًا، و𝑔 تساوي 9.8أمتار لكل ثانية تربيع، و𝜃 تساوي 28 درجة.
وبحساب ذلك لأقرب نيوتن، نحصل على الناتج 2681 نيوتن. هذا هو مقدار القوة الجاذبة المركزية المؤثرة على السيارة، أو بعبارة أخرى القوة التي تؤثر في اتجاه 𝑅.