نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد نقطة التقاطع بين خطين مستقيمين على المستوى الإحداثي، وسنستخدم ذلك المفهوم لإيجاد معادلتين لمستقيمين. سنبدأ بالتفكير فيما نعنيه بنقطة التقاطع. إننا نعرف تقاطع المستقيمين بأنه النقطة الوحيدة التي يلتقيان أو يتقاطعان عندها. يمكن إذن أن يكون لدينا، على سبيل المثال، هذه القطعة المستقيمة 𝐴𝐵 وقطعة مستقيمة أخرى 𝑃𝑄. يمكننا بعد ذلك تحديد النقطة 𝐹 التي تتقاطع عندها هاتان القطعتان المستقيمتان. بالتالي، النقطة 𝐹 هي نقطة تقاطع القطعتين المستقيمتين 𝐴𝐵 و𝑃𝑄. وهكذا، عندما يتعلق الأمر بإيجاد تقاطع مستقيمين على مستوى إحداثي، فإننا نطبق المبدأ نفسه. حيث نبحث عن النقطة التي يلتقي أو يتقاطع عندها المستقيمان.
عادة ما تكون لدينا معادلتان لمستقيمين. ومن ثم، يمكن كتابة نقطة التقاطع في صورة زوج مرتب أو إحداثيين. يمكننا إيجاد هذا الزوج المرتب بيانيًا عن طريق الرسم، أو جبريًا من خلال إيجاد قيمتي 𝑥 و𝑦. لاحظ أنه نظرًا لأن عادة ما تكون لدينا معادلتان بهما المجهولان 𝑥 و𝑦، فسنحتاج غالبًا إلى حلهما آنيًا أو باستخدام طريقة التعويض. سنتناول عددًا من الطرق المختلفة للحل جبريًا. لكن دعونا نلق نظرة على السؤال الأول، حيث نستخدم طريقة بيانية.
عند أي نقطة يتقاطع المستقيمان 𝑥 يساوي سبعة وسدس 𝑦 يساوي سالب واحد؟
في هذا السؤال، لدينا معادلتان لمستقيمين، ومطلوب منا إيجاد موضع تقاطع هذين المستقيمين؛ أي نقطة التقائهما أو تقاطعهما. قد يكون من المفيد البدء بتصور شكل هذين المستقيمين على شبكة الإحداثيات. يشير المستقيم 𝑥 يساوي سبعة إلى جميع الأزواج المرتبة التي قيمة 𝑥 بها تساوي سبعة. سنحصل على مستقيم رأسي يمر بسبعة على المحور 𝑥. بالنسبة إلى المعادلة الثانية سدس 𝑦 يساوي سالب واحد، فتصورها يكون أسهل أحيانًا إذا جعلنا 𝑦 هو المتغير التابع. بإعادة الترتيب من خلال ضرب كلا الطرفين في ستة، نحصل على المعادلة 𝑦 يساوي سالب ستة.
ومن ثم، فإن معادلة المستقيم 𝑦 يساوي سالب ستة أو سدس 𝑦 يساوي سالب واحد ستمثل بمستقيم أفقي يمر بسالب ستة على المحور 𝑦. إذن، نقطة التقاطع هي الزوج المرتب الذي يتقاطع عنده هذان المستقيمان. يمكننا بذلك الإجابة بالزوج المرتب سبعة، سالب ستة. عادة عندما نوجد تقاطع نقطتين، يمكننا افتراض أن المعادلتين متساويتان. لكن بما أن لدينا مستقيمًا أفقيًا وآخر رأسيًا هنا، فالنقاط الوحيدة التي تتساوى عندها كل من قيمتي 𝑥 وقيمتي 𝑦 لهاتين المعادلتين هي عند 𝑥 يساوي سبعة و𝑦 يساوي سالب ستة، وهو ما يعطينا الزوج المرتب سبعة، سالب ستة.
في الأسئلة القليلة التالية، سنستخدم الطريقة الجبرية لإيجاد نقطة تقاطع مستقيمين.
أوجد نقطة تقاطع المستقيمين الممثلين بالمعادلتين 𝑥 زائد ثلاثة 𝑦 ناقص اثنين يساوي صفرًا، وسالب 𝑦 زائد واحد يساوي صفرًا.
افترض أن للإجابة عن هذا السؤال لن نرسم هذين المستقيمين للحصول على حل بياني. بدلًا من ذلك، سنحلهما جبريًا. عند نقطة التقاطع، وهو الموضع الذي يلتقي أو يتقاطع عنده المستقيمان، تتساوى قيمتا 𝑥 وقيمتا 𝑦. وبما أن لدينا معادلتين بهما المجهول 𝑥 أو المجهول 𝑦، فسنحتاج إلى حلهما آنيًا أو باستخدام طريقة التعويض. لكن في المعادلة الثانية، ليس لدينا قيمة 𝑥. لذا، ربما تكون طريقة التعويض هي الأسهل هنا. إذا أخذنا المعادلة الثانية سالب 𝑦 زائد واحد يساوي صفرًا وأعدنا ترتيبها لجعل 𝑦 هو المتغير التابع، فبإضافة 𝑦 إلى كلا الطرفين، نحصل على واحد يساوي 𝑦 أو 𝑦 يساوي واحدًا.
الآن وقد عرفنا أن 𝑦 يساوي واحدًا، يمكننا التعويض بهذا في المعادلة الأولى. هذا يعطينا 𝑥 زائد ثلاثة في واحد ناقص اثنين يساوي صفرًا. وبإيجاد قيمة ذلك، نجد أن 𝑥 زائد واحد يساوي صفرًا. بطرح سالب واحد، نحصل على 𝑥 يساوي سالب واحد. نحن نعلم الآن أنه عند نقطة تقاطع هاتين المعادلتين، تكون قيمة 𝑥 هي سالب واحد وقيمة 𝑦 هي واحد؛ وهو ما يعني أنه يمكننا كتابة الإجابة في صورة الزوج المرتب سالب واحد، واحد.
في السؤال التالي، سنوجد معادلة مستقيم يمر بنقطة ما ونقطة تقاطع مستقيمين آخرين.
ما معادلة المستقيم المار بالنقطة 𝐴 سالب واحد، ثلاثة، ونقطة تقاطع المستقيمين ثلاثة 𝑥 ناقص 𝑦 زائد خمسة يساوي صفرًا، وخمسة 𝑥 زائد اثنين 𝑦 زائد ثلاثة يساوي صفرًا؟
حسنًا، ما يعنينا في هذا السؤال هو نقطتان. لدينا هذه النقطة 𝐴 وهي سالب واحد، ثلاثة، ثم سنوجد نقطة أخرى وهي نقطة تقاطع هذين المستقيمين. الخطوة الأولى هنا هي إيجاد نقطة تقاطع هذين المستقيمين. عند نقطة تقاطع مستقيمين، تتساوى قيمتا 𝑥 وقيمتا 𝑦. يمكنك ملاحظة أن لدينا مجهولين علينا إيجاد قيمتيهما؛ وهما 𝑥 و𝑦. لكن لدينا معادلتين مختلفتين لمساعدتنا على حل ذلك. إحدى طرق الحل هي حل هاتين المعادلتين آنيًا. من المفيد ترقيم المعادلتين إلى معادلة رقم واحد ومعادلة رقم اثنين. ثم علينا تحديد ما إذا كنا سنحذف قيمة 𝑥 أم 𝑦.
لحذف قيمة 𝑥 أو 𝑦، يجب أن تتساوى قيمتاهما المطلقة. لذا إذا اخترنا حذف قيمة 𝑦، فعلينا ضرب كل حدود المعادلة رقم واحد في اثنين، وهو ما يعطينا ستة 𝑥 ناقص اثنين 𝑦 زائد 10 يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك كتابة المعادلة الثانية تحتها. لحذف حدي اثنين 𝑦، حيث لدينا سالب اثنين 𝑦 وموجب اثنين 𝑦، سنجمع المعادلتين. ستة 𝑥 زائد خمسة 𝑥 يعطينا 11𝑥. وسالب اثنين 𝑦 زائد اثنين 𝑦 يعطينا صفرًا، وهو ما نريده. 10 زائد ثلاثة يعطينا 13. وفي الطرف الأيمن، لدينا صفر. والآن بما أن لدينا 11𝑥 زائد 13 يساوي صفرًا، يمكننا إعادة ترتيب هذا لإيجاد قيمة 𝑥. بطرح 13 من الطرفين ثم قسمتهما على 11، نحصل على 𝑥 يساوي سالب 13 على 11.
والآن بعد أن أوجدنا قيمة 𝑥، يمكننا التعويض بها في أي من المعادلتين لإيجاد قيمة 𝑦. وبالتعويض في المعادلة الأولى، نحصل على ثلاثة في سالب 13 على 11 ناقص 𝑦 زائد خمسة يساوي صفرًا. وبتبسيط القيمة الأولى، نحصل على سالب 39 على 11، ونضيف بعد ذلك خمسة. بتذكر أن خمسة يساوي 55 على 11، نحصل على المعادلة 16 على 11 ناقص 𝑦 يساوي صفرًا. وبإضافة 𝑦 إلى الطرفين، يصبح لدينا 16 على 11 يساوي 𝑦، أو 𝑦 يساوي 16 على 11. الآن بعد ما أوجدنا قيمتي 𝑥 و𝑦، نجد أن نقطة تقاطع المستقيمين تقع عند النقطة سالب 13 على 11، 16 على 11.
بعد ذلك، علينا إيجاد معادلة المستقيم الذي يصل هذه النقطة بالنقطة 𝐴 سالب واحد، ثلاثة. سنبدأ بإيجاد ميل هذا المستقيم. الميل أو قيمة 𝑚 لأي نقطتين 𝑥 واحد، 𝑦 واحد و𝑥 اثنين، 𝑦 اثنين يساوي 𝑦 اثنين ناقص 𝑦 واحد على 𝑥 اثنين ناقص 𝑥 واحد. ولا يهم أي زوج مرتب سنختاره لقيمتي 𝑥 واحد، 𝑦 واحد. لذا، دعونا نعوض بقيمتي النقطة 𝐴. هذا يعطينا الميل أو 𝑚 يساوي 16 على 11 ناقص ثلاثة على سالب 13 على 11 ناقص سالب واحد. بتبسيط البسط، 16 على 11 ناقص 33 على 11 نحصل على سالب 17 على 11. وفي المقام، لدينا سالب 13 على 11 زائد واحد، وواحد يساوي 11 على 11. إذن، ناتج المقام يساوي سالب اثنين على 11.
قبل تبسيط هذا أكثر من ذلك، يمكننا حذف السالب في كل من البسط والمقام. يمكننا بعد ذلك ملاحظة أن 17 على 11 على اثنين على 11 يساوي 17 على 11 مقسومًا على اثنين على 11. عند قسمة كسرين، فهذا يكافئ الضرب في مقلوب الكسر الثاني. بحذف العامل المشترك 11 من البسط والمقام قبل الضرب، نحصل على 𝑚 يساوي 17 على اثنين. هذا يعني أن الميل لمعادلة المستقيم الذي يصل بين النقطتين لدينا يساوي 17 على اثنين. دعونا نفرغ بعض المساحة للجزء التالي من الحل.
الآن نظرًا لأن لدينا نقطتين وميل المستقيم، يمكننا استخدام صيغة الميل والنقطة لإيجاد معادلة المستقيم. عندما يكون لدينا الميل 𝑚 لمستقيم والنقطة 𝑥 واحد، 𝑦 واحد، تكتب المعادلة بالصيغة 𝑦 ناقص 𝑦 واحد يساوي 𝑚 في 𝑥 ناقص 𝑥 واحد. بما أن لدينا نقطتين، فيمكننا استخدام أي منهما في المعادلة، لكن دعونا نستخدم النقطة 𝐴 عند سالب واحد، ثلاثة مع قيمتي 𝑥 واحد، 𝑦 واحد. وبالتعويض بذلك في الصيغة، يصبح لدينا 𝑦 ناقص ثلاثة، وهذه هي قيمة 𝑦 واحد، يساوي 17 على اثنين، وهي قيمة 𝑚، مضروبًا في 𝑥 ناقص سالب واحد، وهذه هي قيمة 𝑥 واحد. في الطرف الأيمن داخل القوسين، لدينا ناقص سالب واحد، وهو ما يساوي موجب واحد. إذن، عند فك الأقواس في الطرف الأيمن، يصبح لدينا 17 على اثنين 𝑥 زائد 17 على اثنين.
وبما أننا نريد تجميع الحدود معًا، فلتجميع الحدين الثابتين، سنضيف ثلاثة إلى كلا الطرفين. ثلاثة يكافئ ستة على اثنين، إذن عندما نضيف ذلك إلى 17 على اثنين، نحصل على 23 على اثنين. في هذه المرحلة، يصبح لدينا إجابة تحقق معادلة المستقيم، لكن في بعض الأحيان يكون من الجيد حذف أي كسور إن أمكن. لذا، سنضرب هذه المعادلة بالكامل في اثنين. وهذا يعطينا اثنين 𝑦 يساوي 17𝑥 زائد 23. ثم على صورة معادلة تساوي صفرًا، سيصبح لدينا صفر يساوي 17𝑥 ناقص اثنين 𝑦 زائد 23؛ ما يعني أنه يمكننا كتابة الإجابة بصيغة أفضل قليلًا وهي 17𝑥 ناقص اثنين 𝑦 زائد 23 يساوي صفرًا. وتلك هي معادلة المستقيم المار بسالب واحد، ثلاثة، والمار أيضًا بتقاطع المستقيمين ثلاثة 𝑥 ناقص 𝑦 زائد خمسة يساوي صفرًا وخمسة 𝑥 زائد اثنين 𝑦 زائد ثلاثة يساوي صفرًا.
لنلق نظرة على سؤال آخر.
أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين 𝑥 ناقص ثمانية 𝑦 يساوي اثنين، وسالب ستة 𝑥 ناقص ثمانية 𝑦 يساوي واحدًا، والموازي للمحور 𝑦.
في هذا السؤال، علينا إيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطة تقاطع مستقيمين آخرين، وهي النقطة التي يتقاطع أو يلتقي عندها هذان المستقيمان. هذه المعلومات ليست كافية لإيجاد المعادلة، لذا علمنا أيضًا أن هذا المستقيم مواز للمحور 𝑦. إذن، الخطوة الأولى التي علينا اتخاذها هي إيجاد نقطة التقاطع بين المستقيمين. عند نقطة التقاطع بين المستقيمين، تكون قيمتا 𝑥 للمستقيمين متساويتين وكذلك قيمتا 𝑦. لدينا قيمتان مجهولتان علينا إيجادهما، وهما قيمتا 𝑥 و𝑦، لكن لدينا أيضًا معادلتين لمساعدتنا. يمكننا حل هذا جبريًا باستخدام التعويض أو باستخدام المعادلات الآنية.
باستخدام طريقة المعادلات الآنية، يتعين علينا حذف إما قيمتي 𝑥 أو قيمتي 𝑦. لكن ربما نلاحظ هنا أن لدينا سالب ثمانية 𝑦 في كلتا المعادلتين. بالتالي، إذا طرحنا المعادلة الثانية من المعادلة الأولى، فيمكننا حذف قيمة 𝑦. وبذلك نحصل على 𝑥 ناقص ستة 𝑥، وهو ما يساوي سبعة 𝑥. سالب ثمانية 𝑦 ناقص سالب ثمانية 𝑦 يعطينا صفرًا، وهو ما نريده. وأخيرًا، اثنان ناقص واحد يعطينا واحدًا. والآن بعد ما علمنا أن سبعة 𝑥 يساوي واحدًا، يمكننا قسمة الطرفين على سبعة، وهو ما يعطينا 𝑥 يساوي سبعًا. الآن وقد أوجدنا قيمة 𝑥، يمكننا التعويض بهذه القيمة في أي من المعادلتين لإيجاد قيمة 𝑦.
إذن، عند 𝑥 يساوي سبعًا، وباستخدام المعادلة الأولى، سيكون لدينا سبع ناقص ثمانية 𝑦 يساوي اثنين. بطرح سبع من كلا الطرفين، نحصل على سالب ثمانية 𝑦 يساوي اثنين ناقص سبع. إذن في الطرف الأيمن، لدينا 13 على سبعة. بقسمة الطرفين على سالب ثمانية، يصبح لدينا 𝑦 يساوي 13 على سالب 56، أو 𝑦 يساوي سالب 13 على 56. لقد أوجدنا قيمتي 𝑥 و𝑦، ما يعني أن نقطة تقاطع الخطين المستقيمين المعطيين هي سبع، سالب 13 على 56.
علينا الآن إيجاد معادلة المستقيم المار بهذه النقطة والموازي للمحور 𝑦. قد يكون من المفيد التفكير في كيف سيبدو ذلك على شبكة الإحداثيات. النقطة سبع، سالب 13 على 56 ستكون تقريبًا هنا. المستقيم الذي يمر بهذه النقطة موازيًا للمحور 𝑦 سيكون مستقيمًا رأسيًا. لكن ما هي معادلة هذا المستقيم بالضبط؟ جميع القيم على هذا المستقيم ستكون قيمة 𝑥 بها هي سبع. وبالتالي، فإن معادلة المستقيم هي 𝑥 يساوي سبعًا. وبذلك نكون قد أجبنا عن هذا السؤال بإيجاد نقطة تقاطع مستقيمين، ثم إيجاد معادلة هذا المستقيم بمعلومية أنه مواز للمحور 𝑦.
يمكننا الآن تلخيص بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. في البداية، علمنا أن نقطة تقاطع مستقيمين هي النقطة الوحيدة التي يلتقيان أو يتقاطعان عندها. يمكننا إيجاد نقطة تقاطع مستقيمين على المستوى الإحداثي بيانيًا عن طريق رسم المستقيمين على شبكة الإحداثيات أو جبريًا من خلال حلهما آنيًا لإيجاد قيمتي 𝑥 و𝑦 لنقطة التقاطع. وستمنحنا الطريقة الجبرية دائمًا حلًا دقيقًا، لكنه قد يكون من المفيد استخدام الطرق البيانية للتحقق من إجابتنا.
