فيديو الدرس: الكميات القياسية والمتجهة الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، موضوعنا هو الكميات القياسية والمتجهة. سنتعلم كيفية تعريف هذين المصطلحين، بالإضافة إلى معرفة الطرق المختلفة لدمج الكميات القياسية والمتجهة. نلاحظ هنا أن هذا الرسم يشير إلى أحد الفروق بينهما. لكن لكي نوضح الأمور في البداية، دعونا نعرف هذين المصطلحين.

الكمية القياسية هي كمية أو عدد يوصف وصفًا كاملًا من خلال مقدار أو قيمة. ومثال بسيط على ذلك، إذا كان لدينا خمس تفاحات، فإن الكمية القياسية التي تصف عدد التفاحات هي ببساطة خمس تفاحات. فبوجه عام، يمكن أن تمثل الكمية القياسية بعدد مجرد. وهو في هذه الحالة العدد خمسة. ويمكن أن تمثل بعدد مقترن بوحدة. وفي هذا المثال، يمكننا النظر إلى كلمة «تفاحات» باعتبارها وحدة، أي نوع الشيء الذي نحدد كميته.

لكن دعونا نفكر في بعض الأمثلة الأخرى للكميات القياسية. لنفترض أننا سنذهب إلى متجر البقالة، ويقع المتجر على بعد 1.3 كيلومتر. هذه كمية قياسية. وبوجه عام، ينطبق هذا على أي مسافة. وماذا لو حددنا موعدًا للقاء صديق بعد 30 دقيقة من الآن؟ هذا زمن، وكل قيم الزمن كميات قياسية. وينطبق الأمر نفسه على درجات الحرارة وكذلك السرعات. قد نبدأ هنا في التساؤل عن نوع الكميات غير القياسية. بعبارة أخرى، ماذا تصف الكميات المتجهة؟ لكن أولًا، لنتناول تعريف هذه الكميات.

يمكننا القول إن الكميات المتجهة هي كميات توصف وصفًا كاملًا من خلال مقدار واتجاه. بالعودة إلى مثال الطائرين الجارحين الموضح في بداية الفيديو، إذا عرف هذان الطائران أن الأرنب ليس على بعد خمسة كيلومترات فقط، وإنما على بعد خمسة كيلومترات شرقًا، فسيعرفان إزاحة الأرنب من موضعهما. نلاحظ أن هذه الإزاحة لها مقدار وهو خمسة كيلومترات، وكذلك اتجاه وهو الشرق، وبذلك فهي كمية متجهة. تتشارك جميع الإزاحات هذه الصفة.

من الأمثلة الأخرى على الكميات المتجهة القوى بكل صورها. يتضمن الوصف الكامل للقوة مقدارها، وهو في هذه الحالة سبعة نيوتن، وكذلك اتجاه تأثيرها. إذن فالقوة كمية متجهة، وكذلك العجلة. عندما نعرف العجلة تعريفًا كاملًا، فإننا نصف مقدارها، ويكون ذلك غالبًا بالمتر لكل ثانية تربيع. ونحدد أيضًا اتجاهها. وكمثال أخير، كل السرعات المتجهة هي كميات متجهة أيضًا. لاحظ أننا في هذه الحالة اخترنا مقدار سرعة متجهة يطابق السرعة القياسية التي لدينا. لذا فإن السرعة المتجهة، وهي كمية متجهة، هي سرعة قياسية، أي كمية قياسية، في اتجاه ما. وبالمناسبة، ينطبق الأمر نفسه على الإزاحة والمسافة. فتتكون الإزاحة من مسافة، وهي كمية قياسية، في اتجاه ما، وهي في هذه الحالة في اتجاه الشرق.

والآن بعد أن فهمنا معنى الكميات القياسية والمتجهة، دعونا نتناول طرقًا مختلفة لدمجها. في البداية، دعونا نتخيل أننا نريد دمج كمية قياسية مع كمية أخرى، وهي كمية قياسية أيضًا. ولنفترض أن هاتين الكميتين هما مسافة تبلغ خمسة أمتار، ودرجة حرارة تبلغ 13 كلفن. نلاحظ على الفور أنه على الرغم من أن هاتين الكميتين قياسيتان، فليس من المنطقي جمعهما أو طرح إحداهما من الأخرى. لا يمكننا فعل ذلك إلا إذا كانت الكميتان القياسيتان لهما نفس الوحدة. على سبيل المثال، لنقل إننا نريد دمج خمسة أمتار مع 27 مترًا. كلاهما كمية قياسية، وفي هذه الحالة لا توجد مشكلة في جمعهما أو طرح إحداهما من الأخرى.

يمكننا القول بوجه عام إننا إذا أردنا دمج كميتين قياسيتين، فإنه ما دام أن وحدتيهما متطابقتان، يمكننا جمعهما أو طرحهما. وإذا فكرنا بعد ذلك في دمج كميتين متجهتين، فسنتوصل إلى نتيجة مشابهة. لنفترض على سبيل المثال أننا نرغب في دمج هاتين الكميتين المتجهتين: قوة مقدارها ثمانية نيوتن في اتجاه الغرب، وسرعة تبلغ ثلاثة أمتار في الثانية متجهة إلى اليمين. وكما هو الحال بالضبط مع الكميتين القياسيتين المختلفتين في النوع، لا يمكننا جمع هاتين الكميتين المتجهتين أو طرح إحداهما من الأخرى لأنهما أيضًا من نوعين مختلفين. وأسرع طريقة لمعرفة ذلك هي ملاحظة أن لكل منهما وحدة مختلفة، وهما النيوتن والمتر لكل ثانية.

لذا على الرغم من أن هاتين الكميتين متجهتان، لا يمكننا جمعهما أو طرحهما بسبب عدم تطابق وحدتيهما. لكن إذا كانت لهما نفس الوحدة، مثل القوة الموجودة هنا والأخرى التي عرفناها للتو، فإن دمجهما من خلال الجمع أو الطرح سيكون منطقيًّا. إذن إذا أردنا دمج كمية قياسية مع كمية قياسية أو كمية متجهة مع كمية متجهة، فيمكننا جمع أو طرح هذه الأزواج من الكميات ما دامت وحداتها قد تطابقت. والآن لنتناول احتمالًا ثالثًا لدمج الكميات القياسية والمتجهة.

ماذا لو أردنا دمج كمية قياسية مع أخرى متجهة؟ على سبيل المثال، لنقل إننا نريد دمج زمن يبلغ 16 ثانية مع متجه عجلة يساوي مترين لكل ثانية تربيع إلى اليسار. باستخدام هذين المثالين، يتضح لنا مباشرة أنه لا يمكننا ببساطة جمع أو طرح هاتين الكميتين؛ القياسية والمتجهة. لكن لاستكشاف هذه الفكرة قليلًا، دعونا نقل إن الكمية القياسية والكمية المتجهة اللتين اخترناهما لهما نفس الوحدة. على سبيل المثال، ماذا لو أردنا دمج سرعة قياسية، وهي كمية قياسية وحدتها المتر لكل ثانية، مع سرعة متجهة، وهي كمية متجهة لكن لها نفس الوحدة؟ حتى في هذه الحالة التي تتطابق فيها الوحدتان، لا يمكننا جمع أو طرح كمية قياسية وأخرى متجهة.

تخيل، على سبيل المثال، أنك تحاول جمع ثلاثة أمتار لكل ثانية مع أربعة أمتار لكل ثانية في اتجاه الشمال. نظرًا لأن الكمية المتجهة لها اتجاه، فلن نعرف في الواقع كيفية دمج عنصر الاتجاه مع كمية قياسية ليس لها اتجاه. فليست لدينا هذه المعلومة بالنسبة للسرعة القياسية، ومن ثم لا يمكننا جمعها مع سرعة متجهة. ولعلك ستندهش عندما تعلم أن هذا لا يعني عدم وجود طريقة لدمج كمية قياسية مع أخرى متجهة. هذا لأنه ما زال بإمكاننا إجراء عمليتي الضرب والقسمة.

على الرغم من غرابة الأمر، يمكن إجراء هاتين العمليتين بين كمية قياسية وأخرى متجهة بشكل عام. على سبيل المثال، لنفترض أننا نقسم العجلة، وهي كمية متجهة، على هذه الفترة الزمنية، وهي كمية قياسية. ستكون النتيجة كسرًا؛ وهو اثنان على 16، أو واحد على ثمانية متر لكل ثانية تربيع لكل ثانية في اتجاه اليسار. ويمكن كتابة المتر لكل ثانية تربيع لكل ثانية على صورة متر لكل ثانية تكعيب. ولذلك فإن ما لدينا هنا هو بالأساس معدل زمني لتغير العجلة، أي مقدار تغير العجلة بالمتر لكل ثانية تربيع في كل ثانية.

هذه بالتأكيد وحدة غريبة ولا نقابلها عادة، لكن هذا لا يعني أنها مرفوضة أو مستحيلة. فيمكننا تخيل سيناريو تتغير فيه العجلة خلال فترة زمنية معينة. إذن هذه الطريقة لدمج هاتين الكميتين ممكنة، وإن كانت غير مألوفة. ويمكن أن توضح لنا أمثلة أخرى أنه مثلما يمكن إجراء عملية القسمة، يمكن أيضًا إجراء عملية الضرب بين كمية قياسية وكمية متجهة. سنلخص إذن ما توصلنا إليه كما يلي. عندما نريد دمج كمية قياسية مع أخرى متجهة، لا يمكننا جمعهما أو طرحهما من بعضهما البعض، لكن يمكننا ضربهما أو قسمتهما على بعضهما البعض.

ثمة نقطة أخيرة يمكننا ذكرها بخصوص دمج الكميات القياسية والمتجهة، وهي أنه عندما نفكر في دمج كميتين متجهتين، إما عن طريق الجمع أو الطرح، وكان ذلك ممكنًا، أي كانت لهما نفس الوحدة؛ فيمكننا فعل ذلك بيانيًّا وكذلك حسابيًّا. لكي نرى كيفية فعل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة ثم نرسم زوجًا من محاور الإحداثيات. الآن، ما نريد فعله هنا هو دمج متجهين بيانيًّا، ولنقل على سبيل المثال إنهما يمثلان قوتين. لدينا بالفعل قوة واحدة تساوي ثمانية نيوتن في اتجاه الغرب، ومن ثم فلنحدد قوة أخرى. لنفترض أنها تساوي اثنين نيوتن في اتجاه الجنوب.

يوضح لنا كل من وحدتي نيوتن والاتجاهين المرتبطين بهما، وهما الغرب والجنوب، كيف يمكننا تسمية المحورين في التمثيل البياني. لنفترض أن هذا الاتجاه هو الشمال، وهذا الاتجاه هو الشرق، وأن المحورين محددان بوحدة النيوتن بهذا الشكل. والآن، عند رسم المتجه الذي يساوي ثمانية نيوتن في اتجاه الغرب على هذا التمثيل البياني، سنلاحظ على الفور أننا سنحتاج إلى مد المحور باتجاه الغرب. لكن عندما نفعل ذلك، يمكننا رسم القوة المؤثرة في اتجاه الغرب التي تبلغ ثمانية نيوتن. فهي تبدأ من نقطة الأصل ثم تنتقل بمقدار ثماني وحدات، أي ثمانية نيوتن، في اتجاه الغرب. بعد ذلك، يمكننا رسم القوة التي تساوي اثنين نيوتن في اتجاه الجنوب. وستبدو بهذا الشكل على التمثيل البياني.

لقد ذكرنا من قبل أنه إذا كان لدينا متجهان تتطابق وحدتا قياسهما، فيمكننا جمعهما أو طرحهما. وبما أن كلا هذين المتجهين قوة، فهذا يعني أنهما يحققان شرط تطابق وحدات القياس. ومن ثم، يمكننا على سبيل المثال جمعهما معًا. وعند رسم المتجهات معًا على الرسم البياني نفسه، مثل هذين المتجهين، فإننا نستخدم طريقة الرأس للذيل. ونطبق هذه الطريقة على هذا النحو. سنبدأ بأي من المتجهين، ونحدد رأس هذا المتجه. لنفترض أننا بدأنا بالمتجه الذي يساوي ثمانية نيوتن في اتجاه الغرب، وهو ما يعني أن رأسه موجود هنا. إذن، هذا هو الرأس في طريقة الرأس للذيل.

بعد ذلك، ما سنفعله هو تحديد موقع ذيل المتجه الآخر. وهو هذه النقطة هنا. وننقل أو نزيح المتجه الثاني بحيث يقع ذيله عند رأس المتجه الأول. سيتضمن ذلك تحريك المتجه الموضح باللون الذهبي، الذي يساوي اثنين نيوتن ناحية الجنوب، بهذا الشكل. والآن بعد أن أصبح المتجهان مرتبين من الرأس للذيل، نبدأ من البداية، أي ذيل المتجه الأول الموجود عند نقطة الأصل. ونرسم متجهًا من تلك النقطة إلى رأس المتجه الثاني. إذن يمكننا القول إنه إذا كان المتجه الأول هو المتجه ‪𝐀‬‏، والمتجه الثاني هو المتجه ‪𝐁‬‏، فإن هذا المتجه الأخضر الذي رسمناه يساوي ‪𝐀‬‏ زائد ‪𝐁‬‏. وبذلك عند دمج المتجهات، لا يمكننا فعل ذلك جبريًّا فحسب، بل بيانيًّا أيضًا.

بعد معرفة كل ذلك عن الكميات القياسية والمتجهة، لنتدرب قليلًا على هذه الأفكار من خلال مثال.

أي من الآتي كمية متجهة؟ (أ) الطاقة، (ب) الضغط، (ج) فرق الجهد، (د) القوة، (هـ) الشحنة.

حسنًا، تتمثل الفكرة هنا في أن إحدى هذه الكميات الخمس كمية متجهة. ويمكننا أن نتذكر أن الكمية المتجهة تعرف بأن لها مقدارًا واتجاهًا. وبالتحديد، حقيقة أن المتجه يرتبط باتجاه معين هو ما يميزه عما يسمى الكمية القياسية، وهي كمية لها مقدار فقط. إذن بينما ننظر إلى خيارات الإجابات المختلفة، لنفكر في أمثلة لكل من هذه الكميات ونر ما إذا كنا سنجد كميات لها اتجاهات ومقادير.

نبدأ بالاختيار (أ) الطاقة، ومن الأمثلة على كمية الطاقة 12 جول. وعندما يتعلق الأمر بالضغط، فإن الوحدة المعيارية لقياس الضغط هي الباسكال. والوحدة المعيارية لقياس فرق الجهد هي الفولت. فقد يكون لدينا على سبيل المثال 32 فولت. ووحدة النظام الدولي الأساسية لقياس القوة هي النيوتن، فقد تكون لدينا قوة تبلغ مثلًا 13 نيوتن في اتجاه اليمين. ونستخدم عادة وحدة الكولوم مع كميات الشحنة. فيمكن أن تكون لدينا شحنة تساوي 0.3 كولوم.

في جميع أمثلة الكميات هذه، نلاحظ وجود مقادير: 12 جول، 3.1 باسكال، 32 فولت، وهكذا. لكن حسب تعريفنا للكمية المتجهة، المقدار وحده لا يكفي لتكوين متجه. نحتاج أيضًا إلى اتجاه يرتبط بهذا المقدار. ونظرًا لضرورة تحقق ذلك، نجد أن خيارًا واحدًا فقط من الخيارات الخمسة له اتجاه. وهو القوة التي مقدارها 13 نيوتن في اتجاه اليمين. فلدينا هنا مقدار وهو 13 نيوتن، واتجاه. وليس لأي من الكميات الأخرى اتجاه. ومن ثم، سنختار الخيار (د) القوة، لأنها الكمية المتجهة الوحيدة المذكورة هنا.

لنلق نظرة الآن على مثال تدريبي آخر.

إذا ضربت المساحة في الطول، فهل الكمية الناتجة كمية متجهة أم كمية قياسية؟

حسنًا، نتحدث هنا عن ضرب مساحة في طول. يمكننا أن نتخيل أن هذه هي المساحة، وهذا هو الطول. عند ضرب هذه المساحة في هذا الطول، نحصل على ناتج ما، ونريد معرفة ما إذا كان هذا الناتج كمية متجهة أم قياسية. إليك الفرق بين الاثنين. الكمية القياسية لها مقدار فقط، بينما الكمية المتجهة لها مقدار واتجاه. لذا لمعرفة ما إذا كان حاصل ضرب المساحة في الطول سيعطينا كمية قياسية أم متجهة، علينا أن نعرف ما إذا كان هذا الحاصل له مقدار فقط أم مقدار واتجاه.

حاصل ضرب المساحة في الطول هو هذا الحجم ‪𝑉‬‏. والآن نسأل أنفسنا: هل هذا الحجم له مقدار فقط أم مقدار واتجاه؟ بعبارة أخرى، يمكننا ملاحظة أن هذا الحجم له مقدار يساوي حاصل ضرب ‪𝐴‬‏ في ‪𝐿‬‏، أيًّا كان هذا الحاصل. لكن لا يوجد اتجاه محدد يشير إليه هذا الحجم أو أي حجم آخر. إذن لدينا هنا مقدار، لكن ليس لدينا اتجاه. وبناء على تعريفنا للكميات القياسية والمتجهة، هذا يجيب عن السؤال. إذا ضربنا مساحة في طول، فستكون الكمية الناتجة كمية قياسية.

لنلخص الآن ما تعلمناه عن الكميات القياسية والمتجهة. في هذا الدرس، عرفنا الكميات القياسية والمتجهة. وتعلمنا أن الفرق الأساسي بينهما هو أن الكمية القياسية لها مقدار فقط، بينما الكمية المتجهة لها مقدار واتجاه. وعرفنا كذلك أنه يمكن جمع كمية قياسية مع كمية قياسية أو كمية متجهة مع كمية متجهة أو طرحهما من بعضهما البعض إذا تطابقت وحدتا قياسهما. كما عرفنا أنه يمكن إجراء عمليتي الضرب والقسمة لكميات قياسية مع كميات متجهة. وأخيرًا، عرفنا أنه يمكن دمج متجهين أو أكثر بيانيًّا باستخدام ما يسمى طريقة الرأس للذيل. وهذا ملخص الكميات القياسية والمتجهة.