فيديو الدرس: طاقة الوضع الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد طاقة الوضع ونوجد التغير فيها، وكيف نستخدمها لحل المسائل المختلفة.

بعض أنواع الطاقة يمكن تصورها بسهولة. على سبيل المثال، لجسم يتحرك سريعًا طاقة حركة أكبر من جسم يتحرك ببطء. يفيد قانون حفظ الطاقة بأن الطاقة الكلية في أي نظام ثابتة. فهي لا تفنى ولا تستحدث من العدم. هذا يعني أنه لا يمكننا سوى تحويل الطاقة من صورة إلى أخرى أو نقلها من جسم إلى آخر.

مثلًا، سيارة تتحرك باتجاه قمة التل وتعطلت أو توقفت بسبب انحدار التل. ماذا حدث هنا لطاقة حركة السيارة؟ الإجابة هي أنها تحولت إلى طاقة وضع الجاذبية، أو ﺽ. ويمكن اعتبار هذه الطاقة طاقة ارتفاع. فكلما ارتفع جسم لأعلى، زادت طاقة وضع الجاذبية له.

طاقة وضع الجاذبية لجسم في أي وقت تساوي الكتلة مضروبة في عجلة الجاذبية مضروبة في الارتفاع. وعند تمثيل المسائل في هذا الفيديو، سنفترض أن ﺩ، وهي عجلة الجاذبية، تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. سنقيس الارتفاع بالأمتار. والكتلة بالكيلوجرام. أما طاقة وضع الجاذبية، فستقاس بوحدة الجول. في الأسئلة الأولى التي سنتناولها في هذا الفيديو، سنستخدم هذه الصيغة في مواقف مختلفة.

يرفع ونش جسمًا كتلته ١٣٢ كيلوجرامًا رأسيًّا من سطح الأرض لارتفاع ٢٠ مترًا. أوجد الزيادة في طاقة وضع الجسم الناتجة عن الجاذبية الأرضية. اعتبر أن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

عرفنا من المعطيات أن الونش رفع جسمًا كتلته ١٣٢ كيلوجرامًا من سطح الأرض إلى ارتفاع ٢٠ مترًا. وكما نعلم، طاقة وضع الجاذبية، أو ﺽ، لجسم ما تساوي الكتلة مضروبة في عجلة الجاذبية مضروبة في الارتفاع. وبما أن عجلة الجاذبية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، علينا ضرب ١٣٢ في ٩٫٨ في ٢٠. وهذا يساوي ٢٥٨٧٢. ومن ثم، فإن الزيادة في طاقة وضع الجاذبية للجسم تساوي ٢٥٨٧٢ جول.

في السؤال التالي، سنحتاج إلى حساب ارتفاع جسم ما بمعرفة التغير في طاقة وضع الجاذبية.

جسم كتلته أربعة كيلوجرامات له طاقة وضع ناتجة عن الجاذبية قدرها ٢١٣٦٫٤ جول بالنسبة إلى الأرض. أوجد ارتفاعه. اعتبر أن عجلة الجاذبية الأرضية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

علمنا من المعطيات أن جسمًا كتلته أربعة كيلوجرامات طاقة وضع الجاذبية له، أو ﺽ، قدرها ٢١٣٦٫٤ جول. علمنا أيضًا أن عجلة الجاذبية الأرضية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. وعلينا حساب ارتفاع الجسم عن الأرض. كما نعلم، طاقة وضع الجاذبية تساوي الكتلة مضروبة في عجلة الجاذبية مضروبة في الارتفاع. في هذا السؤال، سنضرب أربعة في ٩٫٨ في ﻝ. وهذا يساوي ٢١٣٦٫٤. أربعة في ٩٫٨ يساوي ٣٩٫٢، إذن يصبح الطرف الأيمن ٣٩٫٢ﻝ.

يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي هذه المعادلة على ٣٩٫٢، ما يعطينا ﻝ يساوي ٥٤٫٥. وعليه، فإن ارتفاع جسم، كتلته أربعة كيلوجرامات وطاقة وضع الجاذبية له قدرها ٢١٣٦٫٤ جول، يساوي ٥٤٫٥ مترًا.

في السؤال التالي، سنتناول جسمًا يتحرك على مستوى مائل.

يصعد جسم كتلته ثمانية كيلوجرامات مسافة ٢٣٨ سنتيمترًا على خط أكبر ميل لمستوى أملس يميل بزاوية ٣٠ درجة على الأفقي. احسب الزيادة في طاقة وضع الجاذبية له. اعتبر أن بأن ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

علمنا من المعطيات أن المستوى يميل بزاوية ٣٠ درجة، وأن الجسم صعد مسافة ٢٣٨ سنتيمترًا. أول ما سنفعله هنا هو تحويل هذه المسافة إلى أمتار. بما أن المتر يساوي ١٠٠ سنتيمتر، فإن ٢٣٨ سنتيمترًا يساوي ٢٫٣٨ متر.

يمكننا أن نرى في هذا الشكل أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية. هذا يعني أنه يمكننا استخدام النسب المثلثية لحساب الارتفاع الرأسي ﻝ. وبما أننا نتعامل مع طول الضلع الأطول أو الوتر والضلع المقابل للزاوية، يمكننا استخدام النسبة حيث جا 𝜃 يساوي الضلع المقابل على الوتر. بالتعويض بالقيم المعلومة لدينا، سنحصل على جا ٣٠ درجة يساوي ﻝ على ٢٫٣٨. وكما نعلم، جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا. بعد ذلك، يمكننا ضرب طرفي هذه المعادلة في ٢٫٣٨، وهو ما سيعطينا ﻝ يساوي ١٫١٩. وعليه، فإن الارتفاع الرأسي يساوي ١٫١٩ متر.

مطلوب منا حساب طاقة وضع الجاذبية. ونعلم أن طاقة وضع الجاذبية تساوي الكتلة مضروبة في عجلة الجاذبية مضروبة في الارتفاع. وبما أن كتلة الجسم تساوي ثمانية كيلوجرامات وعجلة الجاذبية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، فسنضرب ثمانية في ٩٫٨ في ١٫١٩. بكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ٩٣٫٢٩٦. إذن الزيادة في طاقة وضع الجاذبية للجسم تساوي ٩٣٫٢٩٦ جول.

في الجزء المتبقي من هذا الفيديو، سنتناول مبدأ الشغل والطاقة ونتعامل مع المسائل التي تتضمن المتجهات. ينص مبدأ الشغل والطاقة على أن أي تغير في الطاقة يساوي الشغل المبذول على الجسم بواسطة القوة المحصلة، حيث الشغل المبذول يساوي القوة مضروبة في الإزاحة. تقاس القوة بالنيوتن والإزاحة بالأمتار. ويقاس الشغل المبذول، كما هو الحال مع طاقة وضع الجاذبية، بالجول.

عند التعامل مع المتجهات، مثلما سنفعل في الجزء المتبقي من هذا الفيديو، يمكننا حساب الشغل المبذول بإيجاد حاصل الضرب القياسي أو الضرب الداخلي لمتجهي كل من القوة والإزاحة. من المهم أن نلاحظ أنه وفقًا لقانون حفظ الطاقة، لا بد أن تكون محصلة الشغل المبذول والتغير في الطاقة مساوية للصفر. فالطاقة لا تفنى ولا تستحدث من العدم، وإنما يمكن نقلها فقط.

يتحرك جسم في خط مستقيم من النقطة ﺃ سالب ستة، صفر إلى النقطة ﺏ سالب خمسة، أربعة تحت تأثير القوة المتجهة ﻕ، التي تساوي ﻡﺱ زائد اثنين ﺹ نيوتن. إذا كان التغير في طاقة وضع الجسم يساوي اثنين جول، وكانت الإزاحة مقيسة بالمتر، فأوجد قيمة الثابت ﻡ.

علمنا من المعطيات أن الجسم يتحرك في خط مستقيم من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ، حيث إحداثيات ﺃ وﺏ هي سالب ستة، صفر، وسالب خمسة، أربعة. هذا يعني أننا نتحرك بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين وأربع وحدات إلى الأعلى. إذا نظرنا إلى متجهي الوحدة ﺱ وﺹ في الاتجاهين الأفقي والرأسي على الترتيب، فسنجد أن متجه الإزاحة يساوي ﺱ زائد أربعة ﺹ.

علمنا من المعطيات أيضًا أن القوة المتجهة المؤثرة على الجسم تساوي ﻡﺱ زائد اثنين ﺹ نيوتن. ونعلم أن الشغل المبذول يساوي حاصل الضرب القياسي أو الضرب الداخلي لمتجه القوة ومتجه الإزاحة. ومن ثم، فإن الشغل المبذول يساوي حاصل الضرب القياسي لـ ﺱ زائد أربعة ﺹ وﻡﺱ زائد اثنين ﺹ.

لحساب حاصل الضرب القياسي، سنوجد مجموع حواصل ضرب المركبات كل على حدة. في هذا السؤال، سنجد أن هذا يساوي واحدًا في ﻡ زائد أربعة مضروبًا في اثنين. مركبتا ﺱ هما واحد وﻡ، ومركبتا ﺹ هما أربعة واثنان. يمكن تبسيط هذا إلى ﻡ زائد ثمانية.

يخبرنا السؤال أيضًا أن التغير في طاقة الوضع يساوي اثنين جول. وبما أن الطاقة لا تفنى ولا تستحدث من العدم ولكن يمكن نقلها فقط، فإننا نعلم أن محصلة الشغل المبذول وطاقة وضع الجاذبية تساوي صفرًا. هذا يعني أن ﻡ زائد ثمانية زائد اثنين يجب أن يساوي صفرًا. بتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على ﻡ زائد ١٠ يساوي صفرًا. وأخيرًا، يمكننا طرح ١٠ من طرفي هذه المعادلة، ما يعطينا ﻡ يساوي سالب ١٠. وهذا يعني أن القوة المتجهة ﻕ تساوي سالب ١٠ﺱ زائد اثنين ﺹ.

في السؤال الأخير، سنستخدم المتجهات لإيجاد التغير في طاقة الوضع على مدار الوقت.

يتحرك جسم تحت تأثير القوة الثابتة ﻕ، التي تساوي خمسة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ نيوتن، حيث ﺱ وﺹ متجها وحدة متعامدان. عند الزمن ﻥ ثانية، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا، كان متجه موضع الجسم بالنسبة إلى نقطة ثابتة يعطى بالعلاقة: ﺭ يساوي ﻥ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد أربعة ﻥ تربيع زائد ثمانية ﺹ متر. أوجد التغير في طاقة وضع الجسم في أول تسع ثوان.

وفقًا لقانون حفظ الطاقة ومبدأ الشغل والطاقة، نعلم أن محصلة التغير في طاقة الوضع والشغل المبذول تساوي صفرًا. وهذا لأن الطاقة يمكن نقلها فقط. إذ إنها لا تفنى ولا تستحدث من العدم. وفي هذه الحالة، نحاول حساب التغير في طاقة الوضع.

نعرف أن الشغل المبذول يساوي القوة مضروبة في الإزاحة. وعند التعامل مع المتجهات، فإننا نوجد حاصل الضرب القياسي لمتجه القوة ومتجه الإزاحة. نعلم من المعطيات أن القوة تساوي خمسة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ نيوتن. والإزاحة مجهولة حاليًّا. ومعطى لنا متجه موضع الجسم. وما يعنينا هو التغير في طاقة وضع الجاذبية في أول تسع ثوان. هذا يعني أنه علينا حساب متجه الموضع عند ﻥ يساوي صفرًا وﻥ يساوي تسعة.

عند ﻥ يساوي صفرًا، يصبح لدينا صفر تربيع زائد أربعة ﺱ زائد أربعة مضروبًا في صفر تربيع زائد ثمانية ﺹ. يمكن تبسيط هذا إلى أربعة ﺱ زائد ثمانية ﺹ. وعند ﻥ يساوي تسعة، متجه الموضع يساوي تسعة تربيع زائد أربعة ﺱ زائد أربعة مضروبًا في تسعة تربيع زائد ثمانية ﺹ. وهذا يساوي ٨٥ﺱ زائد ٣٣٢ﺹ.

يمكننا بعد ذلك حساب متجه الإزاحة بطرح الموضع الابتدائي من الموضع النهائي. ‏٨٥ﺱ ناقص أربعة ﺱ يساوي ٨١ﺱ، و٣٣٢ﺹ ناقص ثمانية ﺹ يساوي ٣٢٤ﺹ. إذن إزاحة الجسم في أول تسع ثوان هي ٨١ﺱ زائد ٣٢٤ﺹ.

يمكننا الآن حساب حاصل الضرب القياسي للقوة والإزاحة. وهذا يساوي مجموع خمسة مضروبًا في ٨١، وثلاثة مضروبًا في ٣٢٤. هذا يساوي ٤٠٥ زائد ٩٧٢، وهو ما يعطينا الشغل الكلي المبذول وقدره ١٣٧٧.

يمكننا الآن استخدام هذه القيمة لحساب التغير في طاقة الوضع. وبما أن هذه القيمة موجبة، فإننا نعلم أن التغير في طاقة الوضع سيكون سالبًا. إذن طاقة الوضع زائد ١٣٧٧ يجب أن يساوي صفرًا. هذا يعني أن التغير في طاقة الوضع يساوي سالب ١٣٧٧ جول. انخفضت طاقة وضع الجسم بمقدار ١٣٧٧ جول في أول تسع ثوان.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. تعلمنا في هذا الفيديو أن حفظ الطاقة يعني أنه يمكن نقل الطاقة فقط. إذ إنها لا تفنى ولا تستحدث من العدم. يعرف هذا النقل للطاقة بالشغل المبذول، وهو يعني أن الشغل المبذول زائد التغير في الطاقة يجب أن يساوي صفرًا. يمكننا حساب الشغل المبذول بضرب القوة في الإزاحة حيث تقاس القوة بالنيوتن، والإزاحة بالمتر، والشغل المبذول بالجول. عند التعامل مع المتجهات، نوجد حاصل الضرب القياسي لمتجهي القوة والإزاحة.

علمنا أيضًا أنه يمكننا حساب طاقة وضع الجاذبية، أو ﺽ، بضرب الكتلة في عجلة الجاذبية في الارتفاع. تقاس الكتلة بالكيلوجرامات، ونفترض أن عجلة الجاذبية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة على كوكب الأرض، والارتفاع الرأسي يقاس بالمتر. وهذا يعطينا طاقة وضع الجاذبية مقيسة بالجول.