نسخة الفيديو النصية
جسم وزنه ﻭ وضع على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٦٠ درجة. ظل الجسم في حالة اتزان تحت تأثير قوة مقدارها ٥٤ نيوتن، تؤثر في اتجاه أعلى الميل وتوازي خط أكبر ميل. أوجد مقدار رد الفعل ﺭ للمستوى على الجسم ووزن الجسم ﻭ.
للإجابة عن أي سؤال من هذا النوع، علينا رسم شكل أولًا. وضع الجسم على مستوى مائل بزاوية قياسها ٦٠ درجة. ووزنه ﻭ يؤثر رأسيًّا لأسفل. وقوة رد الفعل ﺭ عمودية دائمًا على المستوى. وأخيرًا، علمنا أن هناك قوة مقدارها ٥٤ نيوتن تؤثر في اتجاه مواز للمستوى.
هناك عدة طرق يمكننا استخدامها لحل هذه المسألة. لكن بما أن جميع القوى الثلاث تؤثر عند نقطة واحدة، فسنستخدم نظرية لامي. تتعلق نظرية لامي بافتراض أن لدينا ثلاث قوى تؤثر عند نقطة ما، هذه القوى هي ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة، حيث الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ اثنين وﻕ ثلاثة هي 𝛼، والزاوية بين ﻕ واحد وﻕ ثلاثة هي 𝛽، والزاوية بين ﻕ واحد وﻕ اثنين هي 𝛾. وفي هذه الحالة، ﻕ واحد على جا 𝛼 يساوي ﻕ اثنين على جا 𝛽، وهو ما يساوي ﻕ ثلاثة على جا 𝛾. قد تلاحظ أيضًا أن هذه الصيغة هي قاعدة الجيب في حساب المثلثات.
في هذا السؤال، قياس الزاوية بين الوزن والمستوى يساوي ٣٠ درجة، كما هو موضح في الشكل. وهذا يعني أن الزاوية المحصورة بين الوزن وقوة رد الفعل تساوي ١٢٠ درجة، حيث إن ٣٠ زائد ٩٠ يساوي ١٢٠. قوة رد الفعل عمودية على القوة التي مقدارها ٥٤ نيوتن. وهذا يعني أن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي ٩٠ درجة.
بما أن مجموع قياسات الزوايا في الدائرة أو عند نقطة يساوي ٣٦٠ درجة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين الوزن والقوة التي مقدارها ٥٤ نيوتن يساوي ١٥٠ درجة. وبالتعويض بهذه القيم في نظرية لامي، نحصل على ﺭ على جا ١٥٠ يساوي ٥٤ على جا ١٢٠، وهو ما يساوي ﻭ على جا ٩٠. لننظر إلى أول حدين. ﺭ على جا ١٥٠ يساوي ٥٤ على جا ١٢٠.
على الرغم من أنه يمكننا كتابة ذلك على الآلة الحاسبة، فإنه من المهم تذكر بعض الزوايا المثلثية الخاصة. جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا، وجا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذا كان مجموع قياسي زاويتين يساوي ١٨٠ درجة، فإن جيب كل من هاتين الزاويتين يكون مساويًا للآخر. إذن، جا ١٥٠ يساوي نصفًا، وجا ١٢٠ يساوي جذر ثلاثة على اثنين.
نتذكر أيضًا من منحنى دالة الجيب أن جا ٩٠ يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا ملاحظة أن ﺭ مقسومًا على نصف يساوي ٥٤ على جذر ثلاثة على اثنين. ﺭ مقسومًا على نصف يساوي اثنين ﺭ. و٥٤ مقسومًا على جذر ثلاثة على اثنين يساوي ١٠٨ على جذر ثلاثة.
يمكننا إنطاق المقام في الطرف الأيسر بضرب كل من المقام والبسط في جذر ثلاثة. اثنان ﺭ يساوي ١٠٨ جذر ثلاثة مقسومًا على ثلاثة. و١٠٨ مقسومًا على ثلاثة يساوي ٣٦. إذن، اثنان ﺭ يساوي ٣٦ جذر ثلاثة. بقسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين، نحصل على ﺭ يساوي ١٨ جذر ثلاثة. وعليه، فإن مقدار رد الفعل ﺭ للمستوى على الجسم يساوي ١٨ جذر ثلاثة نيوتن.
لننظر الآن إلى الحدين الأول والثالث في المعادلة. ﺭ على جا ١٥٠ يساوي ﻭ على جا ٩٠. مرة أخرى، لدينا في الطرف الأيمن ﺭ مقسومًا على نصف. ولدينا في الطرف الأيسر ﻭ مقسومًا على واحد. وهذا يبسط إلى اثنين ﺭ يساوي ﻭ. وبما أن قوة رد الفعل ﺭ تساوي ١٨ جذر ثلاثة، فإن ﻭ لا بد أن يساوي اثنين مضروبًا في ١٨ جذر ثلاثة. ١٨ مضروبًا في اثنين يساوي ٣٦. ومن ثم، ﻭ يساوي ٣٦ جذر ثلاثة. يمكننا إذن استنتاج أن وزن الجسم المؤثر على المستوى يساوي ٣٦ جذر ثلاثة نيوتن.
