فيديو الدرس: جمع المصفوفات وطرحها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نجمع المصفوفات ونطرحها باستخدام خواص جمعها وطرحها.

لعلنا نتذكر أن المصفوفة هي شبكة مصفوفة من الأعداد. وهي مرتبة في صورة صفوف وأعمدة، وكل عدد بها يسمى عنصرًا. توضح أبعاد المصفوفة عدد الصفوف والأعمدة؛ فهذه المصفوفة الموضحة على الشاشة تحتوي على صفين وثلاثة أعمدة، ومن ثم فهي مصفوفة من الرتبة اثنين في ثلاثة. مع وضع كل ذلك في الاعتبار، فإن جمع المصفوفات وكذلك طرحها عملية سهلة ومباشرة. لجمع مصفوفتين أو طرحهما، علينا ببساطة جمع عناصرهما المتناظرة أو طرحها. ومع ذلك، علينا مراعاة شرط معين. مثلًا، هاتان المصفوفتان من الرتبة اثنين في اثنين. ويمكننا ملاحظة أن العنصر الأول في مجموع هاتين المصفوفتين هو ﺃ زائد ﻫ. والعنصر الثاني في الصف الأول هو ﺏ زائد ﻭ، وهكذا.

يتبين من ذلك أنه إذا جمعنا العناصر الموجودة في المصفوفتين، علينا التأكد من أن كل عنصر في المصفوفة الأولى يناظره عنصر آخر يمكن جمعه معه في المصفوفة الثانية، والعكس صحيح. إذن لا يمكننا جمع المصفوفات أو طرحها إلا إذا كانت من الرتبة نفسها. يجب قطعًا أن تحتوي المصفوفات على العدد نفسه من الصفوف والأعمدة لكي نتمكن من جمعها أو طرحها. وتشترك المصفوفات مع الأعداد الحقيقية أيضًا في العديد من خواص الجمع والطرح. بصفة خاصة، تتميز عملية جمع المصفوفات بأنها إبدالية؛ أي يمكن إجراؤها بأي ترتيب. كما أنها تحقق خاصية المحايد الجمعي. فإذا أضفنا المصفوفة الصفرية، وهي المصفوفة التي جميع عناصرها أصفار، فسنحصل على المصفوفة الأصلية. لنلق نظرة إذن على مثال بسيط للغاية.

أوجد مجموع المصفوفتين الآتيتين: ثمانية، ١١، سالب ثلاثة، سبعة، و١٠، سالب واحد، ثلاثة، واحد.

نعلم أنه لجمع مصفوفتين، علينا ببساطة جمع عناصرهما المتناظرة. وبالطبع لا يتحقق ذلك إلا إذا كان لكل مصفوفة الرتبة نفسها؛ أي إذا كان في كل مصفوفة عدد الصفوف والأعمدة نفسه. تحتوي هنا كلتا المصفوفتين على صفين وعمودين. وهذا يعني أنهما من الرتبة اثنين في اثنين. الرتبة متساوية، ومن ثم يمكننا المتابعة وجمع المصفوفتين. من المعتاد بالطبع البدء بالعنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود الأول. إذن سنبدأ بالعدد ثمانية في المصفوفة الأولى، والعدد ١٠ في المصفوفة الثانية. وعليه، فإن العنصر الواقع في الصف الأول والعمود الأول في مجموع هاتين المصفوفتين هو ثمانية زائد ١٠، وهو ما يساوي ١٨. ننتقل الآن إلى العنصر الواقع في الصف الأول والعمود الثاني. يساوي ذلك العدد ١١ في المصفوفة الأولى، وسالب واحد في المصفوفة الثانية. ومجموعهما هو ١١ زائد سالب واحد. يماثل ذلك ١١ ناقص واحد، وهو ما يساوي ١٠.

سننتقل الآن إلى العنصرين الواقعين في الصف الثاني. سنبدأ بالعدد سالب ثلاثة في المصفوفة الأولى، والعدد ثلاثة في المصفوفة الثانية. هذه المرة، مجموعهما هو سالب ثلاثة زائد ثلاثة، وهو ما يساوي صفرًا. وعليه، يكون العنصر الأول الواقع في الصف الثاني في مجموع هاتين المصفوفتين هو صفر. يتبقى عنصران فقط للتعامل معهما؛ وهما: العدد سبعة في المصفوفة الأولى، والعدد واحد في المصفوفة الثانية. وبالطبع مجموعهما هو سبعة زائد واحد، وهو ما يساوي ثمانية. مجموع المصفوفتين إذن هو المصفوفة التي عناصرها: ١٨، و١٠، وصفر، وثمانية.

والآن بعد أن تناولنا كيفية جمع مصفوفتين، هيا نتطرق إلى كيفية طرح مصفوفتين.

أوجد المصفوفة سبعة، تسعة، سالب خمسة، صفرًا ناقص المصفوفة ثمانية، سالب خمسة، اثنين، صفر.

نعلم أنه يمكننا جمع المصفوفات أو طرحها ما دامت من الرتبة نفسها. لدينا هنا مصفوفتان من الرتبة اثنين في اثنين، وبذلك يمكننا المتابعة إلى الخطوة التالية. لطرح مصفوفتين، نطرح ببساطة العناصر المتناظرة. كما تعودنا، نبدأ بالعنصر الأول الذي يقع في الصف الأول. وهو سبعة في المصفوفة الأولى، وثمانية في المصفوفة الثانية. العنصر المناظر في ناتج طرح هاتين المصفوفتين هو إذن سبعة ناقص ثمانية، وهو ما يساوي سالب واحد. يتبين لنا هنا أن طرح المصفوفات يشبه تمامًا طرح الأعداد الحقيقية، أي إنه ليس إبداليًا. لا يمكننا تغيير الترتيب، ولذلك علينا إيجاد سبعة ناقص ثمانية وليس العكس.

يمكن إيجاد قيمة العنصر الواقع في الصف الأول والعمود الثاني عن طريق حساب تسعة ناقص سالب خمسة. وعندما نطرح قيمة سالبة، فإن ذلك يماثل جمع قيمة موجبة. لذا، سنوجد قيمة تسعة زائد خمسة، وهو ما يساوي ١٤. بعد ذلك، سنتعامل مع العنصر الأول في الصف الثاني. وهو سالب خمسة في المصفوفة الأولى، واثنان في المصفوفة الثانية. وعليه، سيكون لدينا سالب خمسة ناقص اثنين، وهو ما يساوي سالب سبعة. العنصر الأخير في ناتج طرح المصفوفتين هو صفر ناقص صفر، وهو ما يساوي صفرًا بالطبع. وبذلك، فإن ناتج طرح المصفوفتين هو مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين عناصرها هي: سالب واحد، ١٤، سالب سبعة، صفر.

سنتعرف الآن على كيفية إيجاد مصفوفة مجهولة بتطبيق عمليات حسابية تتضمن المصفوفة الصفرية.

إذا كانت ﺱ زائد مصفوفة عناصرها سالب ستة، سالب ثمانية، ستة، خمسة يساوي صفرًا، حيث صفر مصفوفة صفرية من الرتبة اثنين في اثنين، فأوجد قيمة ﺱ.

نبدأ بتذكر معنى قولنا إن المصفوفة مصفوفة صفرية. أمامنا مصفوفة مربعة، أي مصفوفة بها عدد متساو من الصفوف والأعمدة جميع مدخلاتها أو عناصرها يساوي صفرًا. وفي هذه الحالة، فإن المصفوفة الصفرية من الرتبة اثنين في اثنين هي المصفوفة الموضحة. يمكننا إذن إعادة كتابة المعادلة المصفوفية في صورة: ﺱ زائد سالب ستة، سالب ثمانية، ستة، خمسة يساوي صفرًا، صفرًا، صفرًا، صفرًا. والآن ما نحاول إيجاده هو قيمة ﺱ. بالنظر إلى المعادلة التي كتبناها الآن، ما الذي يمكننا استنتاجه عن ﺱ؟ نعلم أنه إذا جمعنا مصفوفتين، فإننا نجمع عناصرهما ببساطة. ولا يمكننا فعل ذلك إلا إذا كانت المصفوفتان من الرتبة نفسها. لا يمكننا، على سبيل المثال، جمع مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين مع أخرى من الرتبة اثنين في ثلاثة، وكذلك لا يمكننا جمع مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين مع عدد له قيمة واحدة فقط.

وهكذا، لكي تصبح هذه المعادلة المصفوفية صحيحة، يجب أن تكون ﺱ أيضًا مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. ولحل هذه المعادلة المصفوفية، سننفذ في الواقع مجموعة من الخطوات المماثلة لحل أي معادلة عادية. سنطرح هذه المصفوفة: سالب ستة، سالب ثمانية، ستة، خمسة من كلا طرفي المعادلة. عندما نطرحها من الطرف الأيمن، سنحصل على المصفوفة ﺱ فقط. ومن ثم، ﺱ يساوي صفرًا، صفرًا، صفرًا، صفرًا ناقص المصفوفة التي عناصرها سالب ستة، سالب ثمانية، ستة، خمسة. وكما هو الحال بالضبط مع جمع مصفوفتين، حيث نجمع عناصرهما، لكي نطرح مصفوفتين علينا أن نطرح عناصرهما.

العنصر الواقع في الصف الأول والعمود الأول سيساوي إذن صفرًا ناقص سالب ستة. وبالطبع، طرح قيمة سالبة يماثل جمع قيمة موجبة. وعليه، يماثل ذلك صفرًا زائد ستة، وهو ما يساوي ستة. بعد ذلك، لدينا صفر ناقص سالب ثمانية. مرة أخرى، هذا يماثل صفرًا زائد ثمانية، وهو ما يساوي ثمانية. ننتقل الآن إلى العنصرين الموجودين في الصف الثاني، ومن ثم نحسب صفرًا ناقص ستة. وهذا يساوي سالب ستة. وأخيرًا نحسب صفرًا ناقص خمسة، وهو ما يساوي سالب خمسة. وبذلك، فإن عناصر المصفوفة ﺱ من الرتبة اثنين في اثنين هي: ستة، ثمانية، سالب ستة، سالب خمسة.

يوضح هذا المثال شيئًا مهمًا للغاية. نلاحظ أن جمع المصفوفات يحقق خاصية المعكوس الجمعي. والمعكوس الجمعي للعدد هو ما نجمعه معه ليصبح الناتج صفرًا، وعادة نوجده بمجرد تغيير إشارة العدد الأصلي. إذا نظرنا إلى المثال الموضح هنا، نلاحظ أننا غيرنا إشارة العناصر المنفردة. وعليه، فإن المصفوفة ستة، ثمانية، سالب ستة، سالب خمسة هي المعكوس الجمعي للمصفوفة سالب ستة، سالب ثمانية، ستة، خمسة.

سنتناول الآن مثالًا آخر يتضمن حل معادلة مصفوفية.

لدينا المصفوفة ﺃ تساوي سالب واحد، سالب واحد، خمسة، ١٣، سالب واحد، صفرًا. افترض أن مجموع المصفوفتين ﺃ وﺏ هو: ﺃ زائد ﺏ يساوي واحدًا، صفرًا، سالب واحد، صفرًا، واحدًا، اثنين. أوجد المصفوفة ﺏ.

نعلم من المعطيات أن مجموع المصفوفتين ﺃ وﺏ يساوي مصفوفة من الرتبة اثنين في ثلاثة. فهي تحتوي على صفين وثلاثة أعمدة. كما نعلم أنه يمكننا جمع مصفوفتين بجمع عناصرهما المنفردة. لكن هذا يعني أن المصفوفتين اللتين نجمعهما يجب أن تكون لهما الرتبة نفسها. ولذلك لكي نتمكن من جمع المصفوفة ﺃ وﺏ، حيث ﺃ أيضًا مصفوفة من الرتبة اثنين في ثلاثة، والناتج مصفوفة من الرتبة اثنين في ثلاثة، فلا بد أن تكون ﺏ نفسها مصفوفة من الرتبة اثنين في ثلاثة. يمكننا الآن حل هذه المعادلة المصفوفية مثلما نحل أي معادلة عادية أخرى. سنطرح ﺃ من كلا الطرفين. لكن ﺃ مصفوفة، يمكننا إذن كتابة ذلك في صورة: ﺏ يساوي واحدًا، صفرًا، سالب واحد، صفرًا، واحدًا، اثنين ناقص المصفوفة التي عناصرها سالب واحد، وسالب واحد، وخمسة، و١٣، وسالب واحد، وصفر.

وكما هو الحال بالضبط عند جمع مصفوفتين، يمكننا طرح مصفوفتين بطرح عناصرهما. لنبدأ بالعنصر الأول في المصفوفة الأولى، والعنصر الأول في المصفوفة الثانية. لدينا واحد ناقص سالب واحد. لكن بالطبع عندما نطرح قيمة سالبة، فإن ذلك يماثل جمع قيمة موجبة. هذا يشبه إيجاد ناتج واحد زائد واحد، وهو ما يساوي اثنين. نكرر هذه العملية مع العنصر الثاني في كل مصفوفة. نحسب الآن صفرًا ناقص سالب واحد، وهو ما يساوي صفرًا زائد واحد، والذي يساوي واحدًا. ننتقل إلى العنصر الثالث. وهو سالب واحد في المصفوفة الأولى، وخمسة في المصفوفة الثانية. لدينا إذن سالب واحد ناقص خمسة، وهو ما يساوي سالب ستة.

نكرر الآن هذا مع العناصر في الصف الثاني. لدينا صفر ناقص ١٣، وهو ما يساوي سالب ١٣. بعد ذلك، نحسب واحدًا ناقص سالب واحد. وهذا بالطبع يساوي واحدًا زائد واحد، أي اثنين. ثم العملية الحسابية الأخيرة هي اثنان ناقص صفر، وهو ما يساوي اثنين. وبذلك نكون قد وجدنا المصفوفة ﺏ. وهي مصفوفة من الرتبة اثنين في ثلاثة، وعناصرها: اثنان، واحد، سالب ستة، سالب ١٣، اثنان، اثنان.

في المثال الأخير، سنتناول كيف يمكننا توسيع نطاق ذلك ليشمل التعامل مع أكثر من مصفوفتين.

إذا كان ﺃ يساوي المصفوفة أربعة، ثلاثة، سالب واحد، ثلاثة؛ وﺏ يساوي المصفوفة سالب واحد، صفرًا، اثنين، ثلاثة؛ وﺟ يساوي المصفوفة سالب خمسة، واحدًا، صفرًا، سبعة؛ فأوجد ﺃ زائد ﺏ ناقص ﺟ.

سنعيد كتابة هذا المقدار باستخدام المصفوفات الموضحة. وهي: أربعة، ثلاثة، سالب واحد، ثلاثة زائد سالب واحد، صفر، اثنين، ثلاثة ناقص سالب خمسة، واحد، صفر، سبعة. نعرف الآن كيفية جمع المصفوفات وطرحها. ما دامت المصفوفات من الرتبة نفسها، أي تحتوي على عدد الصفوف والأعمدة نفسه، فإننا نجمع أو نطرح عناصرها المتناظرة. لكن كما هو الحال مع الأعداد الحقيقية، الجمع عملية إبدالية. بعبارة أخرى، يمكن إجراؤها بأي ترتيب، لكن الطرح ليس كذلك. كما نعلم أيضًا أنه عند التفكير في ترتيب إجراء العمليات الحسابية، إذا كان لدينا جمع وطرح في العملية الحسابية نفسها، فإننا ننتقل فقط من اليمين إلى اليسار. ولذلك فلنأخذ العنصر الأول الذي يقع في الصف الأول من كل مصفوفة. وهو أربعة، وسالب واحد، وسالب خمسة.

نستخدم الرموز السفلية لتحديد العنصر الأول في الصف الأول بأنه ﺃ واحد واحد. وبذلك نحصل على أربعة زائد سالب واحد ناقص سالب خمسة. أربعة زائد سالب واحد يساوي ثلاثة، ثم نطرح سالب خمسة. وهذا يماثل جمع خمسة. نحصل إذن على ثلاثة زائد خمسة، وهو ما يساوي ثمانية. إذن، هذا هو العنصر الأول في الصف الأول. بعد ذلك ﺃ واحد اثنان هو العنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود الثاني. إذن لدينا ثلاثة زائد صفر ناقص واحد. ثلاثة زائد صفر يساوي ثلاثة، ثم لدينا ثلاثة ناقص واحد، وهو ما يساوي اثنين. ننتقل الآن إلى حساب العنصر الذي يقع في الصف الثاني والعمود الأول. هذا العنصر هو سالب واحد زائد اثنين ناقص صفر. وبما أن سالب واحد زائد اثنين يساوي واحدًا، فسنحصل على واحد ناقص صفر، وهو ما يساوي واحدًا.

يعرف العنصر الأخير بالرمز ﺃ اثنين اثنين. هذا هو العنصر الذي يقع في الصف الثاني والعمود الثاني. وهو ثلاثة زائد ثلاثة ناقص سبعة. ثلاثة زائد ثلاثة يساوي ستة، وبذلك نحسب ستة ناقص سبعة الذي يساوي سالب واحد. ومن ثم، كل ما يتبقى علينا فعله هو إعادة صياغة ذلك في صورة مصفوفة. ‏‏ﺃ زائد ﺏ ناقص ﺟ يساوي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين عناصرها: ثمانية، اثنان، واحد، سالب واحد.

سنراجع الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا جمع المصفوفات أو طرحها بجمع عناصرها المتناظرة أو طرحها. لكننا رأينا أيضًا أن هذا لا يكون ممكنًا إلا إذا كانت كل مصفوفة لها الرتبة نفسها، بعبارة أخرى إذا كان لها نفس العدد من الصفوف والأعمدة. وعرفنا أن جمع المصفوفات عملية إبدالية؛ إذ يمكن إجراؤها بأي ترتيب، على عكس طرح المصفوفات. وكما هو الحال مع الأعداد الحقيقية، يحقق جمع المصفوفات أيضًا خاصية المحايد الجمعي وخاصية المعكوس الجمعي.