نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الخواص الأساسية لعملية الضرب في مجموعة الأعداد النسبية. ونتذكر بالطبع أن العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على الصورة ﺃ على ﺏ حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان؛ أي عددان كليان. ومعرفة هذه الخواص أمر مهم للغاية لأنها قد تساعدنا في حل المسائل التي قد تبدو صعبة في البداية.
هناك ست خواص لعملية الضرب والتي يمكن أن تساعد في تسهيل حل المسائل. الخاصية الأولى هي خاصية الإبدال. وتنص على أنه عند ضرب عددين معًا، يظل حاصل الضرب كما هو بغض النظر عن ترتيب عملية الضرب. على سبيل المثال، اثنان في ثلاثة هو نفسه ثلاثة في اثنين. الخاصية التالية هي خاصية الدمج. ونعرف هذه المرة أنه عند ضرب ثلاثة أعداد أو أكثر يظل حاصل الضرب كما هو بغض النظر عن طريقة تجميع الأعداد. على سبيل المثال، اثنان في ثلاثة الكل مضروبًا في أربعة يساوي اثنين مضروبًا في ثلاثة في أربعة.
بعد ذلك، لدينا خاصية المحايد الضربي. وهي تعني باختصار أنه عند ضرب أي عدد في واحد، فإننا نحصل على هذا العدد. إذن، خمسة في واحد يساوي خمسة. تخبرنا خاصية الضرب الصفري بأن حاصل ضرب أي عدد نسبي في صفر يساوي صفرًا. على سبيل المثال، خمسة في صفر يساوي صفرًا. ثم لدينا خاصية التوزيع. وتنص على أن مجموع عددين مضروبًا في عدد ثالث يساوي مجموع حاصلي ضرب هذين العددين في العدد الثالث. بعبارة أخرى، تختص هذه الخاصية بالتعامل مع الأقواس. ثلاثة زائد أربعة الكل مضروبًا في اثنين يساوي ثلاثة في اثنين زائد أربعة في اثنين.
والخاصية السادسة والأخيرة هي خاصية المعكوس الضربي. وتنص على أن حاصل ضرب عدد نسبي في مقلوبه يساوي واحدًا. إذن، خمسة في خمس يساوي واحدًا. والمعكوس الضربي هو مصطلح آخر للتعبير عن المقلوب. هيا نبدأ بتحديد بعض هذه الخواص من خلال أمثلة.
أي خاصية من خواص الضرب مستخدمة في المعادلة سالب أربعة أتساع في سالب تسعة على أربعة يساوي واحدًا؟
دعونا نحدد ما يحدث في مسألة الضرب هذه. نأخذ عددًا نسبيًّا، وهو سالب أربعة أتساع، ثم نضربه في سالب تسعة على أربعة. علينا أن نسأل أنفسنا، ما العلاقة بين سالب أربعة أتساع وسالب تسعة على أربعة؟ إننا نعلم أنه لإيجاد مقلوب أي عدد، فإننا نقسم واحدًا على هذا العدد. إذن، مقلوب سالب أربعة أتساع يساوي واحدًا على سالب أربعة أتساع، وهو ما يساوي سالب تسعة على أربعة.
هناك طريقة أخرى لإيجاد مقلوب العدد في الصورة الكسرية، وهي تبديل كل من البسط والمقام. وبالتالي، فإننا هنا نضرب عددًا في مقلوبه، فنحصل على واحد. المصطلح أو العبارة الأخرى التي نستخدمها للتعبير عن المقلوب هي «المعكوس الضربي». وهو يسمى كذلك لأننا عندما نوجد المعكوس، فإننا بذلك نعكس العملية الحسابية. وفي هذه الحالة، نضربه في قيمة ما لنحصل على الناتج واحد. إذن، خاصية الضرب المستخدمة هنا هي خاصية المعكوس الضربي. وتنص هذه الخاصية على أنه إذا ضربنا عددًا نسبيًّا في مقلوبه، فسنحصل على العدد واحد.
لنلق نظرة على مثال آخر.
ما خاصية الضرب المستخدمة في المقدار ثمانية في صفر يساوي صفرًا؟
في هذا المثال، نوجد حاصل ضرب العددين ثمانية وصفر. ثمانية عدد نسبي. وحاصل ضرب هذا العدد النسبي في العدد صفر يساوي صفرًا. هذا له اسم خاص. ولأننا نحاول إيجاد حاصل ضرب العدد النسبي والعدد صفر، فهذه الخاصية هي خاصية الضرب الصفري. وهي خاصية الضرب المستخدمة في هذه المسألة. وتنص على أن حاصل ضرب أي عدد نسبي والعدد صفر يساوي صفرًا.
ما خاصية الضرب المستخدمة في المقدار أربعة في واحد يساوي أربعة؟
لدينا هنا حاصل ضرب العددين أربعة وواحد. ونجد أن الناتج يساوي العدد الأول. إنه يساوي أربعة. إذن، ما اسم هذه الخاصية؟ إنها خاصية المحايد الضربي. تخبرنا هذه الخاصية أن حاصل ضرب أي عدد نسبي في واحد يساوي هذا العدد النسبي نفسه. أربعة هنا هو العدد النسبي، وعند ضربه في واحد يكون الناتج أربعة.
الآن بعد أن تدربنا على كيفية تحديد بعض هذه الخواص، سنرى كيف يمكن أن يساعدنا تطبيقها في تبسيط المسائل.
املأ الفراغ التالي: ثلاثة في سبعة زائد ثلاثة في تسعة يساوي (فراغ) في سبعة زائد تسعة.
دعونا ننظر بعناية إلى ما يحدث هنا. لدينا مجموع حاصلي ضرب. تذكر أن حاصل الضرب هو ناتج ضرب عددين معًا. إننا نجمع هنا ثلاثة في سبعة وثلاثة في تسعة. لاحظ أن هذين المقدارين بينهما عامل مشترك، وهو العدد ثلاثة. هذا يجعلنا نفكر في خاصية التوزيع في عملية الضرب. وهي تنص على أن مجموع عددين مضروبًا في عدد ثالث يساوي مجموع حاصلي ضرب هذين العددين في العدد الثالث. على سبيل المثال، اثنان زائد ثلاثة مضروبًا في أربعة يساوي اثنين في أربعة زائد ثلاثة في أربعة. قد تفكرون في أن هذا يشبه توزيع الأقواس إلى حد ما. نأخذ العدد أربعة، ونضربه في كل قيمة داخل القوس.
هذا يشبه ما لدينا في المسألة نوعًا ما، لكننا سنعكس هذه العملية. في الطرف الأيسر من المقدار، لدينا عدد ما مضروبًا في سبعة زائد تسعة. حسنًا، ها هي السبعة، وهنا التسعة، وكلاهما مضروب في ثلاثة. ثم نوجد المجموع. وهو ما يعني أن هذا المجموع يجب أن يساوي سبعة زائد تسعة الكل مضروبًا في ثلاثة. وبالتالي، يجب وضع العدد ثلاثة في الخانة الفارغة. دعونا نتأكد من الإجابة عن طريق عكس العملية. سنضرب ثلاثة في سبعة، ثم نضرب ثلاثة في تسعة. سنجد أن ثلاثة في سبعة زائد تسعة يساوي ثلاثة في سبعة زائد ثلاثة في تسعة.
يمكننا التحقق من ذلك أكثر من خلال حساب الناتج في طرفي هذا المقدار. سبعة زائد تسعة يساوي ١٦. إذن، الطرف الأيمن يساوي ثلاثة في ١٦، وهو ما يعطينا ٤٨. ثم ثلاثة في سبعة يساوي ٢١، وثلاثة في تسعة يساوي ٢٧. إذن، الطرف الأيسر يساوي ٢١ زائد ٢٧، ويعطينا ٤٨ أيضًا. وبذلك نرى أن طرفي هذه المعادلة متساويان بالفعل. إذن، العدد الذي سيوضع في الخانة الفارغة هو ثلاثة.
سنتناول الآن خاصية أخرى من خواص عملية الضرب.
ما المعادلة التي تمثل خاصية الإبدال في الضرب؟ (أ) ثلثان في واحد يساوي ثلثين؟ (ب) ٠٫٥ في ثلاثة يساوي ٠٫٥ زائد ٠٫٥ زائد ٠٫٥ ؟ (ج) ٣٫٥ في اثنين يساوي اثنين في ٣٫٥؟ (د) نصف في أربعة ناقص ربع في أربعة يساوي نصفًا ناقص ربع في أربعة؟ (هـ) نصف في ربع في ثلثين يساوي نصفًا في ربع في ثلثين؟
دعونا نتذكر ما نعنيه بخاصية الإبدال في عملية الضرب. تنص خاصية الإبدال على أنه عند ضرب عددين معًا، يظل حاصل الضرب كما هو بغض النظر عن ترتيب الأعداد. على سبيل المثال، اثنان في ثلاثة هو نفسه ثلاثة في اثنين. وفي الواقع، هذه خاصية مفيدة حقًّا. على سبيل المثال، إذا لم تكن واثقًا من معرفتك بجدول ضرب معين، وكنت تعرف أن ثلاثة في سبعة هو نفسه سبعة في ثلاثة، فسيعني هذا أنه يمكنك استخدام جدول الضرب الذي تحفظه عن ظهر قلب. حسنًا، أي من هذه الأمثلة يمثل هذه الخاصية؟ إنه ليس الخيار (أ). في الواقع، الخيار (أ) يمثل خاصية المحايد الضربي. وهي تنص على أنه إذا ضربنا عددًا في واحد، فسنحصل على ذلك العدد الأصلي.
هل هو الخيار (ب)؛ ٠٫٥ في ثلاثة يساوي ٠٫٥ زائد ٠٫٥ زائد ٠٫٥؟ حسنًا لا، يوضح لنا هذا الخيار أنه يمكننا التفكير في عملية الضرب باعتبارها عملية جمع متكررة. ماذا عن الخيار (ج)؛ ٣٫٥ في اثنين يساوي اثنين في ٣٫٥؟ نعم، لقد أثبتنا أن الناتج لم يتغير حتى لو غيرنا ترتيب الأعداد في عملية الضرب. إذن، الإجابة هي الخيار (ج). لنلق نظرة على الخيارين (د) و(هـ) بعد ذلك. يقول الخيار (د) إن نصف في أربعة ناقص ربع في أربعة يساوي الفرق بين نصف وربع مضروبًا في أربعة. وهذه تسمى خاصية التوزيع لعملية الضرب.
وأخيرًا، قد يبدو أن الخيار (هـ) سيكون حلًّا صحيحًا، ولكن في واقع الأمر، يتعلق هذا الخيار بالتجميع. وهذه تسمى خاصية الدمج. وتنص على أنه عند ضرب ثلاثة أعداد أو أكثر معًا، يظل حاصل الضرب كما هو بغض النظر عن طريقة تجميع هذه الأعداد. لاحظ أننا نستخدم الأقواس لتوضيح التجميع. إذن، الإجابة عن هذا السؤال هي الخيار (ج). خاصية الإبدال في الضرب تظهر في المعادلة ٣٫٥ في اثنين يساوي اثنين في ٣٫٥.
في المثال الأخير، سنلقي نظرة على كيفية تبسيط عملية حسابية تبدو معقدة باستخدام مزيج من هذه الخواص.
احسب قيمة ثمانية في ٩٤ مضروبًا في سبعة في ثمن.
ما لن نفعله هنا هو إجراء العمليات الحسابية داخل الأقواس. فبالرغم من أن ترتيب العمليات الحسابية يوجهنا في المعتاد إلى فعل هذا، لكن يمكننا استخدام ما يسمى بخاصية الدمج في هذه الحالة. وتنص خاصية الدمج على أنه عند ضرب ثلاثة أعداد أو أكثر، يظل حاصل الضرب كما هو بغض النظر عن طريقة تجميع هذه الأعداد. إذن، سنقوم بتجميع ثمانية وثمن معًا، وأيضًا ٩٤ وسبعة معًا. وهذا يساوي ثمانية في ثمن في ٩٤ في سبعة.
في هذه المرحلة، ربما تتساءل عن السبب في أن ذلك يجعل حل المسائل أسهل. حسنًا، لننظر إلى ثمانية في ثمن. تخبرنا خاصية المعكوس الضربي أن حاصل ضرب أي عدد ومقلوبه يساوي واحدًا. حسنًا، مقلوب ثمانية هو ثمن، إذن ثمانية في ثمن يساوي واحدًا. وبالتالي، تصبح هذه المسألة على الصورة واحد في ٩٤ في سبعة. لكن خاصية المحايد الضربي تنص على أنه إذا ضربنا عددًا ما في واحد، يكون الناتج هو ذلك العدد الأصلي. إذن، واحد في ٩٤ في سبعة هو نفسه ٩٤ في سبعة. لكن ماذا سنفعل الآن؟
حسنًا، سنستخدم خاصية التوزيع. وهي تنص على أن مجموع عددين مضروبًا في عدد ثالث يساوي مجموع حاصلي ضرب هذين العددين في العدد الثالث. إذن، نكتب ٩٤ في صورة ٩٠ زائد أربعة. ثم نضرب ذلك في سبعة بضرب ٩٠ في سبعة أولًا، ثم ضرب أربعة في سبعة. إذن، تصبح المسألة ٩٠ في سبعة زائد أربعة في سبعة. حسنًا، تسعة في سبعة يساوي ٦٣، إذن ٩٠ في سبعة يساوي ٦٣٠. بعد ذلك، أربعة في سبعة يساوي ٢٨، فيصبح لدينا ٦٣٠ زائد ٢٨، وهو ما يساوي ٦٥٨. إذن، ثمانية في ٩٤ في سبعة في ثمن يساوي ٦٥٨.
سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تعلمنا أن خواص عملية الضرب في مجموعة الأعداد النسبية يمكن أن تساعدنا في حل المسائل الصعبة. لدينا خاصية الإبدال، وهي تنص على أنه عند ضرب عددين معًا، يظل حاصل الضرب كما هو بغض النظر عن الترتيب الذي نفعل به ذلك. على سبيل المثال، أربعة في اثنين هو نفسه اثنين في أربعة. لدينا خاصية الدمج، وهي تنص على أنه عند ضرب ثلاثة أعداد أو أكثر معًا، فلا يهم الترتيب الذي نتبعه لتجميعها. على سبيل المثال، اثنان في ثلاثة الكل مضروبًا في أربعة يساوي اثنين في ثلاثة في أربعة.
لدينا بعد ذلك خاصية المعكوس الضربي. وتنص هذه القاعدة على أنه إذا ضربنا أي عدد في مقلوبه، فسنحصل على العدد واحد. ثم هناك خاصية المحايد الضربي. وتنص على أنه إذا ضربنا أي عدد في واحد، فسنحصل على هذا العدد الأصلي. ثم لدينا خاصية حاصل الضرب الصفري. وهي تنص على أنه إذا ضربنا أي عدد في صفر، فسنحصل على صفر. وأخيرًا، هناك خاصية التوزيع. وتنص هذه القاعدة على أن مجموع عددين مضروبًا في عدد ثالث يساوي مجموع حاصلي ضرب هذين العددين في العدد الثالث. على سبيل المثال، اثنان زائد ثلاثة الكل مضروبًا في أربعة يساوي اثنين في أربعة زائد ثلاثة في أربعة.