فيديو السؤال: إيجاد متوسط معدل تغير الدوال الكثيرات الحدود بين نقطتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد متوسط معدل تغير الدالة ﺩﺱ تساوي ستة ﺱ تربيع ناقص ثمانية عندما يتغير ﺱ من ثمانية إلى ٨٫٤.

يمكننا إيجاد متوسط معدل تغير دالة ما ﺩﺱ بين قيمتين لـ ﺱ هما ﺃ، وﺏ باستخدام الصيغة التي تنص على أن متوسط معدل التغير يساوي ﺩ عند ﺱ يساوي ﺏ ناقص ﺩ عند ﺱ يساوي ﺃ على ﺏ ناقص ﺃ. وهذه الصيغة هي في الواقع إعادة صياغة لصيغة الميل، الذي يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. وبالنسبة إلى متوسط معدل التغير، فهذا هو ميل المستقيم الواصل بين النقطتين: ﺃ، ﺩﺃ؛ وﺏ، ﺩﺏ.

في هذا السؤال، لدينا ﺩﺱ يساوي ستة ﺱ تربيع ناقص ثمانية. ونريد إيجاد متوسط معدل تغير ﺩ عندما يتغير ﺱ من ثمانية إلى ٨٫٤. بالنسبة إلى الدالة ﺩﺱ تساوي ستة ﺱ تربيع ناقص ثمانية، نفترض أن لدينا ﺃ يساوي ثمانية، وﺏ يساوي ٨٫٤. حينئذ، في صيغة متوسط معدل التغير، يصبح لدينا ﺩلـ ٨٫٤ ناقص ﺩ ثمانية على ٨٫٤ ناقص ثمانية. وهذا يساوي ﺩلـ ٨٫٤ ناقص ﺩ لثمانية على ٠٫٤.

ولإيجاد قيمة ذلك، علينا إيجاد قيمة كل من ﺩلـ ٨٫٤، وﺩ لثمانية. وهذا يعني ﺩ عند ﺱ يساوي ثمانية، وﺩ عند ﺱ يساوي ٨٫٤. وبالتعويض بـ ﺱ يساوي ثمانية في الدالة ﺩﺱ تساوي ستة ﺱ تربيع ناقص ثمانية، نحصل على ستة في ثمانية تربيع ناقص ثمانية. وهذا يساوي ستة في ٦٤ ناقص ثمانية، وهو ما يساوي ٣٧٦. والآن، إذا فعلنا الشيء نفسه مع ﺱ يساوي ٨٫٤، يصبح لدينا ستة في ٨٫٤ تربيع ناقص ثمانية. وهذا يساوي ستة في ٧٠٫٥٦ ناقص ثمانية، وهو ما يساوي ٤١٥٫٣٦.

إذن بالتعويض بـ ﺩ لثمانية يساوي ٣٧٦، وﺩلـ ٤٫٨ يساوي ٤١٥٫٣٦، فإن متوسط معدل التغير يساوي ٤١٥٫٣٦؛ هذا هو قيمة ﺩلـ ٨٫٤، ناقص ٣٧٦؛ هذا هو قيمة ﺩ لثمانية، على ٠٫٤. بحساب قيمة البسط، نحصل على ٣٩٫٣٦، ثم نقسمه على ٠٫٤ لنحصل على ٩٨٫٤. وبهذا، نجد أن متوسط معدل تغير الدالة ﺩﺱ تساوي ستة ﺱ تربيع ناقص ثمانية عندما يتغير ﺱ من ثمانية إلى ٨٫٤ هو ٩٨٫٤.