فيديو الدرس: رمز التجميع الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعبر عن متسلسلة باستخدام رمز التجميع، وكيف نفك المتسلسلات الممثلة برمز التجميع، ونوجد قيمتها.

١٤:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعبر عن متسلسلة باستخدام رمز التجميع، وكيف نفك المتسلسلات الممثلة برمز التجميع، ونوجد قيمتها. سنبدأ بذكر بعض التعريفات الأساسية. رمز التجميع هو طريقة مختصرة ومناسبة لتمثيل المجاميع الطويلة. على سبيل المثال، نرغب في كثير من الأحيان في جمع عدد من الحدود كما هو موضح، والتي تشمل نمطًا واضحًا للأعداد المدرجة. يتضمن المثال الأول مجموع أول خمس أعداد صحيحة موجبة، ويتضمن المثال الثاني مجموع أول ستة أعداد مربعة. وبوجه عام، إذا نظرنا إلى تسلسل الأعداد ﺃ واحد، ﺃ اثنين، ﺃ ثلاثة، وهكذا حتى ﺃﻥ، فيمكننا كتابة مجموع هذه الأعداد على الصورة ﺃ واحد زائد ﺃ اثنين زائد ﺃ ثلاثة، وهكذا وصولًا إلى ﺃﻥ.

إذا افترضنا أن ﺃﺭ يمثل الحد العام، فيمكن إعادة كتابة هذا على صورة مجموع ﺃﺭ من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﺭ يساوي ﻥ. الرمز المستخدم هنا هو الحرف اليوناني الكبير ‪𝛴‬‏. هذا التعبير يعني مجموع جميع حدود ﺃﺭ، حيث ﺭ يأخذ القيم من واحد إلى ﻥ. تجدر ملاحظة أنه لا ينبغي بالضرورة أن يساوي الحد السفلي واحدًا. يمكننا أيضًا كتابة مجموع ﺃﺭ، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من ﺃ إلى ﺏ. ‏ﺃ هو الحد السفلي وﺏ هو الحد العلوي. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي تتطلب فك متسلسلة معطاة بدلالة رمز التجميع، وإيجاد قيمتها.

أوجد مفكوك المتسلسلة اثنين أس ﺭ ناقص ٥٢، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من واحد إلى أربعة، ومجموعها.

بما أن ﺭ سيأخذ قيمًا من واحد إلى أربعة، فهذا يعني أن المتسلسلة ستتضمن أربعة حدود. وهي ستكون القيم عند ﺭ يساوي واحدًا، اثنين، ثلاثة، أربعة. والحرف اليوناني ‪𝛴‬‏ في السؤال يعني المجموع. علينا إذن إيجاد مجموع هذه الحدود الأربعة. عند ﺭ يساوي واحدًا، يصبح لدينا اثنان أس واحد ناقص ٥٢. عند ﺭ يساوي اثنين، يصبح لدينا اثنان تربيع ناقص ٥٢. عند ﺭ يساوي ثلاثة، يصبح لدينا اثنان تكعيب ناقص ٥٢. وأخيرًا، عند ﺭ يساوي أربعة، يصبح لدينا اثنان أس أربعة ناقص ٥٢. علينا إيجاد مجموع هذه الحدود الأربعة.

اثنان ناقص ٥٢ يساوي سالب ٥٠. وبما أن اثنين تربيع يساوي أربعة، فإن الحد الثاني يساوي سالب ٤٨. الحد الثالث هو سالب ٤٤، والحد الرابع هو سالب ٣٦. ومجموع هذه القيم الأربع السالبة يساوي سالب ١٧٨. إذن، مجموع اثنين أس ﺭ ناقص ٥٢ من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﺭ يساوي أربعة هو سالب ١٧٨.

في السؤال التالي، سنتناول تعبيرًا أكثر تعقيدًا يكون فيه الحد الأول لا يناظر ﺭ يساوي واحدًا.

احسب مجموع ربع مضروبًا في اثنين أس ﺭ ناقص واحد؛ حيث ﺭ يأخذ قيمًا من أربعة إلى تسعة.

القيمتان أربعة وتسعة هما الحدان السفلي والعلوي لـ ﺭ، على الترتيب. والحرف اليوناني ‪𝛴‬‏ يعني مجموعًا. في هذا السؤال، علينا إيجاد مجموع ستة حدود عند ﺭ يساوي أربعة، خمسة، ستة، سبعة، ثمانية، تسعة. إذا نظرنا إلى التعبير، فسنلاحظ أن الربع هو عدد ثابت. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة التعبير على النحو الموضح: ربع مضروبًا في مجموع اثنين أس ﺭ ناقص واحد، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من أربعة إلى تسعة. علينا الآن التعويض بكل قيمة من قيم ﺭ في هذا التعبير. أربعة ناقص واحد يساوي ثلاثة. إذن لدينا اثنان تكعيب. عند ﺭ يساوي خمسة، يكون لدينا اثنان أس أربعة. بتكرار هذه العملية، نحصل على الستة حدود كما هو موضح.

علينا إيجاد مجموع هذه الأعداد ثم ضرب الناتج في ربع. اثنان تكعيب يساوي ثمانية، واثنان أس أربعة يساوي ١٦، وهكذا. وبما أن مجموع الأعداد الستة الموجودة داخل القوسين يساوي ٥٠٤، فعلينا حساب ربع في ٥٠٤. وهذا يساوي ١٢٦. إذن، مجموع ربع مضروبًا في اثنين أس ﺭ ناقص واحد، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من أربعة إلى تسعة، يساوي ١٢٦.

يطرح المثال التالي سؤالًا صعبًا بعض الشيء. في جميع الأسئلة التي تناولناها حتى الآن، كان لدينا المتغير ﺭ في التعبير الذي نحاول جمعه. لكن في هذه المسألة، لدينا عدد ثابت فقط، وهو سالب ٢٥.

احسب مجموع سالب ٢٥، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من اثنين إلى ستة.

بما أن القيمة التي نحاول جمعها هنا هي عدد ثابت، فقد نعتقد أن الإجابة هي سالب ٢٥ فقط. ومع ذلك، فإن رمز التجميع أو المجموع يشير إلى أن المتسلسلة تحتوي على خمسة حدود، عند ﺭ يساوي اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة. كل حد من هذه الحدود يساوي الثابت سالب ٢٥. هذا يعني أن علينا جمع سالب ٢٥، سالب ٢٥، سالب ٢٥، سالب ٢٥، سالب ٢٥. هذا يماثل ضرب سالب ٢٥ في خمسة، ما يعطينا سالب ١٢٥.

في الأمثلة المتبقية في هذا الفيديو، سيتعين علينا كتابة متسلسلة معطاة باستخدام رمز التجميع.

عبر عن المتسلسلة ٥٤ مضروبًا في ١٢ زائد ٥٤ مضروبًا في ٢٤ زائد ٥٤ مضروبًا في ٣٦، وهكذا وصولًا إلى ٥٤ مضروبًا في ٢٤٠ باستخدام رمز التجميع.

في هذا السؤال، لدينا أول ثلاثة حدود في المتسلسلة. بالإضافة إلى الحد النوني أو الحد الأخير. مطلوب منا التعبير عن هذه المتسلسلة باستخدام رمز التجميع كما هو موضح. علينا إيجاد تعبير للحد العام ﺃﺭ وعدد الحدود ﻥ في المتسلسلة. نلاحظ أن كل حد من الحدود هو حاصل ضرب عددين. العدد الأول هو ٥٤ في كل حد من الحدود. العدد الثاني يناظر مضاعفات العدد ١٢. لدينا ١٢ في واحد، و١٢ في اثنين، و١٢ في ثلاثة، وهكذا. الحد الأخير يساوي ١٢ مضروبًا في ٢٠. هذا يعني أن الحد العام للمتسلسلة هو ٥٤ مضروبًا في ١٢ﺭ، حيث ﺭ يمثل المتغير من واحد إلى ٢٠.

٥٤ مضروبًا في ١٢ يساوي ٦٤٨. ومن ثم، فإن ٥٤ مضروبًا في ١٢ﺭ يساوي ٦٤٨ﺭ. وباستخدام رمز التجميع، يمكننا التعبير عن المتسلسلة على الصورة مجموع ٦٤٨ﺭ، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من واحد إلى ٢٠.

سنتناول الآن متسلسلة أكثر تعقيدًا يتضمن فيها التعبير أسسًا.

عبر عن المتسلسلة ثمانية زائد ٣٢ زائد ٧٢ زائد ١٢٨ وهكذا وصولًا إلى ٥١٢، باستخدام رمز التجميع.

للتعبير عن أي متسلسلة باستخدام رمز التجميع، علينا كتابتها على صورة مجموع ﺃﺭ، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من واحد إلى ﻥ. علينا إيجاد التعبير الذي يدل على ﺃﺭ، وهو الحد العام للمتسلسلة. للوهلة الأولى، يبدو أنه لا يوجد رابط واضح بين كل حد من حدود المتسلسلة. لكن، جميعها له عامل مشترك يساوي ثمانية. فثمانية يساوي ثمانية مضروبًا في واحد، و٣٢ يساوي ثمانية مضروبًا في أربعة، و٧٢ يساوي ثمانية مضروبًا في تسعة، وهكذا. واحد، أربعة، تسعة، ١٦، وهكذا، هي أعداد مربعة. هذا يعني أن الحد العام للمتسلسلة هو ثمانية مضروبًا في ﺭ تربيع. وبما أن ثمانية تربيع يساوي ٦٤، فإن الحدين السفلي والعلوي يساويان واحدًا وثمانية.

إذن، المتسلسلة المعطاة باستخدام رمز التجميع تساوي مجموع ثمانية ﺭ تربيع، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من واحد إلى ثمانية. يمكننا التحقق من هذه الإجابة بالتعويض بكل قيمة من قيم ﺭ، وهو ما سيعطينا الحدود ثمانية، ٣٢، ٧٢، وهكذا.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا.

اكتب المتسلسلة ٤٩٦ ناقص ٤٩٧ زائد ٤٩٨ ناقص ٤٩٩ وهكذا، وصولًا إلى سالب ٥٣١، برمز التجميع.

نلاحظ هنا أن الحدود في هذه المتسلسلة تتناوب ما بين موجب وسالب. يمكن كتابة المتسلسلة باستخدام رمز التجميع كما هو موضح: مجموع الحد العام ﺃﺭ، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من واحد إلى ﻥ. في هذا السؤال، علينا إيجاد تعبير يدل على الحد العام ﺃﺭ وكذلك قيمة ﻥ. دعونا نبدأ بالنظر إلى تسلسل الأعداد الصحيحة الموجبة ٤٩٦، ٤٩٧، ٤٩٨ وهكذا وصولًا إلى ٥٣١. يمكننا إعادة كتابة كل حد من هذه الحدود على صورة الثابت ٤٩٥ زائد عدد صحيح. ٤٩٦ هو ٤٩٥ زائد واحد، و٤٩٧ هو ٤٩٥ زائد اثنين، وهكذا حتى ٥٣١، وهو ما يساوي ٤٩٥ زائد ٣٦. هذا يعني أن لدينا ٣٦ حدًّا في المتسلسلة.

إذا أردنا كتابة هذه المتسلسلة باستخدام رمز التجميع، فسيكون لدينا مجموع ٤٩٥ زائد ﺭ، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من واحد إلى ٣٦. ومع ذلك، فإن المتسلسلة في هذا السؤال أكثر تعقيدًا نوعًا ما؛ لأننا نريد أن يكون الحد الثاني، والرابع، والسادس، وكل حد ذي عدد زوجي، سالبًا. يمكننا جعل أي عدد صحيح موجب سالبًا بالضرب في سالب واحد. إذا ضربنا كل حد من الحدود في سالب واحد أس ﺭ، فسيكون الحد الأول، الثالث، الخامس، وجميع الحدود الفردية سالبًا. وبما أننا نريد أن تكون الحدود الزوجية سالبة، فعلينا الضرب في سالب واحد أس ﺭ زائد واحد. يمكن كتابة المتسلسلة ٤٩٦ ناقص ٤٩٧ زائد ٤٩٨ وهكذا باستخدام رمز التجميع على صورة سالب واحد أس ﺭ زائد واحد مضروبًا في ﺭ زائد ٤٩٥، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من واحد إلى ٣٦.

سنلخص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يكتب مجموع ﺃ واحد زائد ﺃ اثنين زائد ﺃ ثلاثة وهكذا حتى ﺃﻥ، باستخدام رمز التجميع على صورة مجموع ﺃﺭ، حيث ﺭ يأخذ قيمًا من واحد إلى ﻥ. في هذا الفيديو، رأينا أنه يمكننا فك المتسلسلات المعطاة برمز التجميع، وكذلك كتابة المتسلسلة باستخدام رمز التجميع. ‏ﺃﺭ يمثل الحد العام للمتسلسلة. بينما عادة ما نأخذ مجموع الحدود من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﺭ يساوي ﻥ، يمكننا أيضًا الجمع من ﺃ إلى ﺏ، حيث ﺃ هو الحد السفلي وﺏ هو الحد العلوي.

تطرقنا أيضًا في مثالين من الأمثلة إلى بعض القواعد الرئيسية للتعامل مع رمز التجميع. إذا كان ﺙ عددًا ثابتًا، فإن مجموع ﺙ من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في الثابت ﺙ. وأيضًا، مجموع ثابت ما ﺙ مضروبًا في المتغير ﺭ من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﺭ يساوي ﻥ يساوي الثابت ﺙ مضروبًا في مجموع ﺭ من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ. يمكننا أخذ الثابت عاملًا مشتركًا، وحساب المجموع بشكل منفصل، ثم ضرب الناتج في الثابت ﺙ.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.