نسخة الفيديو النصية
باستخدام الانحراف المعياري، أي من المجموعات سالب ١٧، ٢٠، ستة، سالب ١٣؛ أو سالب خمسة، سالب ١٦، خمسة، تسعة؛ أو سالب واحد، سالب ستة، ٢٠، سالب واحد أكثر تشتتًا؟
الانحراف المعياري لمجموعة بيانات هو طريقة لقياس تشتتها أو تناثرها حول وسطها الحسابي. فكلما زادت قيمة الانحراف المعياري، زاد تشتت البيانات، والعكس. وكلما قلت قيمة الانحراف المعياري، قل تشتت البيانات حول الوسط الحسابي. تذكر أنه لمجموعة البيانات ﺱ – التي تحتوي على القيم ﺱ واحد، ﺱ اثنين، ﺱ ثلاثة، وهكذا حتى ﻥﺱ؛ حيث يوجد في المجمل عدد ﻥ من القيم – ووسطها الحسابي ﺱ بار، فإن الانحراف المعياري، الذي نشير إليه بـ 𝜎، يعطى بالعلاقة 𝜎 يساوي الجذر التربيعي للمجموع من واحد إلى ﻥﺱ ناقص ﺱ بار تربيع على ﻥ.
عمليًّا، هذا يعني أنه علينا إيجاد الوسط الحسابي ﺱ بار لمجموعة البيانات، وطرح هذه القيمة من كل قيمة من قيم ﺱ في مجموعة البيانات، ثم تربيع كل قيمة من هذه القيم، ثم إيجاد مجموعها. بعد ذلك، نقسم على ﻥ، وهو عدد القيم الموجودة في مجموعة البيانات، ثم نوجد الجذر التربيعي. لعلنا نتذكر أيضًا أن الوسط الحسابي هو مجموع كل قيم ﺱ مقسومًا على عدد القيم. إذن، فهو المجموع من واحد إلى ﻥﺱ على ﻥ. دعونا إذن نتناول كل مجموعة من مجموعات البيانات تباعًا. وسنبدأ بحساب الوسط الحسابي لكل منها.
بالنسبة لمجموعة البيانات الأولى، الوسط الحسابي يساوي سالب ١٧ زائد ٢٠ زائد ستة زائد سالب ١٣ على أربعة. وهذا يساوي سالب أربعة على أربعة، وهو ما يساوي سالب واحد. بالنسبة لمجموعة البيانات الثانية، الوسط الحسابي هو سالب خمسة زائد سالب ١٦ زائد خمسة زائد تسعة على أربعة. وهذا يساوي سالب سبعة على أربعة، أو على الصورة العشرية سالب ١٫٧٥. وبالنسبة لمجموعة البيانات الأخيرة، الوسط الحسابي يساوي سالب واحد زائد سالب ستة زائد ٢٠ زائد سالب واحد على أربعة. وهذا يساوي ١٢ على أربعة، وهو ما يساوي ثلاثة.
إذن، أوجدنا الوسط الحسابي لكل مجموعة بيانات، والآن علينا أن نتناول عملية حساب الانحراف المعياري. وسنجد أنه من المفيد أن ننظم الحسابات في جدول. في العمود الأول، نكتب القيم الموجودة في مجموعة البيانات، وفي العمود الثاني، نطرح الوسط الحسابي من كل قيمة من هذه القيم، وفي العمود الأخير، نقوم بتربيع هذه القيم الناتجة. إذن، بالنسبة لمجموعة البيانات الأولى حيث الوسط الحسابي يساوي سالب واحد، يكون لدينا سالب ١٧ ناقص سالب واحد. وهذا يساوي سالب ١٧ زائد واحد، ما يعطينا سالب ١٦. بعد ذلك، لدينا ٢٠ ناقص سالب واحد، وهذا يساوي ٢١، ثم لدينا ستة ناقص سالب واحد، وهو ما يساوي سبعة، ثم لدينا سالب ١٣ ناقص سالب واحد، وهو ما يساوي سالب ١٢.
في العمود الأخير من الجدول، علينا تربيع هذه القيم، فنحصل على ٢٥٦ و٤٤١ و٤٩ و١٤٤. مجموع هذه القيم الأربع في العمود الأخير، ومن ثم مجموع كل قيمة من قيم ﺱ ناقص الوسط الحسابي تربيع، هو ٨٩٠. وهذا يعطينا بسط الكسر تحت علامة الجذر. إذن، لدينا الانحراف المعياري 𝜎 لمجموعة البيانات الأولى يساوي الجذر التربيعي لـ ٨٩٠ على أربعة. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، فنحصل على ١٤٫٩١٦ وهكذا مع توالي الأرقام أو ١٤٫٩٢ لأقرب منزلتين عشريتين. بذلك نكون قد حسبنا الانحراف المعياري لمجموعة البيانات الأولى، والآن علينا أن نفعل الشيء نفسه مع المجموعتين الأخريين.
بالنسبة إلى مجموعة البيانات الثانية، الوسط الحسابي يساوي سالب ١٫٧٥، إذن هذه هي القيمة التي علينا طرحها من كل قيمة في مجموعة البيانات. طرح سالب ١٫٧٥ هو نفسه جمع ١٫٧٥، إذن، نحصل على سالب ٣٫٢٥ وسالب ١٤٫٢٥ و٦٫٧٥ و١٠٫٧٥. نقوم بعد ذلك بتربيع كل قيمة من هذه القيم في العمود الأخير من الجدول، ونوجد مجموعها، وهو ٣٧٤٫٧٥. مرة أخرى، هناك أربع قيم في مجموعة البيانات هذه، إذن ﻥ يساوي أربعة. ولدينا 𝜎 يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٧٤٫٧٥ على أربعة. وعلى الصورة العشرية، هذا يساوي ٩٫٦٧٩ وهكذا مع توالي الأرقام، أو ٩٫٦٨ لأقرب منزلتين عشريتين.
وأخيرًا، سنحسب الانحراف المعياري لمجموعة البيانات الثالثة التي وسطها الحسابي يساوي ثلاثة. طرح ثلاثة من كل قيمة في مجموعة البيانات يعطينا سالب أربعة وسالب تسعة و ١٧ وسالب أربعة. وبتربيع هذه القيم، يصبح لدينا ١٦ و٨١ و٢٨٩ و١٦، ومجموعها يساوي ٤٠٢. الانحراف المعياري لمجموعة البيانات الأخيرة هذه يساوي الجذر التربيعي لـ ٤٠٢ على أربعة. وهذا يساوي ١٠٫٠٢٤ وهكذا مع توالي الأرقام، أو ١٠٫٠٢ لأقرب منزلتين عشريتين.
إذن، حسبنا الانحراف المعياري لكل مجموعة من مجموعات البيانات الثلاث، والآن علينا أن نحدد أي منها أكثر تشتتًا. تذكر أننا قلنا إنه كلما زاد الانحراف المعياري، زاد تشتت البيانات حول الوسط الحسابي. بمقارنة قيم الانحراف المعياري ١٤٫٩٢ و٩٫٦٨ و١٠٫٠٢، نلاحظ أن مجموعة البيانات الأولى لها أكبر انحراف معياري. إذن، من بين مجموعات البيانات الثلاث، المجموعة الأكثر تشتتًا هي مجموعة البيانات سالب ١٧، ٢٠، ستة، سالب ١٣.
