فيديو: المتباينات ذات الخطوة الواحدة: الجمع أو الطرح

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل متباينات خطية ذات خطوة واحدة باستخدام الجمع أو الطرح.

١٤:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المتباينات الخطية ذات الخطوة الواحدة باستخدام الجمع أو الطرح. المتباينة هي جملة رياضية تحتوي على رمز واحد أو أكثر، من رموز المتباينات التالية. توجد أربعة رموز للمتباينة، وهي توضح أن قيمة أحد التعبيرين أكبر من الآخر. في الصف الأول، لدينا رمز أكبر من، الذي يوضح أن ‪𝑥‬‏ أكبر من ‪𝑐‬‏. والصف الثاني يوضح أن ‪𝑥‬‏ أصغر من ‪𝑐‬‏. أما الصف الثالث، فبه تغير طفيف عن الصف الأول. فهذا الرمز يوضح أن ‪𝑥‬‏ أكبر من أو يساوي ‪𝑐‬‏. وبالمثل، يوضح الصف الرابع أن ‪𝑥‬‏ أصغر من أو يساوي ‪𝑐‬‏.

الجمل الرياضية التي تحتوي على علامة يساوي تسمى معادلات. تخبرنا هذه المعادلة أن ثلاثة زائد اثنين يساوي خمسة. في المعادلات، يكون لطرفي علامة يساوي القيمة نفسها. أما في المتباينة، يكون أحد الطرفين أكبر من الآخر. على سبيل المثال، لدينا هنا ثلاثة زائد اثنين أكبر من أربعة. عندما نتعامل مع المتباينات، علينا عادة حلها. وهذا يعني إيجاد مدى للقيم التي يمكن أن يتخذها المتغير لتكون المتباينة صحيحة. إذا نظرنا إلى المتباينة ‪𝑥‬‏ زائد واحد أكبر من ‪10‬‏، فعلينا إيجاد جميع القيم التي تجعل ‪𝑥‬‏ زائد واحد أكبر من ‪10‬‏ لإيجاد حل هذه المتباينة. وهذا هو ما سوف نتعلمه في هذا الفيديو.

قبل أن نتناول حل المتباينات، دعونا نتذكر طريقة الميزان سريعًا عند التعامل مع المعادلات. تفيد المعادلة بأن ثمة تساويًا بين تعبيرين. يمكننا تمثيل ذلك باستخدام الميزان. في هذه الحالة، لدينا ‪𝑥‬‏ زائد خمسة يساوي ثمانية. إذا أردنا إيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ فقط، فيمكننا طرح المكعب خمسة. لكن للحفاظ على التوازن، علينا طرح خمسة من الطرف الآخر أيضًا. إذا قسمنا الثمانية الأصلية الموجودة على الميزان، فسوف نحصل على ثلاثة وخمسة. بعد ذلك، يمكننا طرح المكعب خمسة لنجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. جبريًا، نعبر عن ذلك بطرح خمسة من كلا طرفي المعادلة.

والآن، لنلق نظرة على كيفية تطبيق ذلك على المتباينات. في هذه الحالة، نريد أن نقول إن ‪𝑥‬‏ زائد خمسة أكبر من ثمانية. على الميزان، هذا يعني أن الطرف ‪𝑥‬‏ زائد خمسة سيكون له وزن أكبر؛ أي الثمانية. في هذه الحالة، عندما نحل لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏، علينا الحفاظ على ميل هذا الميزان غير المتكافئ. يجب أن يظل طرف ‪𝑥‬‏ منخفضًا عن طرف العدد ثمانية. إذا حاولنا حذف شيء ما من الطرف الأثقل، فعلينا حذف المقدار نفسه من الطرف الأخف لكي نحافظ على النسب متساوية.

ومثلما فعلنا من قبل، يمكننا تقسيم المكعب ثمانية إلى جزأين: ثلاثة وخمسة. وعند حذف المكعب خمسة هذا، نلاحظ وجود متباينة جديدة. فإننا نلاحظ العبارة التي تخبرنا أنه لا بد أن يكون ‪𝑥‬‏ أكبر من ثلاثة. وإذا كتبنا ذلك جبريًا، فسنطرح خمسة من كلا طرفي المتباينة، ويتبقى لدينا ‪𝑥‬‏ أكبر من ثلاثة. توضح طريقة الميزان هذه إحدى قواعد المتباينات. وتنص القاعدة على ما يلي: تظل المتباينة صحيحة عند إضافة العدد نفسه أو طرحه من كلا طرفيها. لننظر في بعض الأمثلة لنرى كيف نطبق هذه القاعدة لتبسيط المتباينات.

إذا كان ‪𝑥‬‏ زائد ‪34‬‏ أكبر من أو يساوي ‪46‬‏، فما العدد المطلوب إضافته إلى طرفي المتباينة لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏؟

لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏، يجب أن يكون ‪𝑥‬‏ في أحد طرفي المتباينة بمفرده. في هذه الحالة، ‪34‬‏ مضافًا إلى ‪𝑥‬‏. إذا أردنا أن نجعل ‪𝑥‬‏ في طرف بمفرده، يمكننا طرح ‪34‬‏ من كلا طرفي المتباينة. وعلينا الانتباه جيدًا عند قراءة هذا السؤال، حيث إن المطلوب هو إضافة عدد ما إلى طرفي المتباينة. في الخيار الأول، طرحنا ‪34‬‏. لكن إذا كان المطلوب في السؤال هو إجراء ذلك في صورة إضافة، فعلينا أن نقول إننا نجمع سالب ‪34‬‏. بما أن المطلوب هو إيجاد العدد المطلوب إضافته إلى طرفي المتباينة، فالإجابة هي إضافة سالب ‪34‬‏. وبإضافة سالب ‪34‬‏ إلى كلا طرفي المتباينة، نجد أن ‪𝑥‬‏ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي ‪12‬‏.

إليك مثال آخر.

إذا كان ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية أكبر من سالب ثلاثة، فإن ‪𝑥‬‏ أكبر من فراغ.

نعرف من ذلك أن ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية أكبر من سالب ثلاثة. ونريد معرفة القيمة التي يجب أن يكون ‪𝑥‬‏ أكبر منها. ولإجراء ذلك، علينا التبسيط. فعلينا أن نجعل ‪𝑥‬‏ بمفرده في الطرف الأيسر من علامة أكبر من. نعلم أن المتباينات تظل صحيحة طالما نجمع أو نطرح المقدار نفسه من كلا طرفي المتباينة. أعلم أن ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية زائد ثمانية يساوي ‪𝑥‬‏. وهذا يعني أنه يمكننا إضافة ثمانية إلى كلا طرفي هذه المتباينة دون تغيير قيمتها. في الطرف الأيسر، لدينا ‪𝑥‬‏، وفي الطرف الأيمن، لدينا سالب ثلاثة زائد ثمانية يساوي خمسة. ومن ثم، يمكننا القول إنه إذا كان ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية أكبر من سالب ثلاثة، فإن ‪𝑥‬‏ سيكون أكبر من خمسة.

إليك مثال ثالث.

إذا كان ‪𝑎‬‏ زائد ‪46‬‏ أكبر من أو يساوي ‪39‬‏، فإن فراغ. (أ) ‪𝑎‬‏ أكبر من أو يساوي سبعة. (ب) ‪𝑎‬‏ أكبر من أو يساوي سالب سبعة. (ج) ‪𝑎‬‏ أكبر من أو يساوي ‪85‬‏. (د) ‪𝑎‬‏ أكبر من أو يساوي سالب ‪85‬‏. أو (هـ) ‪𝑎‬‏ أكبر من أو يساوي سالب سبعة.

نبدأ بالمتباينة ‪𝑎‬‏ زائد ‪46‬‏ أكبر من أو يساوي ‪39‬‏. علينا تبسيطها بحيث يصبح الحد ‪𝑎‬‏ في طرف بمفرده على يسار رمز المتباينة. ونعلم أنه عند التعامل مع المتباينات، ما دمنا نجمع أو نطرح القيمة نفسها من كلا الطرفين، فإن المتباينة تظل صحيحة. إذا أردنا جعل ‪𝑎‬‏ في طرف بمفرده، فيمكننا طرح ‪46‬‏ من الطرف الأيسر للمتباينة. لكن إذا طرحنا ‪46‬‏ من الطرف الأيسر للمتباينة، فعلينا طرح ‪46‬‏ من الطرف الأيمن للمتباينة. في الطرف الأيسر، يتبقى لدينا ‪𝑎‬‏ فقط. ‏‏‪𝑎‬‏ زائد ‪46‬‏ ناقص ‪46‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏.

وهنا علينا أن ننتبه. لدينا ‪39‬‏، ولكننا نطرح عددًا أكبر من ‪39‬‏. إننا نطرح ‪46‬‏. رياضيًا، هذا يعني أننا نطرح ‪39‬‏ من ‪46‬‏، وهو ما يساوي سبعة. ولكنها تأخذ إشارة السالب للعدد ‪46‬‏. ‏‏‪39‬‏ ناقص ‪46‬‏ يساوي سالب سبعة. وقد كتبنا رمز المتباينة؛ لأنها ما تزال صحيحة، بمعنى أن ‪𝑎‬‏ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي سالب سبعة، وهو في هذه الحالة الخيار (ب).

في المثال التالي، علينا إجراء بعض عمليات إعادة الترتيب.

حدد الاختيار الذي يكافئ ‪𝑎‬‏ زائد سبعة أصغر من صفر. (أ) ‪𝑎‬‏ أكبر من سالب سبعة. (ب) ‪𝑎‬‏ أكبر من أو يساوي سالب سبعة. (ج) سالب سبعة أكبر من ‪𝑎‬‏. أو (د) سالب سبعة أكبر من أو يساوي ‪𝑎‬‏.

أولًا، نكتب المعطيات. ‏‏‪𝑎‬‏ زائد سبعة أصغر من صفر. يمكننا البدء في حل هذه المسألة بجعل المتغير ‪𝑎‬‏ في طرف بمفرده. ولإجراء ذلك، نطرح سبعة من الطرف الأيسر من المتباينة. ولكي تظل هذه المتباينة صحيحة، فعلينا طرح سبعة من الطرف الأيمن من المتباينة. في الطرف الأيسر، لدينا ‪𝑎‬‏ زائد سبعة ناقص سبعة يساوي ‪𝑎‬‏. وفي الطرف الأيمن، لدينا صفر ناقص سبعة يساوي سالب سبعة. لقد وجدنا أن ‪𝑎‬‏ أصغر من سالب سبعة. والآن، للوهلة الأولى، لا يبدو أن ‪𝑎‬‏ أصغر من سالب سبعة أحد اختيارات الإجابة الموجودة لدينا. ولمساعدتنا على توضيح ذلك، دعونا ننظر إلى هذه المتباينة على خط الأعداد.

لدينا سالب سبعة، ويجب أن يكون ‪𝑎‬‏ أصغر من ذلك. على خط الأعداد، ما هو أصغر من سالب سبعة سيكون قيمًا أكثر سالبية. وسنعبر عن ذلك بسهم يشير إلى اليسار. وعليه، نقول إن ‪𝑎‬‏ يجب أن يكون على يسار العدد سالب سبعة على خط الأعداد. باستخدام هذه المعطيات، دعونا نرجع إلى اختيارات الإجابة المتاحة أمامنا. يقول الخيار (أ) إن ‪𝑎‬‏ أكبر من سالب سبعة. وهذا عكس ما هو صحيح. ويقول الخيار (ب) إن ‪𝑎‬‏ أكبر من أو يساوي سالب سبعة. مرة أخرى، هذا ليس صحيحًا؛ لأن ‪𝑎‬‏ يجب أن يكون أصغر من سالب سبعة. أما الخيار (ج) فهو عبارة عن متباينة تقول إن سالب سبعة أكبر من ‪𝑎‬‏.

إذا نظرنا إلى سالب سبعة على خط الأعداد، فسيكون صحيحًا إذا قلنا إن سالب سبعة أكبر من ‪𝑎‬‏. سالب سبعة أكبر من ‪𝑎‬‏؛ لأن ‪𝑎‬‏ أصغر من سالب سبعة، وهو ما يجعل الخيار (ج) عبارة تكافئ ‪𝑎‬‏ أصغر من سالب سبعة. وعندما ننظر إلى الخيار (د)، نجد أن سالب سبعة أكبر من أو يساوي ‪𝑎‬‏. لكن بما أن المتباينات التي نتعامل معها أصغر من وأكبر من فقط، فهي لا تحتوي على علامة يساوي، وهو ما يجعل الخيار (د) خطأ.

في المثال التالي، لدينا متباينة مبسطة، وعلينا إعادة ترتيبها.

أكمل باستخدام أصغر من أو يساوي، أو أصغر من، أو أكبر من، أو أكبر من أو يساوي: إذا كان ‪𝑏‬‏ أصغر من أو يساوي سالب خمسة، فإن ‪𝑏‬‏ زائد واحد فراغ سالب أربعة.

نعرف من ذلك أن ‪𝑏‬‏ أصغر من أو يساوي سالب خمسة. ونريد معرفة العلاقة بين ‪𝑏‬‏ زائد واحد وسالب أربعة. ونعرف عن المتباينات أننا إذا أضفنا العدد نفسه إلى كلا طرفي المتباينة، فستظل المتباينة صحيحة. إذا حاولنا إضافة واحد إلى كلا طرفي المتباينة، فسنحصل على ‪𝑏‬‏ زائد واحد في الطرف الأيسر. ولا يمكننا التبسيط أكثر من ذلك. وفي الطرف الأيمن، سنحصل على سالب خمسة زائد واحد. إننا لم نغير قيمة المتباينة. وبذلك، لدينا ‪𝑏‬‏ زائد واحد أصغر من أو يساوي سالب خمسة زائد واحد. ونعرف أن سالب خمسة زائد واحد يساوي سالب أربعة. وعليه، نؤكد أن ‪𝑏‬‏ زائد واحد يجب أن يكون أصغر من أو يساوي سالب أربعة.

في المثال الأخير، علينا أن نكتب أولًا المتباينة قبل حلها.

يريد دانييل شراء بعض منتجات البقالة. يجب أن يكون معه ‪80‬‏ دولارًا نقدًا على الأقل. ومعه حاليًا ‪15‬‏ دولارًا أمريكيًا. اكتب متباينة وحلها لتحديد المبلغ النقدي الذي يجب أن يسحبه دانييل من حسابه المصرفي.

يريد دانييل مبلغًا نقديًا لا يقل عن ‪80‬‏ دولارًا. ولمعرفة نوع المتباينة المطلوب كتابتها، دعونا نفكر في الأمر. هل سيكون مناسبًا إذا كان لدى دانييل أكثر من ‪80‬‏ دولارًا نقدًا؟ نعم. هل سيكون مناسبًا إذا كان لدى دانييل بالضبط ‪80‬‏ دولارًا نقدًا؟ نعم. لن يكون مناسبًا إذا كان لديه مبلغ نقدي أقل من ‪80‬‏ دولارًا. وهذا يعني أننا نريد رمز متباينة تعبر عن أكبر من أو يساوي. يجب أن يكون المبلغ مع دانييل أكبر من أو يساوي ‪80‬‏ دولارًا. والمبلغ لدى دانييل يتكون من جزأين. المبلغ الذي يجب أن يسحبه والمبلغ الذي لديه بالفعل وهو ‪15‬‏ دولارًا. إذن، يجب أن تكون هاتان القيمتان معًا أكبر من أو يساوي ‪80‬‏ دولارًا أمريكيًا. يمكننا أن نفترض أن المتغير ‪𝑥‬‏ يمثل المبلغ الذي سيسحبه دانييل. وعلى ذلك، نقول إن ‪𝑥‬‏ زائد ‪15‬‏ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي ‪80‬‏.

حتى هنا، نكون قد نجحنا في كتابة متباينة لتوضيح المبلغ الذي يريده دانييل. لكن علينا المتابعة بحل هذه المتباينة. نريد إيجاد قيم ‪𝑥‬‏ التي تجعل هذه العبارة صحيحة. وذلك عن طريق طرح ‪15‬‏ دولارًا من كلا طرفي المتباينة. ‏‏‪80‬‏ دولارًا ناقص ‪15‬‏ دولارًا يساوي ‪65‬‏ دولارًا. إذن، يجب أن يكون ‪𝑥‬‏ أكبر من أو يساوي ‪65‬‏. ويمثل ‪𝑥‬‏ المبلغ الذي يجب أن يسحبه من حسابه المصرفي. يتعين على دانييل أن يسحب ‪65‬‏ دولارًا على الأقل إذا كان يريد أن يكون معه ‪80‬‏ دولارًا نقدًا. ولذا، فإن المتباينة التي كتبناها هي ‪𝑥‬‏ زائد ‪15‬‏ أكبر من أو يساوي ‪80‬‏ وحللنا لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ فيها لتكون أكبر من أو تساوي ‪65‬‏.

والآن دعونا نلخص ما تعلمناه. المتباينة هي جملة رياضية تحتوي على رمز متباينة. وهي توضح أن قيمة أحد التعبيرين أكبر من قيمة الآخر. لتبسيط المتباينات، يمكننا استخدام قاعدة الجمع والطرح للمتباينات، التي تنص على أن المتباينة تظل صحيحة عند إضافة العدد نفسه أو طرحه من كلا طرفيها. لاحظ أنه قال معادلة هنا، بينما كان ينبغي أن يقول متباينة. تظل المتباينة صحيحة عند إضافة العدد نفسه أو طرحه من كلا طرفيها. وبذلك، إذا كان ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة أكبر من ستة، فيمكننا طرح ثلاثة من كلا طرفي هذه المتباينة، ونقول إن ‪𝑥‬‏ أكبر من ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.