فيديو الدرس: الفرق بين مربعين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

الفرق بين مربعين

إذا بدأنا برسم مربع، أبعاده ﺃ في ﺃ، فإننا نعلم أن مساحة هذا المربع تساوي ﺃ تربيع. ونحن نتحدث هنا عن الفرق بين مربعين. ولذا، دعونا نطرح مربعًا آخر من هذا المربع. افترض أننا نريد معرفة مساحة الشكل الأبيض. لمعرفة ذلك، سنطرح مساحة الشكل الأزرق. إذن، لدينا ﺃ تربيع وسنطرح منه ﺏ تربيع. أو إذا اقتطعنا هذا الجزء، فستصبح لدينا أبعاد مختلفة للأضلاع. هذا الجزء يساوي ﺃ ناقص ﺏ؛ لأن طول الضلع كله يساوي ﺃ ونرى أن الجزء السفلي منه يساوي ﺏ؛ إذن، طول هذا الجزء يساوي ﺃ ناقص ﺏ. وبالطبع طول هذا هو ﺏ. لكن إذا أخذنا هذا الشكل وحركناه لأعلى بجانب هذا الضلع، فإننا نعلم أنه يمكننا ذلك لأن طول الخط المتقطع يساوي ﺃ ناقص ﺏ أيضًا، وبهذا سنحصل على شكل مختلف. سنحصل في النهاية على هذا المستطيل. ونجد أن طول الضلع يساوي ﺃ ناقص ﺏ وطول الضلع العلوي يساوي ﺃ. ثم نضيف إليه طول ﺏ. وبهذا، يكون طول أحد البعدين هو ﺃ ناقص ﺏ، وطول الآخر هو ﺃ زائد ﺏ. نعلم أن مساحة الشكل الأصلي كانت ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع؛ لأنه كان لدينا مربع كبير واقتطعنا منه مربعًا صغيرًا. ومساحة الشكل الجديد تساوي ﺃ ناقص ﺏ الكل مضروبًا في ﺃ زائد ﺏ؛ لأنه مستطيل. وبدمج هذين معًا، نحصل على الفرق بين مربعين.

لنر ذلك بالطريقة الجبرية أيضًا. دعونا نفك هذين القوسين بتوزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. نضرب الحد الأول في كل قوس معًا، أي ﺃ في ﺃ، ويساوي ﺃ تربيع. ثم نضرب ﺃ في سالب ﺏ ويساوي سالب ﺃﺏ. وﺏ في ﺃ ويساوي موجب ﺃﺏ. وأخيرًا، ﺏ في سالب ﺏ يساوي سالب ﺏ تربيع. ونجد أن الحدين الأوسطين يحذف أحدهما الآخر، ويتبقى ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع. وهكذا، فقد رأينا هذا هندسيًّا وجبريًّا. دعونا الآن نطبق ذلك على مسألة.

علينا إيجاد قيمة ﺃ. ما القيمة التي مربعها يعطينا ١٦ﺱ تربيع. نعلم أن أربعة تربيع يساوي ١٦، وﺱ تربيع هو مربع ﺱ. إذن، هذا الحد سيكون أربعة ﺱ الكل تربيع. وبهذا، أربعة ﺱ هي قيمة ﺃ. والآن، نبحث عن قيمة ﺏ. ما العدد الذي مربعه يساوي تسعة، إنه ثلاثة. إذن، ثلاثة ﺹ الكل تربيع يساوي تسعة ﺹ تربيع. وهذا هو ﺏ. وبالتعويض بذلك في العلاقة، نحصل على ﺃ زائد ﺏ الكل مضروبًا في ﺃ ناقص ﺏ. وبهذا يصبح لدينا أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ الكل مضروبًا في أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ. لنتناول مثالًا آخر.

لننظر إلى هذا المثال مرة أخرى، ونفكر ما القيمة التي مربعها يساوي ٣٦ﺱ تربيع. إنها ستة ﺱ الكل تربيع. بعد ذلك، نفكر ما القيمة التي مربعها يساوي ٣٦ﺹ تربيع. مرة أخرى، إنها ستة ﺹ الكل تربيع. والآن، يمكننا تطبيق الصيغة حيث نجعل ﺃ يساوي ستة ﺱ وﺏ يساوي ستة ﺹ، وبهذا نكون انتهينا. لكن هناك طريقة أخرى يمكن استخدامها في هذه المسألة. إذا نظرنا إلى الجزء الأول من السؤال، ٣٦ﺱ تربيع ناقص ٣٦ﺹ تربيع، فإننا نجد أن كلًّا منهما له عامل مشترك أكبر وهو ٣٦. وبهذا، يمكن أن نأخذ العامل المشترك للعدد ٣٦ أولًا. لنحصل بذلك على هذا التعبير. في هذه الحالة، ﺃ هو ﺱ وﺏ هو ﺹ. ويمكن أن نعوض بذلك في العلاقة، لنحصل على هذا التعبير. هذان التعبيران متساويان. الإجابة التي حصلنا عليها عند استخدام الطريقة الأولى هي الإجابة نفسها التي حصلنا عليها بالطريقة الثانية. ففي الطريقة الأولى، لو كنا أخذنا ستة عاملًا مشتركًا في كل قوس، فكنا سنضرب ستة في ستة، وهو ما يساوي ٣٦. إذن، نحن نحصل على الإجابة نفسها باستخدام أي الطريقتين، لكن في الطريقة الثانية حللنا التعبير تحليلًا كاملًا. إذن، مجمل الأمر أن الشيء الوحيد الذي ينبغي أن تتذكره، فيما يخص الفرق بين مربعين، هو العلاقة الموجودة، وعليك أن تتدرب لكي تميزها إن وجدت. فعندما نرى عددًا مربعًا ناقص عدد مربع آخر، وعادة ما توجد متغيرات مربعة أيضًا، فعلينا في هذه الحالة أن نستخدم هذه العلاقة مباشرة.