فيديو السؤال: تحليل مقادير ثلاثية الحدود على صورة مربع كامل

نسخة الفيديو النصية

حلل ﺃ تربيع ناقص ستة ﺃﺏ زائد تسعة ﺏ تربيع.

لدينا في هذا المقدار، واحد ﺃ تربيع — سأضع خطًّا هنا — ولدينا تسعة ﺏ تربيع، ثم لدينا هذا الحد في المنتصف وهو ستة في ﺃ في ﺏ.

نلاحظ هنا أن أعلى قوة هي اثنان، ولدينا هذا النمط المميز، وهو ما يعني أنه سيكون لدينا قوسان على هذا النحو يمكننا ضربهما معًا لتكوين ذلك المقدار. سيكون لدينا في القوس الأول شيء زائد أو ناقص شيء، وفي القوس الثاني سيكون لدينا شيء زائد أو ناقص شيء آخر.

لنفكر في ذلك على نحو عكسي، إذا كان لدينا قوسان بهذا الشكل ونريد ضربهما معًا، فإننا نضرب هذا الحد في هذا الحد وهذا الحد، ونضرب هذا الحد في هذا الحد وهذا الحد. وبما أن لدينا واحد ﺃ تربيع، فهذا يعني أنه يمكننا وضع ﺃ هنا وﺃ هنا؛ لأنه عند ضرب ﺃ في ﺃ سنحصل على ﺃ تربيع.

أما الآن، فعلينا إيجاد الحدين الآخرين. هل سنضع إشارة موجب أم سالب هنا؟ لنفترض أن الحدين سيتضمنان ﺏ. حسنًا، علينا فك تسعة ﺏ تربيع. إذا كان لدينا ﺃ هنا وﺃ هنا، فإن الطريقة الوحيدة التي يمكننا بها فك هذا الحد الأخير، وهو تسعة ﺏ تربيع، هي أن يكون كل حد من هذين الحدين على حدة عددًا مضروبًا في ﺏ.

ومن ثم، عند ضرب هذين الحدين معًا، سنضرب ﺏ في ﺏ، وهو ما يساوي ﺏ تربيع، ثم نضرب عددًا في عدد بحيث يكون حاصل ضربهما تسعة. إذن لنفكر في مزيج القيم المحتملة هنا. بالتعامل مع الأعداد الصحيحة فقط، واحد في تسعة يساوي تسعة، وثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة.

إذا افترضت أن هذين الحدين هما واحد ﺏ وتسعة ﺏ، فإن حاصل ضربهما يساوي تسعة ﺏ تربيع؛ أو إذا افترضنا أنهما ثلاثة ﺏ وثلاثة ﺏ، فإن حاصل ضربهما يساوي تسعة ﺏ تربيع أيضًا. ولكن، لا يزال يتعين علينا ضرب هذا الحد في هذا الحد ثم جمع حاصل ضربهما مع حاصل ضرب هذا الحد في هذا الحد، ومن ثم يكون لدينا مزيج من ﺃ وﺏ في كل قوس كي نفكر فيهما.

دعونا نجر هذا الجزء فقط من العمليات الحسابية، فنضرب ﺃ في الحد الذي يتضمن ﺏ ثم نجمع حاصل ضربهما مع حاصل ضرب الحد الذي يتضمن ﺏ مضروبًا في ﺃ.

يمكن كتابة الحد الأول من هذين الحدين، وهو ﺃ مضروبًا في عدد ما مضروبًا في ﺏ، على الصورة: عدد ما مضروب في ﺃﺏ، ويمكن كتابة الحد الثاني أيضًا على الصورة: عدد ما مضروب في ﺃﺏ بدلًا من عدد ما مضروب في ﺏ مضروب في ﺃ.

وعند جمعهما، يجب أن يكون حاصل جمع هذا العدد مع هذا العدد يساوي سالب ستة؛ وذلك هو العدد المضروب في ﺃﺏ والذي نريد تكوينه في النهاية. حسنًا، ثمة مشكلة هنا لأن الخيارين اللذين لدينا حتى الآن لهذين العددين هما: موجب واحد وموجب تسعة، أو موجب ثلاثة وموجب ثلاثة. وبالتالي، فلا زوج من هذين الزوجين سيكون حاصل جمعه سالب ستة. إذن، لنفكر في زوجين آخرين من الأعداد عند ضرب كل زوج فيهما معًا نحصل على موجب تسعة.

حسنًا، سالب واحد في سالب تسعة يعطينا موجب تسعة، أو سالب ثلاثة في سالب ثلاثة يعطينا موجب تسعة. والآن، أي زوج من هذين الزوجين يعطينا عند جمعه سالب ستة؟ حسنًا، إنه سالب ثلاثة وسالب ثلاثة.

إذن، العدد الذي يسبق ﺏ هنا هو سالب ثلاثة؛ والعدد الذي يسبق ﺏ هنا هو أيضًا سالب ثلاثة. والآن، لننظم ذلك ونفسح مجالًا للكتابة.

صورة هذا المقدار بعد التحليل هي: ﺃ ناقص ثلاثة ﺏ مضروبًا في ﺃ ناقص ثلاثة ﺏ. حسنًا، لنتحقق من صحة الإجابة. ‏ﺃ في ﺃ يساوي ﺃ تربيع، وﺃ في سالب ثلاثة ﺏ يساوي سالب ثلاثة ﺃﺏ، وسالب ثلاثة ﺏ في ﺃ يساوي سالب ثلاثة ﺏﺃ — لكن لا يهم إذا عكسنا هذا الرمز مع هذا الرمز، فذلك يساوي سالب ثلاثة ﺃﺏ، إذن سنكتب ذلك بهذه الطريقة — وسالب ثلاثة ﺏ في سالب ثلاثة ﺏ يساوي موجب تسعة ﺏ تربيع.

لدينا الآن في المنتصف سالب ثلاثة ﺃﺏ ناقص ثلاثة ﺃﺏ أخرى، إذن ذلك يساوي سالب ستة ﺃﺏ. وهكذا، عندما تحققنا من صحة الإجابة، حصلنا فعلًا على نفس المقدار الذي بدأنا به.

إذن، هذه هي الإجابة الصحيحة. لكن نلاحظ أن المقدار الموجود في القوس الأول هو نفسه المقدار الموجود في القوس الثاني، فما لدينا هو ﺃ ناقص ثلاثة ﺏ مضروبًا في ﺃ ناقص ثلاثة ﺏ. وذلك يساوي ﺃ ناقص ثلاثة ﺏ الكل تربيع، إذن، الصورة الأكثر إيجازًا لكتابة ذلك هي: ﺃ ناقص ثلاثة ﺏ الكل تربيع.