نسخة الفيديو النصية
إذا كانت ﺩ، وﺭ دالتين حقيقيتين، حيث ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد تسعة على ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ٥٤، وﺭﺱ تساوي ﺱ زائد ثمانية، فأوجد قيمة ﺩ ناقص ﺭ لسالب ستة إن أمكن.
نبدأ بتذكر أن ﺩ ناقص ﺭﺱ هو ببساطة الدالة ﺩ ناقص الدالة ﺭ. دعونا إذن نحسب ﺩ ناقص ﺭﺱ أولًا، ثم نفكر في مجالها. لقد عرفنا من السؤال أن ﺩ هي الدالة الكسرية ﺱ زائد تسعة على ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ٥٤، وﺭ هي الدالة ﺱ زائد ثمانية. إذن ﺩ ناقص ﺭﺱ تساوي ﺱ زائد تسعة على ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ٥٤ ناقص ثمانية زائد ﺱ. سوف نبسط هذا التعبير بطرح الكسور. ولفعل ذلك، سنكتب ﺱ زائد ثمانية على صورة ﺱ زائد ثمانية على واحد، ثم نوجد مقامًا مشتركًا.
لإيجاد هذا المقام المشترك، علينا ضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ٥٤. وعندما نفعل ذلك، يصبح الكسر الثاني ﺱ زائد ثمانية في ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ٥٤. هيا نوزع الأقواس في الكسر الثاني. عندما نفعل ذلك، يصبح البسط ﺱ تكعيب زائد ١٥ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ تربيع زائد ١٢٠ﺱ زائد ٥٤ﺱ زائد ٤٣٢، وهو ما يبسط إلى ﺱ تكعيب زائد ٢٣ﺱ تربيع زائد ١٧٤ﺱ زائد ٤٣٢.
والآن بعد أن أصبح المقامان متساويين، سنطرح كل حد في بسط الكسر الثاني من البسط الأول، لنحصل على ﺩ ناقص ﺭﺱ على صورة سالب ﺱ تكعيب زائد ٢٣ﺱ تربيع ناقص ١٧٣ﺱ ناقص ٤٢٣ الكل على ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ٥٤.
والآن، قبل إيجاد قيمة ﺩ ناقص ﺭ لسالب ستة، دعونا نتناول مجال الدالة. تذكر أن المجال هو مجموعة المدخلات التي ستعطي قيمًا مخرجة حقيقية. ومن ثم عند حساب مجال دالة كسرية كهذه، علينا أن نتذكر حقيقة أن مقام هذا الكسر لا يمكن أن يساوي صفرًا. علينا تجنب القسمة على صفر. وهكذا، سنبدأ بحساب قيم ﺱ التي عندها يساوي هذا التعبير صفرًا، أي عند ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ٥٤ يساوي صفرًا.
لفعل ذلك، سنحلل التعبير في الطرف الأيمن. نعلم أن الحد الموجود في بداية كل مقدار ذي حدين يجب أن يكون ﺱ، لأن ﺱ في ﺱ يعطينا ﺱ تربيع. بعد ذلك، نوجد عددين حاصل ضربهما ٥٤ ومجموعهما ١٥. وهما تسعة وستة. وعليه، يصبح لدينا ﺱ زائد تسعة في ﺱ زائد ستة يساوي صفرًا. حسنًا، لكي يكون حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا، يجب أن يكون أحد هذين العاملين مساويًا لصفر. إذن، ﺱ زائد تسعة لا بد أن يساوي صفرًا، أو ﺱ زائد ستة يساوي صفرًا.
إذا طرحنا تسعة من كلا طرفي المعادلة الأولى، فسنجد أن ﺱ يساوي سالب تسعة. وإذا طرحنا ستة من كلا طرفي المعادلة الثانية، فإن ﺱ يساوي سالب ستة. وبذلك نجد أن مقام الكسر يساوي صفرًا إذا كان ﺱ يساوي سالب ستة، أو ﺱ يساوي سالب تسعة. إذن، مجال الدالة ﺩ ناقص ﺭﺱ يجب أن يتضمن جميع الأعداد الحقيقية ما عدا سالب ستة وسالب تسعة. ويمكننا استخدام ترميز المجموعة كما هو موضح لتوضيح ذلك.
والآن، نريد حساب قيمة ﺩ ناقص ﺭ لسالب ستة، لكننا قلنا إن سالب ستة لا يقع ضمن مجال الدالة ﺩ ناقص ﺭﺱ. وبذلك، لا يمكننا إيجاد قيمة ﺩ ناقص ﺭ لسالب ستة. إذن سنقول إنها غير معرفة.