نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي يمثل طول القطعة المستقيمة العمودية المرسومة من النقطة خمسة، ثلاثة، سالب أربعة إلى الخط المستقيم ﺭ يساوي اثنين، سالب ثلاثة، سالب أربعة زائد ﻥ في اثنين، ثلاثة، ستة، لأقرب جزء من مائة؟ أ: ٥٫٧٦، ب:٥٫٧٧، ج:٠٫٨٢، د:٠٫١٧، هـ:٦٫٧٧.
لدينا هنا نقطة وخط مستقيم. ونريد إيجاد طول الخط العمودي، وسنسميه ﺩ، المرسوم من هذه النقطة إلى الخط المستقيم. سنبدأ باسترجاع هذه العلاقة، التي تعطينا المسافة بين نقطة في الفضاء وخط مستقيم. لكي نوجد هذه المسافة، سنحتاج إلى معرفة المتجه الذي يمتد من النقطة الموجودة في الفضاء إلى نقطة ما، أي نقطة، على الخط المستقيم. وسنحتاج أيضًا إلى معرفة المتجه الذي يوازي الخط المستقيم.
على الرسم أمامنا، يمكن أن يبدو المتجه ﻫ بهذا الشكل. أما في المتجه ﺃﺏ، فإذا اخترنا نقطة على الخط المستقيم، على سبيل المثال هذه النقطة هنا، وقلنا إن هذه النقطة معلومة، فإن المتجه ﺃﺏ سيبدو بهذا الشكل. دعونا نفترض أن النقطة المعلومة في الفضاء هي ﺃ، والنقطة المجهولة على الخط هي ﺏ. ولكي نتمكن من إيجاد المسافة ﺩ، علينا معرفة إحداثيات ﺏ ومركبات ﻫ.
يتضح لنا أنه من الممكن الحصول على هاتين المعلومتين من معادلة الخط المستقيم. وبما أن هذه المعادلة معطاة على ما يسمى بالصورة المتجهة، فهذا يعني أن هذا المتجه الأول يمتد من نقطة الأصل لإطار الإحداثيات إلى النقطة اثنين، سالب ثلاثة، سالب أربعة على الخط المستقيم. إذن، ستكون هذه هي النقطة ﺏ. المتجه التالي في هذه المعادلة، أي اثنان، ثلاثة، ستة، يمتد موازيًا لهذا الخط المستقيم. لذا، يمكننا تسمية هذا المتجه ﻫ.
والآن بعد أن عرفنا ﺃ وﺏ وﻫ، يمكننا في الخطوة التالية حساب هذا المتجه ﺃﺏ. كما نرى ﺃﺏ هو متجه، ويمكننا إيجاده بطرح إحداثيات النقطة ﺃ من إحداثيات النقطة ﺏ. ومن ثم، سيكون للمتجه ﺃﺏ المركبات اثنان ناقص خمسة، سالب ثلاثة ناقص ثلاثة، سالب أربعة ناقص سالب أربعة. وهذا يساوي المتجه الذي له المركبات سالب ثلاثة، سالب ستة، صفر. بمعلومية ذلك، نكون جاهزين الآن لحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃﺏ وﻫ.
ﺃﺏ ضرب اتجاهي ﻫ يساوي محدد هذه المصفوفة. في الصف الأول، لدينا متجهات الوحدة الثلاثة، وأسفلها المركبات ﺱ، ﺹ، ﻉ للمتجهين ﺃﺏ وﻫ، على الترتيب. المركبة ﺱ لحاصل الضرب الاتجاهي هذا تساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. وهو ما يساوي سالب ستة مضروبًا في ستة ناقص صفر مضروبًا في ثلاثة أي سالب ٣٦. المركبة ﺹ، تساوي سالب محدد هذه المصفوفة، أي سالب ثلاثة مضروبًا في ستة ناقص صفر مضروبًا في اثنين، أو سالب ١٨. وأخيرًا، المركبة ﻉ تساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين، أي سالب ثلاثة مضروبًا في ثلاثة ناقص سالب ستة مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة.
ومن ثم، يكون هذا هو حاصل الضرب الاتجاهي كاملًا. لاحظ أنه يمكننا كتابة هذا على صورة متجه مركباته سالب ٣٦، ١٨، ثلاثة. والآن، نحن جاهزون لحساب قيمة ﺩ، وذلك بقسمة معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃﺏ وﻫ على معيار المتجه ﻫ. يمكننا كتابة معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃﺏ وﻫ على صورة الجذر التربيعي لسالب ٣٦ تربيع زائد ١٨ تربيع زائد ثلاثة تربيع. ثم، في المقام يصبح لدينا معيار المتجه ﻫ الذي يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد ثلاثة تربيع زائد ستة تربيع. بكتابة هذا المقدار بأكمله على الآلة الحاسبة، نحصل على الإجابة ٥٫٧٦٥٨٣ وهكذا مع توالي الأرقام.
ضمن خيارات الإجابة، لدينا القيمة ٥٫٧٦ وقيمة أخرى هي ٥٫٧٧. وبالرجوع إلى نص السؤال، نرى أنه يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة. في الناتج العددي الموجود لدينا، نلاحظ أن الرقم ستة يقع في خانة المئات. والرقم الموجود على يمينه أكبر من أو يساوي خمسة. هذا يعني أنه عند تقريب هذا الناتج بأكمله لأقرب جزء من مائة، فإننا نقرب العدد ستة إلى سبعة. ومن ثم، تكون إجابتنا بعد التقريب هي ٥٫٧٧. وهذا ما يوضحه الخيار ب، ويمثل طول العمود من نقطة معطاة إلى الخط المستقيم.
