فيديو: مسألة معدلات مرتبطة لمثلث له ضلعان طولهما ثابت والزاوية المحصورة بينهما تزيد بمعدل معلوم

مثلث فيه الضلعان ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏ والزاوية المحصورة بينهما ‪𝜃‬‏ ومساحته ‪𝐴 = 1/2 𝑎𝑏 sin 𝜃‬‏. افترض أن ‪𝑎 = 4‬‏، ‪𝑏 = 5‬‏، والزاوية ‪𝜃‬‏ تتزايد بمعدل ‪0.6 rad/s‬‏. ما سرعة تغير المساحة عندما تكون ‪𝜃 = 𝜋/3‬‏؟

٠٦:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

مثلث فيه الضلعان 𝑎 و𝑏 والزاوية المحصورة بينهما 𝜃 ومساحته 𝐴 تساوي نصف 𝑎𝑏 sin 𝜃. افترض أن 𝑎 يساوي أربعة، و𝑏 يساوي خمسة، والزاوية 𝜃 تتزايد بمعدل 0.6 راديان/ ثانية. ما سرعة تغير المساحة عندما تكون 𝜃 تساوي 𝜋 على ثلاثة؟

حسنًا، دعونا نتخيل ما يحدث في هذا السيناريو. لدينا هنا مثلث له ضلعان بطول 𝑎 و𝑏 وزاوية محصورة 𝜃. هذا معناه أن الزاوية بين الضلعين 𝑎 و𝑏 قياسها 𝜃. نعلم هنا أن مساحة هذا المثلث هي نصف 𝑎𝑏 sin 𝜃.

يمكنك تمييز ذلك باعتباره صيغة مساحة مثلث معلوم طول ضلعيه وقياس الزاوية المحصورة بينهما. نعلم كذلك أن طول الضلعين 𝑎 و𝑏 هما أربعة وخمسة على الترتيب. ومن ثم يمكننا تحديث الرسم والتعويض بهذه القيم في الصيغة العامة لمساحة المثلث. إذن فمساحة المثلث نصف في أربعة في خمسة في sin 𝜃، أي 10 sin 𝜃.

وبالنظر إلى الجزء المتبقي من رأس المسألة، نجد أن 𝜃 تزداد بمعدل 0.6 راديان في الثانية. ما معنى هذا؟ حسنًا، يمكننا رسم صورة أخرى للمثلث بعد مرور بعض الوقت وزيادة الزاوية 𝜃. ويساعدنا ذلك في فهم ما الذي يعنيه أن تزداد الزاوية 𝜃 بينما تظل أطوال الأضلاع كما هي. لكننا نرغب في إيجاد طريقة رياضية نقول بها إن الزاوية 𝜃 تزيد بمعدل 0.6 راديان في الثانية.

عندما نرى كلمات مثل يزيد أو ينخفض، مع وحدات شيء ما على الثواني، نفكر حينئذ في معدلات التغير. المتغير 𝜃 يتغير بمعدل 0.6 راديان في الثانية. ومشتقة قياس الزاوية 𝜃 بالنسبة إلى الزمن 𝑡 هي 0.6.

آخر جملة في رأس المسألة تخبرنا بما نبحث عنه. ما نود معرفته هو سرعة تغير المساحة عندما تكون 𝜃 تساوي 𝜋 على ثلاثة. والتعبير عن كيفية تغير المساحة يكون بطبيعة الحال من خلال مشتقة كما فعلنا من قبل. نحن نبحث عن معدل تغير المساحة بالنسبة إلى الزمن، أي d𝐴 على d𝑡. وعلى وجه التحديد، فإننا نبحث عن معدل تغير المساحة اللحظي بالنسبة إلى الزمن عندما تكون الزاوية 𝜃 تساوي 𝜋 على ثلاثة.

والآن بعد أن قرأنا رأس المسألة بالكامل وترجمنا كل العبارات إلى رموز رياضية، دعونا نراجع ما لدينا. قيل لنا في السؤال إن معدل تغير قياس إحدى زوايا المثلث بالنسبة إلى الزمن، أي d𝜃 على d𝑡، يساوي 0.6. ومن المعلومات المتوفرة في رأس المسألة، استنتجنا أن مساحة المثلث 𝐴 تساوي 10 sin 𝜃. ومطلوب منا إيجاد معدل تغير مساحة المثلث بالنسبة إلى الزمن عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ثلاثة.

ما نبحث عنه هو d𝐴 على d𝑡، ولدينا قيمة d𝜃 على d𝑡. فإذا كانت هناك علاقة بين d𝐴 على d𝑡 وd𝜃 على d𝑡، نكون بذلك قد انتهينا من الحل. لكن ليست هناك، في الواقع، علاقة بين 𝐴 على d𝑡 وd𝜃 على d𝑡، وهو ما كان سيسمح لنا بإيجاد 𝐴 على d𝑡 بدلالة d𝜃 على d𝑡. إلا أن هناك علاقة بين 𝐴 و𝜃. فكيف يساعدنا ذلك في إيجاد علاقة بين d𝐴 على d𝑡 وd𝜃 على d𝑡؟ يمكننا اشتقاق هذه العلاقة ضمنيًا بالنسبة إلى 𝑡. فلنفعل ذلك.

في الطرف الأيسر، لدينا d𝐴 على d𝑡، وهو ما نبحث عنه. يبدو ذلك مبشرًا. وفي الطرف الأيمن، لدينا d على d𝑡 لشيء يشتمل على 𝜃. لذلك سنستخدم قاعدة السلسلة. يمكن الاستعاضة عن d على d𝑡 بـ d𝜃 على d𝑡 في d على d𝜃. فلنفعل ذلك.

يمكننا اشتقاق 10 sin 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 بسهولة. مشتقة sin هي cos، لذا يصبح ذلك 10 cos 𝜃. والآن ماذا عن d𝜃 على d𝑡؟ وفقًا لرأس المسألة، فإننا نعلم قيمة ذلك: d𝜃 على d𝑡 يساوي 0.6. وبضربهما معًا، نتوصل إلى أن d𝐴 على d𝑡 يساوي ستة cos 𝜃. ما نود معرفته هو قيمة d𝐴 على d𝑡 عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ثلاثة. لذا فعلينا التعويض عن 𝜃 بـ 𝜋 على ثلاثة. فلنفعل ذلك. وحيث إننا نعلم أن cos 𝜋 على ثلاثة يساوي 0.5، مع كون 𝜋 على ثلاثة زاوية خاصة، فإننا نستنتج أن d𝐴 على d𝑡 يساوي حاصل ضرب ستة في 0.5، وهو ما يساوي ثلاثة.

دعونا نفسر هذه النتيجة في ضوء ما لدينا. في مثلث له ضلعان يبلغ طولهما أربعة وخمسة، حيث تزيد الزاوية المحصورة بينهما 𝜃 بمعدل 0.6 راديان في الثانية، فإنه عند النقطة التي تساوي عندها 𝜃 𝜋 على ثلاثة، يكون معدل التغير اللحظي للمساحة بالنسبة إلى الزمن يساوي ثلاث وحدات مربعة في الثانية.

وهذه مسألة معدلات مرتبطة أوجدنا حلها باستخدام الأساليب المعيارية لحل هذا النوع من المسائل. نستخدم المشتقات للتعبير عن السيناريو الموصوف في المسألة رياضيًا. مثلًا، كان مطلوبًا منا إيجاد قيمة d𝐴 على d𝑡. ونعرف قيمة d𝜃 على d𝑡. ونود الربط بين المعدل d𝐴 على d𝑡 والمعدل d𝜃 على d𝑡، ما يجعلها مسألة معدلات مرتبطة. وقد فعلنا ذلك عن طريق إيجاد ارتباط بين 𝑎 و𝜃 أولًا، قبل الاشتقاق ضمنيًا لتحويلها إلى علاقة بين d𝐴 على d𝑡 وd𝜃 على d𝑡. وكل ما فعلناه بعد ذلك أننا عوضنا بقيمتي d𝜃 على d𝑡 و𝜃 للوصول إلى الإجابة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.