نسخة الفيديو النصية
أي من التمثيلات البيانية الآتية يمثل المعادلة ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع؟
لدينا هنا خمسة تمثيلات بيانية لنختار من بينها. وفي الواقع، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال باستخدام طريقتين. يمكننا استخدام جدول قيم. أو بدلًا من ذلك، يمكننا التفكير في المعادلة المعطاة والتحقق إذا ما كان بإمكاننا التوصل إلى الإجابة باستخدام مجموعة من التحويلات الهندسية. سنستخدم هنا الطريقة الثانية لبدء الحل، ثم سنتحقق مما توصلنا إليه باستخدام الطريقة الأولى. بعبارة أخرى، سنبدأ بتناول التمثيل البياني للمعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع.
يأخذ منحنى المعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع شكل قطع مكافئ. وهذا القطع المكافئ يكون مفتوحًا لأعلى بهذا الشكل، ويمر بالنقطة صفر، صفر. تذكر أن القطوع المكافئة بحكم تعريفها تكون متماثلة أيضًا. وفي الواقع، القطع المكافئ لأي دالة تربيعية يكون له خط تماثل يمر بنقطة تحوله. وبالنسبة إلى الدالة ﺹ يساوي ﺱ تربيع تحديدًا، فإن القطع المكافئ سيكون له خط تماثل رأسي على المحور ﺹ أو عند ﺱ يساوي صفرًا.
إذا نظرنا إلى التمثيلات البيانية من أ إلى هـ، فسنجد أن التمثيل البياني الذي يمثل ﺹ يساوي ﺱ تربيع هو التمثيل البياني ب. وذلك لأن المنحنى فيه يأخذ شكل قطع مكافئ مفتوح لأعلى، وله خط تماثل عند ﺱ يساوي صفرًا، ويمر بالنقطة صفر، صفر. ويمكننا التأكد من ذلك بتناول أي نقطة تقع على المنحنى، مثل النقطة اثنان، أربعة. هذه النقطة توضح لنا أنه عند ﺱ يساوي اثنين، فإن ﺹ لا بد أن يساوي أربعة. وإذا عوضنا عن ﺱ باثنين في المعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع، فسنجد أن ﺹ يساوي اثنين تربيع، وهو ما يساوي أربعة، كما هو مطلوب. يمكننا تكرار ذلك باختيار نقطتين أخريين إذا أردنا، مثل النقطة واحد، واحد أو النقطة سالب اثنين، أربعة. لكن، دعونا نتابع لنحدد التحويل الهندسي الذي يحول المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع إلى المنحنى ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع.
إذا استرجعنا أن الصورة العامة للمنحنى هي ﺹ يساوي ﺩﺱ، فسنجد أنه يمكننا تحويله إلى المنحنى ﺹ يساوي سالب ﺩﺱ عن طريق انعكاس واحد حول المحور ﺱ أو الخط المستقيم ﺹ يساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا تحويل ﺹ يساوي ﺱ تربيع إلى ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع عن طريق انعكاس واحد حول هذا الخط المستقيم. بالعودة إلى التمثيل البياني ب للمعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع، فسنجد عندما نعكس هذا المنحنى حول المحور ﺱ أنه يبدو بهذا الشكل. وعندما نقارن هذا الشكل بالتمثيلات البيانية الأربعة المتبقية، فسنلاحظ أنه يتوافق مع التمثيل البياني أ. إذن، التمثيل البياني أ يمثل المعادلة ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع.
في الواقع، كان بإمكاننا استبعاد التمثيلات البيانية ج، د، هـ مباشرة. وذلك لأن الشكل الموضح في كل منها ليس قطعًا مكافئًا. إنها في الواقع تتضمن خط تقارب يمثله المحور ﺹ أو الخط المستقيم ﺱ يساوي صفرًا. وهذا يعني أنها على الأرجح تمثيلات بيانية لبعض أنواع دوال المقلوب، مثل ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ تربيع أو ما شابه ذلك.
بوضع ذلك في الاعتبار، دعونا نتحقق الآن من الإجابة التي توصلنا إليها، وذلك باستخدام جدول القيم كما ذكرنا في البداية. هذه طريقة بسيطة للغاية لرسم منحنى الدالة التربيعية. سنختار بعض القيم للتعويض بها في المعادلة أو الدالة. على سبيل المثال، سنفترض أن قيم ﺱ هي سالب اثنين وسالب واحد وصفر وواحد واثنان. بعد ذلك، سنعوض عن ﺱ بسالب اثنين في المعادلة ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع. وهذا بالطبع يكافئ ضرب المقدار ﺱ تربيع في سالب واحد. لكن، وفقًا لترتيب العمليات الحسابية التي ننفذها، سنقوم بتربيع قيمة ﺱ قبل ضربها في سالب واحد. في هذه الحالة، سنقوم بتربيع سالب اثنين. وهذا يعطينا أربعة. بعد ذلك، نضرب أربعة في سالب واحد، ما يعطينا سالب أربعة. هكذا نجد أنه عند ﺱ يساوي سالب اثنين، فإن ﺹ يساوي سالب أربعة.
سنفعل الآن الشيء نفسه مع القيمة ﺱ يساوي سالب واحد. بالتعويض، يصبح لدينا ﺹ يساوي سالب سالب واحد تربيع. وبتربيع سالب واحد للحصول على واحد ثم ضربه في سالب واحد مجددًا، يصبح لدينا الناتج سالب واحد. بعد ذلك، نكرر هذه العملية مع القيم المتبقية. عند ﺱ يساوي صفرًا، ﺹ يساوي صفرًا. وعند ﺱ يساوي واحدًا، ﺹ يساوي سالب واحد. وأخيرًا، عند ﺱ يساوي اثنين، ﺹ يساوي سالب أربعة. وإذا رسمنا هذه النقاط على التمثيل البياني أ، فسنلاحظ أن المنحنى يمر بكل هذه النقاط الخمس بالفعل. وهذا يؤكد لنا أن التمثيل البياني الذي يمثل المعادلة ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع هو التمثيل البياني أ.
