نسخة الفيديو النصية
ما المعادلة التربيعية التي جذراها ﺱ يساوي اثنين زائد أو ناقص ﺕ؟ (أ) ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا، (ب) ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا، (ج) ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا، (د) ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا، (هـ) ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا.
في هذا السؤال، لدينا جذرا معادلة تربيعية ومطلوب منا إيجاد المعادلة نفسها. يمكننا أن نستعرض كل معادلة من المعادلات التربيعية المقترحة تباعًا، ونحلها باستخدام القانون العام. ويمكننا بعد ذلك تحديد المعادلة التربيعية التي يمكن تبسيط جذريها إلى اثنين زائد ﺕ واثنين ناقص ﺕ. لكن هناك خمسة خيارات، وسيستغرق تحديد المعادلة التربيعية وقتًا طويلًا، وتوجد بالفعل طريقة أكثر فعالية يمكن استخدامها.
إذا كان لدينا جذرا معادلة تربيعية، يمكننا في الواقع العمل بطريقة عكسية لإيجاد المعادلة نفسها. سنسترجع الآن نظرية عامة. إذا كانت المعادلة التربيعية ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا لها الجذران ﺱ واحد وﺱ اثنان، وﺃ يجب ألا يساوي صفرًا هنا، فإن الجذرين يحققان الخاصيتين الآتيتين. أولًا، ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين يساوي سالب ﺏ على ﺃ. وثانيًا، ﺱ واحد مضروبًا في ﺱ اثنين يساوي ﺟ على ﺃ. بعبارة أخرى، مجموع الجذرين يساوي سالب معامل ﺱ مقسومًا على معامل ﺱ تربيع. وحاصل ضرب الجذرين يساوي الحد الثابت مقسومًا على معامل ﺱ تربيع.
في الواقع، إذا كانت قيمة ﺃ تساوي واحدًا، حيث تكون المعادلة التربيعية على الصورة ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، ومن ثم يمكن تبسيط هاتين المعادلتين إلى ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين يساوي سالب ﺏ، وﺱ واحد مضروبًا في ﺱ اثنين يساوي ﺟ. يمكننا إثبات ذلك من خلال المعادلة التربيعية ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ زائد ١٢ يساوي صفرًا. لحل هذه المعادلة، سنحللها، وسنبحث عن عددين مجموعهما يساوي معامل ﺱ، أي موجب سبعة، وحاصل ضربهما يساوي الحد الثابت. العددان اللذان مجموعهما سبعة وحاصل ضربهما ١٢ هما ثلاثة وأربعة. إذن، بتحليل هذه المعادلة التربيعية نحصل على ﺱ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا.
جذرا هذه المعادلة التربيعية هما القيمتان اللتان تجعلان ما بداخل كل قوسين يساوي صفرًا. إذن، القيمتان هما سالب ثلاثة وسالب أربعة، وكل منهما هو سالب القيمة الموجودة داخل قوسين لدينا. مجموع هذين الجذرين لا يمثل قيمة ﺏ، بل سالب قيمة ﺏ. وذلك لأن المجموع يساوي سالب سبعة وليس موجب سبعة. وعلى الرغم من ذلك، فإن حاصل ضرب القيمتين يساوي الحد الثابت؛ لأننا غيرنا إشارة كل قيمة من القيمتين داخل كل قوسين لدينا. ومن ثم، فإن حاصل ضربهما سيظل له المقدار نفسه والإشارة نفسها.
حسنًا، هذا الأمر يوضح النتيجة العامة، لكنه لا يبرهنها. كما أنه يعطينا دليلًا لكيفية العمل بطريقة عكسية بدءًا من معرفة جذري المعادلة التربيعية إلى إيجاد المعادلة نفسها. عند استنتاج معادلة تربيعية من جذريها، يكون من الأسهل البدء بصيغة أبسط؛ يكون فيها معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا. وإذا كان أي من المعاملين ﺏ أو ﺟ كسرًا، يمكننا ضرب المعادلة بالكامل في المضاعف المشترك الأصغر لمقامي هذين المعاملين لتحويل المعادلة التربيعية إلى معادلة ذات معاملات صحيحة.
سنبدأ إذن بالمعادلة التربيعية ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، ونحن نعلم أن مجموع الجذرين سيعطينا القيمة سالب ﺏ، وأن حاصل ضرب الجذرين سيعطينا القيمة ﺟ. دعونا نفترض أن ﺱ واحدًا هو الجذر اثنان زائد ﺕ، وﺱ اثنين هو الجذر اثنان ناقص ﺕ. هذان الجذران مركبان، لكن النتيجة التي ذكرناها سابقًا لا تشير إلى أن الجذرين يجب أن يكونا حقيقيين. وهما ليسا كذلك. وبغض النظر عن كون الجذرين حقيقيين أم مركبين أم تخيليين بحتين، فإن النتيجة ستتحقق.
بإيجاد مجموع هاتين القيمتين، نحصل على اثنين زائد ﺕ زائد اثنين ناقص ﺕ. نحذف الجزأين التخيليين. ويمكن تبسيط ما تبقى إلى أربعة. تذكر أن مجموع الجذرين يعطينا القيمة سالب ﺏ. إذن، نحصل على المعادلة سالب ﺏ يساوي أربعة. يمكننا إيجاد قيمة ﺏ من خلال ضرب طرفي هذه المعادلة في سالب واحد أو قسمتهما على سالب واحد. ومن ثم، نجد أن ﺏ يساوي سالب أربعة.
لإيجاد قيمة ﺟ، علينا إيجاد حاصل ضرب هذين الجذرين. باستخدام طريقة ضرب حدي القوسين الأولين في حدي القوسين الثانيين لفك هذه الأقواس، نحصل على أربعة ناقص اثنين ﺕ زائد اثنين ﺕ ناقص ﺕ تربيع. يحذف الحدان التخيليان الموجودان في المنتصف معًا. ونحن نعلم أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن، يصبح لدينا أربعة ناقص سالب واحد، أي أربعة زائد واحد، وهو ما يساوي خمسة. إذن، حاصل ضرب الجذرين، ومن ثم قيمة ﺟ، يساوي خمسة.
ما علينا فعله الآن هو التعويض بقيمتي ﺏ وﺟ في المعادلة التربيعية. ونحصل بذلك على ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا. وهذا هو الخيار أ من الخيارات الخمسة المعطاة. يمكننا التحقق من صحة الإجابة بتطبيق القانون العام على هذه المعادلة فقط. قيمة ﺃ تساوي واحدًا، وقيمة ﺏ تساوي سالب أربعة، وقيمة ﺟ تساوي خمسة. إذن، بالتعويض بهذه القيم في القانون العام، نحصل على ﺱ يساوي أربعة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسالب أربعة تربيع ناقص أربعة مضروبًا في واحد مضروبًا في خمسة الكل مقسوم على اثنين مضروب في واحد.
القيمة داخل الجذر التربيعي تساوي ١٦ ناقص ٢٠، وهو ما يساوي سالب أربعة. إذن، يمكن تبسيط هذين الجذرين إلى أربعة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسالب أربعة الكل مقسوم على اثنين. الجذر التربيعي لسالب أربعة هو الجذر التربيعي لأربعة مضروبًا في الجذر التربيعي لسالب واحد، وهو ما يساوي اثنين ﺕ. إذن، يصبح لدينا أربعة زائد أو ناقص اثنين ﺕ الكل مقسوم على اثنين. وبقسمة البسط والمقام على اثنين بعد ذلك، يمكن تبسيط الجذرين إلى اثنين زائد أو ناقص ﺕ، وهما الجذران الصحيحان للمعادلة التي نبحث عنها.
وبذلك، نكون قد وجدنا أن المعادلة التربيعية التي جذراها ﺱ يساوي اثنين زائد أو ناقص ﺕ هي المعادلة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا.
