نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺹ يساوي ثلاثة في جتا ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.
معطى لنا دالة ما ﺹ، وهي دالة مثلثية. ومطلوب منا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لكن، يمكننا أن نلاحظ وجود مشكلة. المقدار داخل دالتنا المثلثية ليس من مضاعفات ﺱ فقط؛ إنه ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة. ونحن لا نعرف كيفية اشتقاق الدوال المثلثية على هذه الصورة. لكن، توجد عدة طرق مختلفة لحل هذه المسألة. إذ يمكننا، على سبيل المثال، إعادة كتابة ذلك على صورة يمكننا اشتقاقها. ولإجراء ذلك، يمكننا تذكر صيغة جمع أو طرح زاويتين لجيب التمام.
إننا نعرف أن جتا ﺃ زائد أو ناقص ﺏ يساوي جتا ﺃ في جتا ﺏ ناقص أو زائد جا ﺃ في جا ﺏ. في هذه الحالة، نريد حساب الفرق بين زاويتين. لذلك، سنكتب ذلك بالطريقة التالية. بعد ذلك، نجعل ﺃ يساوي ثمانية ﺱ وﺏ يساوي ثلاثة، وبهذا يصبح لدينا جتا ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة يساوي جتا ثمانية ﺱ في جتا ثلاثة زائد جا ثمانية ﺱ مضروبًا في جا ثلاثة. يمكننا بعد ذلك ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ثلاثة. وبالطبع، الطرف الأيمن في هذه المعادلة يساوي ﺹ. ونحن نعرف بالفعل كيف نشتق الطرف الأيسر في هذه المعادلة.
باشتقاق كلا طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي مشتقة ثلاثة جتا ثمانية ﺱ في جتا ثلاثة زائد ثلاثة في جا ثمانية ﺱ في جا ثلاثة بالنسبة إلى ﺱ. ولاشتقاق ذلك، علينا فقط أن نلاحظ أن جتا ثلاثة وجا ثلاثة ثابتان. ومن ثم، فإن الجزأين الوحيدين اللذين يتغيران عند اشتقاقهما بالنسبة إلى ﺱ هما: جتا ثمانية ﺱ، وجا ثمانية ﺱ. إذن، سنوجد هذه المشتقة حدًا بحد.
لاشتقاق الحد الأول، نتذكر أنه لأي ثابت حقيقي ﻙ، تكون مشتقة جتا ﻙﺱ بالنسبة إلى ﺱ مساوية لسالب ﻙ في جا ﻙﺱ. في الحد الأول، قيمة ﻙ تساوي ثمانية. إذن، بتطبيق هذه القاعدة، يمكننا اشتقاق الحد الأول بالنسبة إلى ﺱ لنحصل على ثلاثة في سالب ثمانية جا ثمانية ﺱ في جتا ثلاثة. ويمكننا تبسيط المعامل لأن ثلاثة في سالب ثمانية يساوي سالب ٢٤.
ولاشتقاق الحد الثاني، علينا تذكر نتيجة أخرى من نتائج المشتقات المثلثية. وهي أنه لأي ثابت حقيقي ﻙ، تكون مشتقة جا ﻙﺱ بالنسبة إلى ﺱ مساوية لـ ﻙ في جتا ﻙﺱ. وفي الحد الثاني، يمكننا أن نرى أن قيمة ﻙ تساوي ثمانية. إذن، بتطبيق هذه القاعدة مع التعويض عن قيمة ﻙ بثمانية، يمكننا اشتقاق الحد الثاني لنحصل على ثلاثة في ثمانية جتا ثمانية ﺱ مضروبًا في جا ثلاثة. ومرة أخرى، يمكننا تبسيط المعامل لأن ثلاثة في ثمانية يساوي ٢٤. وهذا يعطينا تعبيرًا لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ تمامًا كما هو مطلوب في السؤال.
لكن هذا التعبير معقد جدًا. ويمكننا تبسيطه باستخدام قاعدة أخرى من قواعد الزوايا. علينا أن نتذكر أن جا ﺃ ناقص ﺏ يساوي جا ﺃ في جتا ﺏ ناقص جتا ﺃ في جا ﺏ. وقد يكون من الصعب أن نلاحظ كيف سنستخدم هذا لنبسط التعبير لدينا. لذا، سنعيد صياغة التعبير قليلًا لنجعل الأمور أسهل. سنأخذ سالب ٢٤ عاملًا مشتركًا. ومن ثم، سنحصل على التعبير التالي. ويمكننا أن نرى أن هذا هو بالضبط التعبير لدينا؛ حيث قيمة ﺃ تساوي ثمانية ﺱ، وقيمة ﺏ تساوي ثلاثة.
وعليه يمكننا استبدال كل ما بداخل القوس ليصبح جا ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة. ونستنتج من ذلك أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ٢٤ في جا ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة. لكن، هذه طريقة واحدة فحسب للإجابة عن هذا السؤال. سنستعرض طريقة أخرى نستخدم فيها التمثيل البياني. لنفعل ذلك، هيا نلق نظرة على الدالة ﺹ تساوي ثلاثة في جتا ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة. لا نعرف كيف نشتق ذلك مباشرة. لكننا نعرف بالفعل كيف نشتق دوال مشابهة. نحن نعرف، على سبيل المثال، كيف نشتق ثلاثة في جتا ثمانية ﺱ.
قد نميل الآن إلى إعادة كتابة الدالة لدينا على الصورة الآتية: ثلاثة في جتا ثمانية في ﺱ ناقص ثلاثة على ثمانية. وإذا فعلنا ذلك، فسنلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام. هذا يمثل تحويلًا أفقيًا للمنحنى ثلاثة في جتا ثمانية ﺱ. إذ إننا فقط ننقله أفقيًا إلى اليمين بمقدار ثلاثة على ثمانية من الوحدات. ولمعرفة وجه الاستفادة من ذلك، انظر إلى الرسم التالي لـ ﺹ يساوي ثلاثة في جتا ثمانية ﺱ. هذا منحنى نعرف كيف نشتقه. وتذكر أنه لأي نقطة، تكون مشتقة المنحنى عند هذه النقطة هي ميل خط المماس عند هذه النقطة.
لكن، ماذا سيحدث إذا أردنا أن ينتقل هذا المنحنى بالكامل بمقدار ثلاثة على ثمانية من الوحدات إلى اليمين؟ إذا انتقلت كل نقطة على المنحنى إلى اليمين بمقدار ثلاثة على ثمانية من الوحدات، فسيظل ميل خطوط المماس هو نفسه؛ أي ثلاثة على ثمانية من الوحدات إلى اليمين. لذا بدلًا من إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ مباشرة، يمكننا فقط اشتقاق ﺹ يساوي ثلاثة في جتا ثمانية ﺱ، ثم نطبق الانتقال على الإجابة بعد ذلك.
إذن، نريد اشتقاق ثلاثة في جتا ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. في الحقيقة، لقد فعلنا ذلك وكتبنا القاعدة التي استخدمناها. إذ جعلنا قيمة ﻙ تساوي ثمانية. إذن باشتقاق ذلك، نحصل على ثلاثة في سالب ثمانية جا ثمانية ﺱ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب ٢٤ في جا ثمانية ﺱ. ولكن تذكر، هذا يعطينا ميل الخطوط المماسية للمنحنى ﺹ يساوي ثلاثة جتا ثمانية ﺱ. إذن، علينا أن ننقل ذلك بمقدار ثلاثة على ثمانية من الوحدات إلى اليمين. ولفعل ذلك، علينا طرح سالب ثلاثة على ثمانية من قيمة ﺱ. إذن، بنقل التمثيل البياني لدالة الميل بمقدار ثلاثة على ثمانية من الوحدات إلى اليمين، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ٢٤ في جا ثمانية مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة على ثمانية.
وبالطبع يمكننا تبسيط ذلك لأن ثمانية في ﺱ ناقص ثلاثة على ثمانية يساوي ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة. وهكذا نكون قد استعرضنا طريقتين مختلفتين توضحان أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ٢٤ في جا ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة. وكلتا الطريقتين صعبة ومعقدة قليلًا في استخدامها. في الواقع، توجد طريقة أخرى خارج موضوع هذا الفيديو، ستجعل حل هذه الأنواع من المسائل أسهل. إنها تسمى قاعدة السلسلة.
وتنص على أنه إذا كان ﺩ وﺭ دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن مشتقة الدالة ﺩ تركيب ﺭﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺭ شرطة ﺱ في ﺩ شرطة عند ﺭﺱ. وفي الواقع، يمكننا استخدام قاعدة السلسلة أو أي من الطريقتين اللتين سبق وأن تناولناهما للتو لإثبات نتيجتين مفيدتين جدًا لاشتقاق الدوال المثلثية. لكننا حاليًا تمكنا من توضيح أنه إذا كان ﺹ يساوي ثلاثة جتا ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ٢٤ جا ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة.
