نسخة الفيديو النصية
هل النسبة بين السرعات المناظرة للخطوط الموضحة على التمثيل البياني الآتي للمسافة مقابل الزمن ثابتة لأي خطين متجاورين؟
يدور هذا السؤال حول الخطوط الموضحة على تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن. وهو تمثيل بياني يوضح المسافة على المحور الرأسي أو المحور 𝑦 مقابل الزمن على المحور الأفقي أو المحور 𝑥. مطلوب منا المقارنة بين السرعات التي تعبر عنها هذه الخطوط الأربعة الموضحة على هذا التمثيل البياني، وتحديد إذا ما كانت النسبة بين هذه السرعات ثابتة لأي خطين متجاورين. يمكننا تذكر أن سرعة الجسم تعرف بأنها معدل تغير المسافة التي يقطعها هذا الجسم بالنسبة إلى الزمن. ويعني تعريف السرعة هذا أنه إذا كان هناك جسم يقطع مسافة 𝛥𝑑 في زمن مقداره 𝛥𝑡، فإن سرعة هذا الجسم، التي سنسميها 𝑉، تساوي 𝛥𝑑 مقسومًا على 𝛥𝑡.
يمكننا أيضًا كتابة هذا الكسر بطريقة أخرى. إذا كانت المسافة التي يقطعها جسم في الفترة بين 𝑡 واحد و𝑡 اثنين تتغير من القيمة 𝑑 واحد إلى القيمة 𝑑 اثنين، فإن 𝛥𝑑 يساوي 𝑑 اثنين ناقص 𝑑 واحد، و𝛥𝑡 يساوي 𝑡 اثنين ناقص 𝑡 واحد. هذا يعني أن السرعة 𝑉 تساوي 𝑑 اثنين ناقص 𝑑 واحد مقسومًا على 𝑡 اثنين ناقص 𝑡 واحد.
بما أن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يوضح المسافة على المحور الرأسي مقابل الزمن على المحور الأفقي، فإذا كانت 𝑡 واحد، 𝑑 واحد و𝑡 اثنان، 𝑑 اثنان إحداثيات نقطتين مختلفتين على خط موضح على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، فهذا يعني أن هذه المعادلة تساوي التغير في الإحداثي الرأسي، أي المسافة، بين هاتين النقطتين مقسومًا على التغير في الإحداثي الأفقي، أي الزمن، بين نفس هاتين النقطتين. بعبارة أخرى، إذا كان لدينا خط مستقيم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، فإن هذه المعادلة ستعطينا ميل هذا الخط. ويمكننا القول إنه إذا كان لدينا جسم تمثل حركته بخط مستقيم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، فإن سرعة هذا الجسم تساوي ميل هذا الخط.
في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن يتضمن أربعة خطوط مستقيمة. يوجد خط برتقالي وخط أخضر وخط أزرق وخط أحمر. ولقد أشرنا إلى السرعات التي تمثلها هذه الخطوط بـ 𝑉𝑜 و𝑉𝑔 و𝑉𝑏 و𝑉𝑟 على الترتيب. يمكننا استخدام هذه المعادلة لحساب ميل كل خط من هذه الخطوط الأربعة، وبذلك نحصل على السرعة التي يمثلها كل خط من هذه الخطوط. دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة ونبدأ فعل ذلك.
لإيجاد السرعة التي يمثلها كل خط من هذه الخطوط المستقيمة، سنختار نقطتين على الخط، وسنشير إليهما بالإحداثيات 𝑡 واحد، 𝑑 واحد، و𝑡 اثنين، 𝑑 اثنين، ثم نستخدم هذه المعادلة الموضحة لحساب الميل بين هاتين النقطتين. دعونا نبدأ بالخط البرتقالي في التمثيل البياني، أي أننا سنحسب السرعة 𝑉𝑜. سنختار النقطة الأولى على هذا الخط المستقيم ونفترض أنها نقطة الأصل للتمثيل البياني. هذا يعني أن قيمة الزمن تساوي صفر ثانية، وقيمة المسافة تساوي صفر متر. وبالنسبة إلى النقطة الثانية على الخط البرتقالي، فسنختار هذه النقطة هنا.
بالتحرك رأسيًّا لأسفل من هذه النقطة وصولًا إلى محور الزمن، نجد أن قيمة الزمن عند هذه النقطة تقع في المنتصف بين علامة صفر ثانية وعلامة اثنين ثانية على المحور. القيمة التي تقع في المنتصف بين صفر واثنين هي واحد. بمعنى آخر، قيمة الزمن عند هذه النقطة 𝑡 اثنين لا بد أن تساوي ثانية واحدة. بعد ذلك نتحرك أفقيًّا من النقطة الثانية وصولًا إلى محور المسافة، ونجد أن قيمة المسافة عند هذه النقطة تساوي ثمانية أمتار. وهذه هي قيمة الكمية 𝑑 اثنين.
يمكننا الآن التعويض بهذه القيم الأربع في هذه المعادلة لحساب السرعة الممثلة بالخط البرتقالي، أي 𝑉𝑜. وبفعل ذلك، نحصل على هذا التعبير الموضح هنا. لدينا في البسط ثمانية أمتار، وهي قيمة 𝑑 اثنين، ناقص صفر متر، وهي قيمة 𝑑 واحد. ولدينا في المقام ثانية واحدة، وهي قيمة الزمن 𝑡 اثنين، ناقص صفر ثانية، وهي قيمة الزمن 𝑡 واحد. ثمانية أمتار ناقص صفر متر يساوي ثمانية أمتار. وبالمثل، ثانية واحدة ناقص صفر ثانية يساوي ثانية واحدة. هذا يعني أن 𝑉𝑜 تساوي ثمانية أمتار مقسومة على ثانية واحدة. وبحساب ذلك نجد أن هذه السرعة تساوي ثمانية أمتار لكل ثانية.
لقد أوجدنا السرعة الممثلة بالخط البرتقالي، والآن، سنفعل الشيء نفسه مع الخط الأخضر. سنختار مرة أخرى نقطة الأصل على التمثيل البياني لتكون النقطة الأولى، وهكذا يكون 𝑡 واحد يساوي صفر ثانية و𝑑 واحد تساوي صفر متر. وبالنسبة إلى النقطة الثانية على هذا الخط الأخضر، فسنختار هذه النقطة هنا. بالتحرك للأسفل نحو محور الزمن من هذه النقطة، نجد أن قيمة الزمن عندها تساوي ثانيتين، وهذه هي قيمة الكمية 𝑡 اثنين. وبالتحرك أفقيًّا بعد ذلك وصولًا إلى محور المسافة، نجد أن الجسم قد تحرك مسافة مقدارها ثمانية أمتار عند هذه النقطة، وهذه هي قيمة الكمية 𝑑 اثنين.
يمكننا ملاحظة أن قيم 𝑡 واحد و𝑑 واحد و𝑑 اثنين للخط الأخضر هي نفسها القيم التي أوجدناها للخط البرتقالي. الفرق الوحيد هو أن قيمة 𝑡 اثنين أصبحت الآن ثانيتين بدلًا من ثانية واحدة التي حصلنا عليها للخط البرتقالي. بعبارة أخرى، استغرق الجسم الممثل بالخط الأخضر لقطع مسافة ثمانية أمتار ضعف الزمن الذي استغرقه الجسم الممثل بالخط البرتقالي لقطع نفس المسافة. وإذا عوضنا بهذه القيم الأربع في هذه المعادلة، فسنحصل على هذا التعبير للسرعة 𝑉𝑔. لدينا في البسط ثمانية أمتار ناقص صفر متر، وهذا يساوي ثمانية أمتار. ولدينا في المقام ثانيتان ناقص صفر ثانية، وهذا يساوي ثانيتين. 𝑉𝑔 تساوي ثمانية أمتار مقسومة على ثانيتين. وبحساب ذلك نجد أن هذه السرعة تساوي أربعة أمتار لكل ثانية.
سنكرر الخطوات نفسها مع 𝑉𝑏، وهي السرعة الممثلة بالخط الأزرق. مرة أخرى، سنختار نقطة الأصل لتكون النقطة الأولى. وبذلك، يكون 𝑡 واحد يساوي صفر ثانية و𝑑 واحد تساوي صفر متر. بالنسبة للنقطة الثانية على هذا الخط، سنختار هذه النقطة هنا ونلاحظ أنه كما هو الحال مع الخط البرتقالي والخط الأخضر، فإن قيمة المسافة عند هذه النقطة الثانية تساوي ثمانية أمتار. هذا يعني أنه لدينا أيضًا نفس القيم الثلاث للكميات 𝑡 واحد و𝑑 واحد و𝑑 اثنين. أما بالنسبة إلى قيمة الزمن عند 𝑡 اثنين، فإذا تحركنا لأسفل من هذه النقطة على التمثيل البياني إلى محور الزمن، فسنجد أنها تساوي أربع ثوان.
دعونا الآن نعوض بهذه القيم الأربع في هذه المعادلة لحساب السرعة 𝑉𝑏. وبفعل ذلك، نحصل على هذا التعبير، وعند حساب ذلك، نجد أن هذه السرعة تساوي مترين لكل ثانية. آخر سرعة علينا حساب قيمتها هي 𝑉𝑟، وهي السرعة الممثلة بالخط الأحمر في التمثيل البياني. سنختار نقطة الأصل مجددًا لتكون هي النقطة الأولى على هذا الخط الأحمر، وبهذا يكون لدينا قيمتا 𝑡 واحد و𝑑 واحد، وهما صفر ثانية وصفر متر على الترتيب. بالنسبة إلى النقطة الثانية، أي هذه النقطة هنا، يمكننا ملاحظة أن قيمة الزمن عندها تساوي ثماني ثوان، وقيمة المسافة تساوي ثمانية أمتار. وبالتعويض بهذه القيم كلها في المعادلة، نحصل على هذا التعبير للسرعة 𝑉𝑟، وبحساب ذلك، نجد أن هذه السرعة تساوي واحد متر لكل ثانية.
حسنًا، لقد أوجدنا السرعات الأربع التي تعبر عنها الخطوط الأربعة المختلفة الموضحة على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. ويطلب منا السؤال تحديد إذا ما كانت النسبة بين هذه السرعات ثابتة لأي خطين متجاورين على التمثيل البياني. يمكننا ملاحظة أن هذه الخطوط مرتبة بدءًا بالخط البرتقالي، ثم الأخضر، ثم الأزرق، ثم الأحمر. ولعلنا نتذكر أن النسبة بين أي سرعتين 𝑉 واحد و𝑉 اثنين تساوي السرعة 𝑉 واحدًا مقسومة على السرعة 𝑉 اثنين. مطلوب منا تحديد إذا ما كانت نسبة 𝑉𝑜 إلى 𝑉𝑔 تساوي نسبة 𝑉𝑔 إلى 𝑉𝑏 وتساوي أيضًا نسبة 𝑉𝑏 إلى 𝑉𝑟. ويمكننا حساب كل من هذه النسب الثلاث باستخدام قيم السرعات الأربع.
سنبدأ بحساب نسبة 𝑉𝑜 إلى 𝑉𝑔، ونعوض عن 𝑉𝑜 بثمانية أمتار لكل ثانية، وعن 𝑉𝑔 بأربعة أمتار لكل ثانية ليصبح لدينا هذا التعبير. تحذف وحدتا المتر لكل ثانية من البسط والمقام معًا، لتتبقى لدينا كمية لا بعد لها. وبحساب ثمانية على أربعة، نحصل على قيمة هذه النسبة، وهي اثنان. إذا تناولنا النسبة الثانية هذه وعوضنا بقيمتي السرعتين 𝑉𝑔 و𝑉𝑏، فستحذف الوحدتان معًا مرة أخرى، ليتبقى لدينا أربعة مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي اثنين.
ننتقل الآن إلى النسبة الأخيرة لدينا، وهي 𝑉𝑏 إلى 𝑉𝑟، ونعوض بقيمتي هاتين السرعتين لنحصل على مترين لكل ثانية مقسومين على واحد متر لكل ثانية. بحذف الوحدتين من البسط والمقام معًا وقسمة اثنين على واحد، نجد أن هذه النسبة تساوي اثنين أيضًا. وبما أن النسبة التي توصلنا إليها لكل من هذه الحالات الثلاث ثابتة وتساوي اثنين، يمكننا القول إن هذه العبارة حول السرعات التي تعبر عنها الخطوط الموضحة على التمثيل البياني صحيحة بالفعل.
إذن، إجابة هذا السؤال هي نعم، النسبة بين السرعات المناظرة للخطوط الموضحة على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن ثابتة لأي خطين متجاورين.
