نسخة الفيديو النصية
لدينا المعادلة المصفوفية الآتية: المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها: سالب سبعة، سالب خمسة، سالب سبعة، ثمانية، ١٠، سبعة، تسعة، سبعة، سبعة مضروبة في مصفوفة العمود التي عناصرها ﺱ، ﺹ، ﻉ يساوي مصفوفة العمود التي عناصرها: واحد، اثنان، ﻙ. أوجد قيمة ﻙ التي ينتج عنها ﺱ يساوي واحدًا على اثنين.
تمثل المعادلة المصفوفية المعطاة نظامًا من المعادلات الخطية الذي عادة ما نود إيجاد قيم المجاهيل ﺱ وﺹ وﻉ الموجودة فيه. لكننا في هذه المسألة لدينا قيمة ﺱ، وهي ﺱ يساوي نصفًا، ومطلوب منا إيجاد قيمة ﻙ. في كلتا الحالتين، لا يزال لدينا ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل. وللوصول إلى الحل، يمكننا استخدام طريقة معكوس المصفوفة.
نبدأ بتسمية المصفوفات ﺃ، وﺱ، وﺝ، وسنلاحظ كيف تعمل هذه الطريقة. لدينا المعادلة ﺃ مضروبًا في ﺱ يساوي ﺝ. إذا افترضنا أن المصفوفة ﺃ قابلة للعكس، أي أن معكوسها موجود، وضربنا الطرفين من اليمين في معكوس ﺃ، فسوف نحصل على معكوس ﺃ في ﺃ مضروبًا في ﺱ يساوي معكوس ﺃ مضروبًا في ﺝ. ونحن نعلم أن معكوس ﺃ مضروبًا في ﺃ هو مصفوفة الوحدة. إذن، لدينا في الطرف الأيمن مصفوفة الوحدة مضروبة في ﺱ، وهذا ليس إلا ﺱ. وهذا يجعل ﺱ بمفرده في الطرف الأيمن. وبمجرد أن نجد معكوس ﺃ، إذا أوجدنا حاصل ضرب الطرف الأيسر، فسوف نصل إلى الحل. إذن، علينا إيجاد قيمة معكوس ﺃ.
أولًا، بعد أن نفرغ بعض المساحة، نعلم أنه لأي مصفوفة ﺃ قابلة للعكس رتبتها ﻥ في ﻥ، فإن معكوس ﺃ يساوي واحدًا على محدد ﺃ مضروبًا في المصفوفة الملحقة لـ ﺃ. ونتذكر أن المصفوفة الملحقة لـ ﺃ هي مدور مصفوفة العوامل المرافقة لـ ﺃ، وسنعود إليها لاحقًا. دعونا نوجد أولًا قيمة محدد ﺃ. نتذكر أننا إذا فككنا باستخدام الصف ﺹ من المصفوفة، يمكننا إيجاد المحدد باستخدام الصيغة: مجموع عناصر ﺃﺹﻉ، من ﻉ يساوي واحد إلى ﻥ، مضروبًا في سالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ ﺹﻉ.
ونتذكر أن المصفوفة الصغرى هي المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين الناتجة عن حذف الصف ﺹ والعمود ﻉ من المصفوفة ﺃ. وفي هذه المسألة، إذا فككنا باستخدام الصف الأول، فسنجد أن محدد ﺃ يساوي العنصر ﺃ واحد واحد مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى التي رتبتها اثنان في اثنين ﺃ واحد واحد، ناقص العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني مضروبًا في محدد مصفوفته الصغرى، زائد العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث مضروبًا في محدد مصفوفته الصغرى. ونلاحظ أن الإشارة التي لدينا يحددها سالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ. فإذا كان ﺹ زائد ﻉ عددًا زوجيًّا، كانت الإشارة موجبة. وإذا كان ﺹ زائد ﻉ عددًا فرديًّا، كانت الإشارة سالبة.
العنصر ﺃ واحد واحد يساوي سالب سبعة. ونحصل على المصفوفة الصغرى الأولى بحذف الصف واحد والعمود واحد من المصفوفة التي لدينا. وبطريقة مشابهة، نحصل على الحدين التاليين عن طريق حذف الصف واحد والعمود اثنين والصف واحد والعمود ثلاثة. والآن نتذكر أنه لأي مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، وعناصرها: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، فإن المحدد يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. إذن الحد الأول لدينا هو سالب سبعة مضروبًا في ١٠ مضروبًا في سبعة ناقص سبعة مضروبًا في سبعة. وهذا يساوي سالب سبعة مضروبًا في ٢١، وهو ما يساوي سالب ١٤٧.
وفي الحد الثاني، لدينا زائد خمسة مضروبًا في ثمانية مضروبًا في سبعة ناقص تسعة مضروبًا في سبعة، وهو ما يساوي سالب سبعة. وهذا يساوي سالب ٣٥. وفي الحد الثالث، يكون المحدد مساويًا لثمانية مضروبًا في سبعة ناقص ١٠ مضروبًا في تسعة، وهو ما يساوي سالب ٣٤، ومضروبًا في سالب سبعة، وهو ما يساوي ٢٣٨. إذن، محدد المصفوفة ﺃ هو سالب ١٤٧ ناقص ٣٥ زائد ٢٣٨، وهو ما يساوي ٥٦.
الآن، وبعد أن حصلنا على محدد ﺃ، هيا نفرغ بعض المساحة ونوجد المصفوفة الملحقة لـ ﺃ. نتذكر أن المصفوفة الملحقة لمصفوفة رتبتها ﻥ في ﻥ هي مدور مصفوفة العوامل المرافقة. وهذا عندما يكون العامل المرافق للعنصر ﺹﻉ مساويًا لسالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ ﺹﻉ. وسالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ هو ما يعطينا الإشارة بناء على فردية أو زوجية الأس. إذن، في المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، تكون الإشارات موجب، سالب، موجب؛ سالب، موجب، سالب؛ موجب، سالب، موجب.
لإيجاد المصفوفة الملحقة لـ ﺃ، علينا إيجاد العوامل المرافقة. ولقد لاحظنا بالفعل ثلاثة من هذه العوامل المرافقة، تلك الخاصة بالصف الأول. فالعامل المرافق ﺟ واحد واحد هو المحدد الموجب للمصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد. تلك المصفوفة التي عناصرها: ١٠، سبعة، سبعة، سبعة، وينطبق الأمر نفسه على العوامل المرافقة ﺟ واحد اثنين وﺟ واحد ثلاثة. ونعرف أن الإشارات لدينا موجبة وسالبة وموجبة.
المحدد الأول، كما لاحظنا سابقًا، هو ١٠ مضروبًا في سبعة ناقص سبعة مضروبًا في سبعة، وهو ما يساوي ٢١. والعامل المرافق الثاني لدينا هو سالب ثمانية مضروبًا في سبعة ناقص سبعة مضروبًا في تسعة. وهذا يساوي سالب سالب سبعة، وهو ما يساوي موجب سبعة. والعامل المرافق الثالث لدينا ﺟ واحد ثلاثة يساوي ثمانية مضروبًا في سبعة ناقص ١٠ في تسعة، وهو ما يساوي سالب ٣٤.
والآن، نفعل الشيء نفسه مع الصفين الآخرين في المصفوفة التي لدينا. إذن، من خلال العملية نفسها بالضبط، لكن مع إعادة ملاحظة الإشارات سالب وموجب وسالب، نجد أن العامل المرافق ﺟ اثنين واحد يساوي سالب ١٤، والعامل المرافق ﺟ اثنين اثنين يساوي موجب ١٤، والعامل المرافق ﺟ اثنين ثلاثة يساوي أربعة. وأخيرًا، في الصف الثالث، لدينا العوامل المرافقة ﺟ ثلاثة واحد يساوي ٣٥، وﺟ ثلاثة اثنان يساوي سالب سبعة، وﺟ ثلاثة ثلاثة يساوي سالب ٣٠، وتكون فيها الإشارات موجب وسالب وموجب.
ومن ثم، تحتوي مصفوفة العوامل المرافقة لدينا على العناصر: ٢١، سبعة، سالب ٣٤ ؛ سالب ١٤، ١٤، أربعة؛ ٣٥، سالب سبعة، سالب ٣٠. نتذكر أن المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ هي مدور مصفوفة العوامل المرافقة. والمدور هو المصفوفة التي تتبدل فيها الصفوف إلى الأعمدة، والأعمدة إلى صفوف. وفي مسألتنا هذه، يعني ذلك، على سبيل المثال، أن الصف الذي يحتوي على العناصر: ٢١، سبعة، سالب ٣٤ يصبح عمودًا عناصره: ٢١، سبعة، سالب ٣٤. وبالمثل، يصبح الصف الثاني هو العمود الثاني، كما يصبح الصف الثالث هو العمود الثالث. وهذه هي المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ.
الآن نتذكر أننا نحاول إيجاد معكوس المصفوفة ﺃ، لأن المعكوس هو الذي يساعدنا على حل المعادلة. ومعكوس المصفوفة ﺃ يساوي واحدًا على محدد المصفوفة ﺃ مضروبًا في المصفوفة الملحقة. والمحدد، الذي أوجدناه من قبل، يساوي ٥٦، إذن معكوس المصفوفة ﺃ يساوي واحدًا على ٥٦ مضروبًا في المصفوفة الملحقة لـ ﺃ. والآن يمكننا استخدام ذلك لحل نظام المعادلات الخطية الذي لدينا.
لدينا ﺱ، وهي مصفوفة العمود التي تضم العناصر: ﺱ، ﺹ، ﻉ، تساوي معكوس ﺃ مضروبًا في مصفوفة العمود ﺝ. والآن، بالرجوع إلى السؤال الأصلي، نتذكر أن قيمة ﺱ موجودة لدينا. وهي ﺱ يساوي واحدًا على اثنين. وحان الآن وقت التعويض بذلك في المعادلة التي لدينا. إذن، يكون لدينا في الطرف الأيمن مصفوفة العمود التي تتضمن العناصر: نصف، ﺹ، ﻉ. والآن، لإيجاد قيمة ﻙ، علينا ضرب الصف الأول فقط في مصفوفة العمود، وذلك في الطرف الأيسر، بما أن المعادلة الناتجة لا تحتوي إلا على مجهول واحد: وهو ﻙ.
ومع ذلك، وبغرض الإكمال، دعونا نوجد حاصل ضرب الطرف الأيسر بأكمله. من ثم، يمكننا أيضًا إيجاد قيمتي ﺹ وﻉ. الصف الأول لدينا هو ٢١ في واحد زائد سالب ١٤ في اثنين زائد ٣٥ في ﻙ، والوضع نفسه في الصفين الثاني والثالث. وبتجميع الحدود المتشابهة، لدينا الآن واحد على ٥٦ مضروبًا في المصفوفة التي صفها الأول سالب سبعة زائد ٣٥ﻙ، وصفها الثاني ٣٥ ناقص سبعة ﻙ، وصفها الثالث سالب ٢٦ ناقص ٣٠ﻙ.
والآن، بتساوي المصفوفات، يصبح لدينا نصف يساوي واحدًا على ٥٦ مضروبًا في سالب سبعة زائد ٣٥ﻙ. بضرب كلا الطرفين في ٥٦، نحصل على ٥٦ على اثنين يساوي سالب سبعة زائد ٣٥ﻙ. إذن، ٢٨ يساوي سالب سبعة زائد ٣٥ﻙ. بإضافة سبعة إلى كلا الطرفين والقسمة على ٣٥، نحصل على ﻙ يساوي واحدًا. ومن ثم فإن قيمة ﻙ، التي ينتج عنها ﺱ يساوي نصفًا في المعادلة المصفوفية، هي واحد.
والآن، وبغرض الإكمال، يمكننا استخدام قيمة ﻙ تلك لإيجاد قيمتي ﺹ وﻉ. بعد أن نفرغ بعض المساحة، نحصل على ﺹ يساوي واحدًا على ٥٦ مضروبًا في ٣٥ ناقص سبعة، وﻉ يساوي واحدًا على ٥٦ مضروبًا في سالب ٢٦ ناقص ٣٠. وهو ما يعطينا واحدًا على اثنين وسالب واحد. إذن، أوجدنا أن ﻙ يساوي واحدًا، وﺹ يساوي نصفًا، وﻉ يساوي سالب واحد.
