نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻉ يساوي ثلاثة جذر اثنين في جتا ٢٢٥ ناقص ﺕ جا ٢٢٥، فأوجد ﻉ تربيع في الصورة الأسية.
تنص صيغة أويلر على أن ﻫ أس موجب أو سالب ﺕ𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد أو ناقص ﺕ جا 𝜃. يمكننا توسيع نطاق ذلك ونقول إن ﻝ في ﻫ أس موجب أو سالب ﺕ 𝜃 يساوي ﻝ في جتا 𝜃 زائد أو ناقص ﺕ جا 𝜃. يمكننا استخدام ذلك لمساعدتنا على التحويل بين الصورة القطبية والأسية للعدد المركب.
المقياس، وهو قيمة ﻝ في العدد المركب، يساوي ثلاثة جذر اثنين. والسعة تساوي ٢٢٥ درجة. لكن عند كتابة عدد مركب بالصورة الأسية، فإننا نستخدم الراديان. تذكر أنه عند التحويل من الدرجات إلى الراديان، نضرب العدد في 𝜋 على ١٨٠.
إذن، نضرب السعة التي تساوي ٢٢٥ في 𝜋 على ١٨٠، والناتج يساوي خمسة 𝜋 على أربعة. وبما أن معامل ﺕ جا 𝜃 سالب، يمكننا إعادة كتابة العدد المركب بالصورة ثلاثة جذر اثنين في ﻫ أس سالب خمسة 𝜋 على أربعة ﺕ.
علينا، في الواقع، إيجاد ﻉ تربيع. لذا، سنقوم بتربيع هذا المقدار بالكامل. إذن، ﻉ تربيع يساوي ثلاثة جذر اثنين ﻫ أس سالب خمسة 𝜋 على أربعة ﺕ الكل تربيع. لنبدأ بتربيع ثلاثة جذر اثنين. ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وجذر اثنين تربيع يساوي اثنين. إذن يصبح لدينا تسعة في اثنين، وهو ما يساوي ١٨. بالنسبة إلى الأس، نعرف أن علينا ضرب سالب خمسة 𝜋 على أربعة ﺕ في اثنين. وبهذا نحصل على ﻫ أس سالب خمسة 𝜋 على اثنين ﺕ.
وهكذا، فإن المقدار الذي يعبر عن العدد المركب ﻉ تربيع على الصورة الأسية هو ١٨ﻫ أس سالب خمسة 𝜋 على اثنين ﺕ. لاحظ أن كل أس من الأسس الموجودة في الإجابات المحتملة على هذه المسألة له معامل موجب لـ ﺕ.
في الواقع، الدالة الأسية المتضمنة جزءًا تخيليًّا تكون دورية وطول دورتها اثنين 𝜋. لذا يمكننا إضافة اثنين 𝜋 إلى أس سالب خمسة 𝜋 على اثنين أكثر من مرة حتى نحصل على قيمة موجبة. سالب خمسة 𝜋 على اثنين زائد اثنين 𝜋 يساوي سالب نصف 𝜋. سالب نصف 𝜋 زائد اثنين 𝜋 يساوي ثلاثة 𝜋 على اثنين.
وعليه، فإن المقدار الذي يعبر عن ﻉ تربيع بالصورة الأسية هو ١٨ﻫ أس ثلاثة 𝜋 على اثنين ﺕ.