فيديو قصير: مسألة سباق نماذج الحلزون

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو سنتعرف على مسألة تتعلق برياضة ممتعة، وإن كانت على حد علمي تخيلية، وهي رياضة سباق نماذج الحلزون.

لكن لنتعرف أولًا على طبيعة سباق نماذج الحلزون. حسنًا، في الواقع الأمر بسيط للغاية. فلدينا 25 نموذجًا خشبيًا للحلزون، متطابقًا في الشكل، ولدينا منحدر. وبما أنه من الصعب للغاية رسم كل هذا العدد من الحلزونات المتطابقة في الشكل، فقد وضعت معظم هذه النماذج داخل صندوق كبير. والآن لنختر خمسة حلزونات عشوائيًا. ولنضعها على قمة المنحدر هنا بالأعلى. ولنتركها تنزلق حتى أسفل المنحدر. وأول حلزون يصل إلى الأسفل هو الفائز!

هذه الحلزونات لا يتحرك أي جزء في جسمها. وعليه، فإن سرعة انحدارها على المنحدر تعتمد بالكامل على تباين مستويات الاحتكاك بين قاعداتها والمنحدر. صممت هذه الحلزونات بحيث تبدو جميعًا متماثلة. لكن قاعداتها تتفاوت قليلًا في درجة صقلها وستواجه قدرًا متفاوتًا من مقاومة الاحتكاك من المنحدر. ويمكن تجاهل تأثير مقاومة الهواء مع السرعات التي تصل إليها هذه الحلزونات. في الواقع، حاول بعض الناس إزالة أصداف هذه الحلزونات لكي تصبح حركتها أكثر انسيابية. لكنهم قالوا إن هذا لم يؤد إلا إلى انخفاض سرعتها.

هذه المسألة التي نعرضها لا تتطلب منا أي عمليات حسابية معقدة، بل مجرد بعض التفكير المنطقي. لكن قبل شرح المسألة الفعلية وحلها، دعونا نلق نظرة سريعة على العمليات الحسابية المستخدمة في سباق نماذج الحلزون. يمكننا التعبير عن الحلزون بنقطة على منحدر وعر. ويعني هذا حدوث قدر من الاحتكاك مع انزلاق الحلزون أسفل المنحدر. دعونا نطلق على الزاوية الموجودة بين المنحدر والخط الأفقي 𝜃. إن وزن الحلزون يؤثر رأسيًا إلى أسفل بقوة وحدتها نيوتن تساوي كتلته بالكيلوجرام في ثابت الجاذبية 𝑔 بالمتر لكل ثانية لكل ثانية. وفي المعتاد نستخدم القيمة 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع للتعبير عن عجلة الجاذبية على سطح الأرض.

ينص قانون نيوتن الثالث على أن لكل فعل رد فعل مساويًا له في المقدار ومضادًا له في الاتجاه. وهكذا مع ضغط الحلزون لأسفل على المنحدر، سيحدث رد فعل عمودي، لنرمز إليه بالرمز 𝑅، يؤثر عموديًا على المنحدر ومنه على الحلزون. والآن أصبح لدينا مثلث قائم الزاوية. وهذا يعني أن هذه الزاوية تساوي 90 ناقص 𝜃. وقيمة هذه الزاوية أيضًا 𝜃. وتذكر أن قوة رد الفعل متعامدة على المنحدر. وبما أن الحلزون لا يقفز على المنحدر ولا يتدحرج عليه، فهذا يعني أن هذه القوة 𝑅 لا بد أن تتوازن تمامًا مع مركبة قوة الوزن والتي تؤثر في هذا الاتجاه. وهذا يساوي 𝑚 في 𝑔 في cos الزاوية الواقعة بين هذه القوة وهذا الاتجاه. وهكذا، فإن قوة رد الفعل 𝑅 تساوي حاصل ضرب 𝑚𝑔 في cos 𝜃.

بما أن هذا المنحدر وعر، فستوجد قوة احتكاك تقاوم حركة الحلزون إلى أسفله. تذكر أن ما يجعل سباقات الحلزون ممتعة للغاية حقيقة أن هذه الحلزونات تتحرك بالفعل. وهذا يعني أن قوة الاحتكاك تلك تصل إلى أقصى مستوى نظري لها. لنطلق على هذا 𝐹 القصوى. وبالمعدلات التي نتحدث عنها، ستكون هذه القوة ثابتة طوال رحلة الحلزونات إلى أسفل المنحدر. وستساوي قيمة 𝐹 القصوى حاصل ضرب 𝜇، وهو معامل الاحتكاك بين الحلزون والمنحدر، في 𝑅، وهو حجم أو مقدار قوة رد الفعل العمودي المؤثرة على الحلزون.

وهكذا، فإن 𝜇 هو عامل انزلاق الحلزون. ولكي يكون السباق جيدًا وممتعًا، نأمل أن يكون معامل 𝜇 مختلفًا من حلزون لآخر. ومن أجل أن ينزلق هذا الحلزون إلى أسفل المنحدر، لا بد أن تكون مركبة قوة الوزن المؤثرة إلى أسفل على المنحدر أكبر من قوة 𝐹 القصوى هذه. وحين يحدث هذا، نحصل على عجلة ثابتة حتى أسفل المنحدر، لنرمز إليها بالرمز 𝑎. وينص قانون نيوتن الثاني على أن محصلة القوى المؤثرة على الحلزون في أثناء نزوله على المنحدر تساوي كتلة الحلزون في عجلته. وهكذا نرى أن 𝑚𝑔 cos 90 ناقص 𝜃 ناقص 𝐹 القصوى يساوي كتلة الحلزون في عجلته. لكن cos 90 ناقص 𝜃 هو نفسه sin 𝜃. و𝐹 القصوى تساوي 𝜇 في 𝑅. و𝑅 تساوي 𝑚𝑔 cos 𝜃. والآن يمكننا حذف الرمز 𝑚 من كلا طرفي المعادلة. وبذلك، نجد أن العجلة الثابتة للحلزون أسفل المنحدر يمكن التعبير عنها بهذا التعبير الرياضي الموضح هنا، والذي لا علاقة له بكتلة الحلزون، وهو أمر مثير للاهتمام إلى حد ما.

الآن يمكننا استخدام واحدة من معادلات نيوتن للحركة، حيث 𝑠 هي المسافة التي يقطعها الحلزون إلى أسفل المنحدر بالأمتار، و𝑢 السرعة الابتدائية للحلزون بالأمتار لكل ثانية، والتي تكون بالطبع صفر متر لكل ثانية لأننا وضعنا الحلزون توًا على قمة المنحدر لينزلق إلى أسفله. وعليه، فإن صفر في الزمن المستغرق سيجعل هذا الحد يساوي صفر. ويمكننا التعويض بالتعبير الرياضي الذي توصلنا إليه توًا عن العجلة.

ثم بما أن جميع الحلزونات تتحرك على المنحدر نفسه، وتقطع المسافة نفسها، وبالزاوية نفسها، وتتعرض للجاذبية ذاتها، فإن المتغير الوحيد هو معامل الاحتكاك لكل حلزون. وبما أن منحدرنا الحقيقي يبدو هكذا، يمكننا أن نرى من هذه الصيغة أن الحلزون صاحب أصغر 𝜇 سيكون انزلاقه الأسرع على المنحدر. يذكرني هذا بأسوأ طرفة رياضية على الإطلاق. وهي: أي قطة تنزلق على المنحدر أسرع؟ القطة صاحبة أصغر «ميو» 𝜇. وبهذه الملاحظة ربما قد حان الوقت للانتقال إلى عملنا الأصلي، وهو حل معضلة سباق نماذج الحلزون.

من دون وجود مؤقت، ومع اشتمال السباق على خمسة حلزونات فقط في المرة الواحدة، ومجرد تحديد مراكزها النهائية في السباق، ما أقل عدد ممكن من السباقات نحتاجه لمعرفة أول وثاني وثالث أسرع حلزون إجمالًا؟

نحن لا نعلم قيمة 𝜇 لأي حلزون. ولا نعلم قيمة زاوية المنحدر. ولا نعلم طول المنحدر. ولذلك لا نريد منك استخدام أي من العمليات الحسابية التي تحدثنا عنها توًا من أجل التوصل إلى حل هذه المسألة، بل علينا فقط استخدام قدر من التفكير المنطقي. أوقف الفيديو الآن. وحاول حل المسألة. ثم شاهد الحل الذي سنعرضه.

يمكننا تسمية جميع الحلزونات A وB وC وD وE وF وصولًا إلى W وX وY. ثم علينا إجراء السباق أولًا بين الحلزونات من A وحتى E لتحديد الحلزونات ذات المراكز الثلاثة الأولى من بينها. بعدها نستعيض عن الحلزونات التي جاءت في المركزين الرابع والخامس بالحلزونين F وG. ثم نجري السباق مرة أخرى لنعرف الحلزونات ذات المراكز الثلاثة الأولى. بعد ذلك، نتخلص من الحلزونات التي جاءت في المركزين الرابع والخامس ونستعيض عنها بالحلزونين H وI. ثم نجري السباق مرة أخرى ونستعيض عن الحلزونين الأبطأ بالحلزونين J وK، وهكذا. وعليه، بنهاية السباق الحادي عشر سنكون قد علمنا أسرع ثلاثة حلزونات.

لكن، هل يمكننا التوصل إلى هذا في أقل من 11 سباقًا؟ حسنًا، من المغري أن نقول إن باستطاعتنا إجراء خمسة سباقات، ثم نجري سباقًا بين الحلزونات الفائزة من كل منها في سباق نهائي كبير. سيساعدنا هذا بالتأكيد في تحديد أسرع حلزون بوجه عام. لكنه لن يعرفنا بالضرورة على ثاني وثالث أسرع حلزون. على سبيل المثال، إذا كانت الحلزونات A وB وC أسرع ثلاثة حلزونات بوجه عام، فإننا سنستبعد اثنين منهما في السباق النهائي الكبير بموجب هذا النظام. وهكذا فإن ستة سباقات ليست الحل. لكننا إذا حللنا النتائج بعناية بعد كتابتها في جدول مثل هذا، حيث تمثل الصفوف أرقام السباقات والأعمدة مراكز الحلزونات، ربما نستطيع استخلاص معلومات أكثر مما اعتقدنا في البداية.

من البديهي أنه على أساس سرعة الحلزونات ستظهر هذه الأحرف بترتيب مختلف. لكن يمكنك أن ترى هنا أنه في السباق الأول جاء الحلزون A في المركز الأول، والحلزون C في المركز الثاني، والحلزون D في المركز الثالث، والحلزون E في الرابع، والحلزون B في الخامس. وهذا يعني أن الحلزونين E وB يستحيل أن يصبحا ضمن المراكز الثلاثة الأولى في السباق بأكمله. وبالمثل، في السباق الثاني، جاء الحلزونان G وJ في المركزين الرابع والخامس. وهذا يعني أنهما لن يصبحا ضمن أول أسرع ثلاثة حلزونات في السباق. وبالمثل، أي حلزون يأتي ترتيبه في المركزين الرابع والخامس في سباقه لا يمكن له أن يكون ضمن أسرع ثلاثة حلزونات. والآن يعبر الصف السادس عن سباق الفائزين. ويمكننا أن نرى أن الحلزون A، لم يفز بالمركز الأول في سباقه الأول فقط، بل هزم أيضًا كل الفائزين في السباق النهائي. إذن يصبح الحلزون A أسرع حلزون بوجه عام.

والآن يمكننا أن نرى أيضًا من هذا الجدول أن الحلزون V جاء في المركز الرابع في هذا السباق. وعليه، إذا لم يكن ضمن الثلاثة الأوائل، فإن أي حلزون أبطأ منه لن يصبح من الثلاثة الأوائل أبدًا. وهكذا يمكننا استبعاد الحلزونات V وU وW من حساباتنا. وبالمثل، ينطبق هذا أيضًا على الحلزون P الذي جاء في المركز الأخير في سباق الفائزين. وعليه، فإن أي حلزون أبطأ من الحلزون P لن يدخل بالتأكيد ضمن الثلاثة الأوائل. ماذا عن الحلزون H؟ لقد جاء في المركز الثالث في سباق الفائزين. وعليه، على أغلب الظن، يمكن أن يكون ثالث أسرع حلزون ضمن المجموعة بأكملها. وعليه، فإن أي حلزون أبطأ من الحلزون H لا يمكن أن يندرج ضمن الثلاثة الأوائل. وهكذا، نستبعد الحلزونين F وI.

أما بالنسبة إلى الحلزون O، فعلى أغلب الظن هو ثاني أسرع حلزون على الإطلاق. وهكذا يصبح المتنافسون على المركز الثالث لأسرع الحلزونات هم الحلزون H، الذي جاء ترتيبه بعد الحلزون O مباشرة في سباق الفائزين؛ والحلزون N، الذي جاء ترتيبه بعد O مباشرة في سباقه الأصلي. أما الحلزون K، الذي جاء ترتيبه بعد O بمركزين في السباق الأصلي، فلا يمكن أن يصبح ثالث أسرع حلزون. وأخيرًا، نعلم أن الحلزون A هو أسرع حلزون. وهذا يعطينا خمسة خيارات للمركزين الثاني والثالث بين الحلزونات.

والآن يمكننا إجراء سباق أخير، السباق السابع. ويكون الفائز في هذا السباق صاحب المركز الثاني لأسرع الحلزونات على الإطلاق. ويكون صاحب المركز الثاني في هذا السباق ثالث أسرع حلزون إجمالًا. وهكذا نجد أن ستة سباقات لم يكن من الممكن أن تقدم لنا معلومات كافية بشأن المراكز الأولى والثانية والثالثة بين الحلزونات إجمالًا. لكن مع وجود هذا السباق الإضافي وقليل من التحليل المتأني، يمكننا تحديد أصحاب المراكز الثلاثة الأولى بين الحلزونات إجمالًا. إذا حاولت تطبيق هذا على مجموعة من 25 حلزونًا بنفسك، فعلى الأرجح سيكون ترتيب الأحرف الذي ستحصل عليه مختلفًا عن ترتيب الأحرف الذي ظهر لدينا. لكن الفكرة تكمن في إجراء خمسة سباقات مبدئية، يتبعها سباق سادس للفائزين، ثم استخدام المنطق والتحليل، ثم إجراء سباق سابع أخير، فكل هذا يؤدي إلى معرفة الحلزونات الثلاثة الأولى الأسرع بين المجموعة.