فيديو الدرس: إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الربع الذي تقع فيه الزاوية، وما إذا كانت قيم الجيب وجيب التمام ودالة الظل للزاوية موجبة أم سالبة.

في البداية، دعونا نتناول شبكة إحداثيات بها المحوران ﺱ وﺹ. الربع العلوي الأيمن يعرف بالربع الأول. والربع العلوي الأيسر هو الربع الثاني. والربع السفلي الأيسر هو الربع الثالث. والربع السفلي الأيمن هو الربع الرابع. نحن نعلم أنه على يمين نقطة الأصل تكون قيم ﺱ موجبة. وعلى يسار نقطة الأصل تكون قيم ﺱ سالبة. وبطريقة مشابهة، أعلى نقطة الأصل، تكون قيم ﺹ موجبة. وأسفل نقطة الأصل، تكون قيم ﺹ سالبة. دعونا نضف أربع نقاط إلى شبكة الإحداثيات وهي: النقطة ﺱ، ﺹ؛ والنقطة سالب ﺱ، ﺹ؛ والنقطة سالب ﺱ، سالب ﺹ؛ والنقطة ﺱ، سالب ﺹ.

في الربع الأول، سنرسم خطًا من نقطة الأصل إلى النقطة ﺱ، ﺹ. وسنجعل الزاوية المتكونة بين المحور ﺱ وهذا الخط هي 𝜃. إذا رسمنا خطًا رأسيًا من ﺱ، ﺹ إلى المحور ﺱ؛ فسنلاحظ أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية يبعد مسافة أفقية مقدارها ﺱ عن نقطة الأصل، ومسافة رأسية مقدارها ﺹ. وإذا عرفنا أن المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة ﺱ، ﺹ تساوي وحدة واحدة، فيمكننا استخدام الدوال المثلثية لمعرفة بعض المعلومات عن هذا المثلث.

بالنسبة إلى الدوال المثلثية الأساسية الثلاث، وهي الجيب وجيب التمام والظل، فإن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وجيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وظل الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. فإذا أردنا إيجاد جا 𝜃، فيمكننا القول إنه يساوي ﺹ على واحد؛ حيث ﺹ يساوي طول الضلع المقابل، وطول الوتر يساوي واحدًا. وبالمثل، فإن جتا 𝜃 يساوي ﺱ على واحد؛ أي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وظا 𝜃 يساوي ﺹ على ﺱ.

يمكننا تبسيط الجيب وجيب التمام ليصبحا ﺹ وﺱ، على الترتيب. ولأننا نعلم أن جميع قيم ﺹ في الربع الأول تكون موجبة، يمكننا القول إنه بالنسبة للزوايا التي تقع في الربع الأول، فإن قيمة جيب الزاوية تكون موجبة. وبالمثل، عندما تكون لدينا قيم ﺱ في الربع الأول، نعلم أن قيمة جيب تمام الزاوية تكون موجبة أيضًا. وقيمة ظل الزاوية في الربع الأول ستكون عددًا موجبًا على عدد موجب، وهو ما يعطينا قيمة موجبة أيضًا.

دعونا نر كيف يتغير ذلك إذا انتقلنا إلى الربع الثاني. لا تزال المسافة من نقطة الأصل إلى سالب ﺱ، ﺹ تساوي واحدًا. هذا يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر؛ أي ﺹ على واحد. لكن جيب تمام الزاوية هنا سيكون سالب ﺱ على واحد. في الربع الثاني، نتعامل مع قيم ﺱ السالبة، ما يجعل ظا 𝜃 يساوي ﺹ على سالب ﺱ. هذا يعني أنه في الربع الثاني، تظل علاقة الجيب موجبة. لكن علاقتي جيب التمام والظل تكونان سالبتين.

بالانتقال لأسفل إلى الربع الثالث، حيث نتعامل مع إحداثيات ﺱ السالبة وإحداثيات ﺹ السالبة، فإن جا 𝜃 يساوي سالب ﺹ على واحد. وجتا 𝜃 يساوي سالب ﺱ على واحد. يمكننا تبسيط ذلك إلى سالب ﺹ وسالب ﺱ. ولكن ثمة أمر مثير للاهتمام يحدث لظل الزاوية. إنه يساوي سالب ﺹ على سالب ﺱ، وهو ما يبسط إلى ﺹ على ﺱ. إذن، في الربع الثالث، لا تزال علاقة الظل موجبة. لكن في هذا الربع، ستكون علاقتا الجيب وجيب التمام سالبتين.

والآن لننتقل إلى الربع الرابع، حيث الإحداثي ﺱ موجب والإحداثي ﺹ سالب، وسيكون جا 𝜃 مساويًا لسالب ﺹ على واحد. لكن جتا 𝜃 يساوي موجب ﺱ على واحد؛ ما يعطينا قيمة سالبة للجيب، وقيمة موجبة لجيب التمام. وهذا يجعل ظل الزاوية يساوي سالب ﺹ على ﺱ. إذن، العلاقة الموجبة الوحيدة في الربع الرابع هي جيب التمام. لكن قيم ﺹ السالبة تجعل علاقتي الجيب وظل الزاوية سالبتين.

ما توصلنا إليه في كل ربع من هذه الأرباع ينطبق على أي زاوية تقع في ذلك الربع. أي زاوية تقع في الربع الأول، ستكون قيم الجيب وجيب التمام والظل لها موجبة. وأي زاوية تقع في الربع الثاني، تكون علاقة جيبها موجبة فقط. أما الزوايا في الربع الثالث، فتكون علاقة ظلها موجبة. والزوايا في الربع الرابع، تكون علاقة جيب تمامها موجبة.

علينا تذكر ذلك جيدًا. تساعدنا معرفة إشارات الدوال المثلثية في كل من الأرباع الأربعة في حل المسائل. فلنوضح العلاقات المثلثية الموجبة في كل ربع. في الربع الرابع، في الجزء السفلي الأيمن، تكون قيمة جيب تمام الزاوية موجبة، وقيمتا جيب وظل الزاوية سالبتين. أما في الربع الأول، في الجزء العلوي الأيمن، فتكون العلاقات الثلاث كلها موجبة. وفي الربع الثاني، في الجزء العلوي الأيسر، تكون قيمة جيب الزاوية موجبة، وقيمتا جيب تمام الزاوية وظل الزاوية سالبتين. وفي الربع الثالث، في الجزء السفلي الأيسر، تكون قيمة ظل الزاوية موجبة، وكل من قيمتي الجيب وجيب تمام الزاوية سالبتين.

ثمة شيء أخير علينا استعراضه قبل أن نتناول بعض الأمثلة. وهو طريقة قياس الزوايا على شبكة إحداثيات. يطلق على المحور ﺱ في اتجاه اليمين اسم «ضلع ابتداء الزاوية». و«ضلع انتهاء الزاوية» هو الذي تنتهي عنده الزاوية. إذا كنا نقيس زاوية من ضلع ابتداء الزاوية إلى ضلع انتهاء الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة، فسيكون قياس الزاوية موجبًا. أما إذا كنا نقيس زاوية من ضلع ابتداء الزاوية إلى ضلع انتهاء الزاوية في اتجاه عقارب الساعة، فسيكون قياس الزاوية سالبًا. وأخيرًا، عندما نبدأ من ضلع ابتداء الزاوية، يكون القياس مساويًا لصفر درجة. القياس من ضلع ابتداء الزاوية إلى المحور ﺹ يساوي ٩٠ درجة، وإلى الجانب الآخر من المحور ﺱ يساوي ١٨٠ درجة، وبإضافة ٩٠ درجة أخرى نصل إلى ٢٧٠، وأخيرًا يعود مرة أخرى ليصل إلى ٣٦٠ درجة.

والآن، نحن على استعداد لتناول بعض الأمثلة.

في أي ربع تقع الزاوية التي قياسها ٢٨٨ درجة؟

عندما نفكر في الأرباع الأربعة على شبكة الإحداثيات ونقوم بتسميتها من واحد إلى أربعة، فإننا نعلم أن قياس ضلع ابتداء الزاوية يساوي صفر درجة. ويزيد كل ربع إضافي بمقدار ٩٠ درجة. ثم الدورة الكاملة تساوي ٣٦٠ درجة. عندما نقيس زوايا في شبكات الإحداثيات، فإننا نبدأ من المحور ﺱ ونتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة إذا كنا نتعامل مع زاوية موجبة. وهذا يعني أننا سنبدأ من ضلع ابتداء الزاوية، ونتخطى ٢٧٠؛ لأننا نعلم أن ٢٨٨ تقع بين ٢٧٠ و٣٦٠. ونجد أن هذه الزاوية تقع في الربع الرابع.

في المثال التالي، ستكون لدينا معلومات حول جيب وجيب تمام زاوية ما، ومطلوب منا إيجاد الربع الذي تقع فيه الزاوية.

حدد الربع الذي تقع فيه 𝜃، إذا كان جتا 𝜃 أكبر من صفر، وجا 𝜃 أصغر من صفر.

سنستخدم هنا شبكة إحداثيات لإيجاد الربع الذي تقع فيه الزاوية. نحن نعلم من السؤال أن جتا 𝜃 أكبر من صفر، وهذا يعني أن قيمة جيب تمام الزاوية موجبة، بينما جا 𝜃 أصغر من صفر، ما يعني أن قيمة جيب الزاوية سالبة. لحل هذا النوع من الأسئلة، علينا تذكر إشارات الدوال المثلثية في كل من الأرباع الأربعة.

ففي الربع الأول تكون جميع القيم موجبة. وفي الربع الثاني، تكون قيمة جيب الزاوية فقط موجبة. وفي الربع الثالث، تكون قيمة ظل الزاوية فقط موجبة. وفي الربع الرابع، تكون قيمة جيب تمام الزاوية فقط موجبة. إذا كانت لدينا قيمة سالبة لجيب الزاوية، وقيمة موجبة لجيب تمام الزاوية، يمكننا استبعاد الربع الأول؛ لأن جميع القيم فيه يجب أن تكون موجبة. يمكننا كذلك استبعاد الربع الثاني؛ لأن قيمة جيب الزاوية موجبة. في الربع الثالث، تكون قيمة جيب الزاوية سالبة، وكذلك قيمة جيب التمام. وهذا يعني أن الربع الثالث لن يكون الحل. في الربع الرابع، تكون قيمة جيب تمام الزاوية موجبة، وقيمة جيب الزاوية سالبة. وهذا يعني أنه من المؤكد أن الزاوية 𝜃، بناء على هذه المعلومات، تقع في الربع الرابع.

دعونا نتناول مثالًا آخر.

في أي ربع تقع 𝜃 إذا كان جا 𝜃 يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لاثنين، وجتا 𝜃 يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لاثنين؟

عندما نفكر في علاقتي الجيب وجيب التمام، نعرف أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، بينما جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. لكن كيف نترجم هذه المعلومات على شبكة الإحداثيات؟

على شبكة الإحداثيات، تكون قيم علاقات الجيب وجيب التمام وظل الزاوية إما موجبة أو سالبة. لنتذكر أي العلاقات المثلثية يكون موجبًا في كل من الأرباع الأربعة. في الربع الأول، تكون العلاقات المثلثية الثلاث جميعها موجبة. وفي الربع الثاني، تكون علاقة جيب الزاوية فقط موجبة. وفي الربع الثالث، تكون علاقة ظل الزاوية فقط موجبة. وفي الربع الرابع، تكون علاقة جيب تمام الزاوية فقط موجبة.

في هذه الحالة؛ نتعامل مع علاقة موجبة لجيب الزاوية، وعلاقة موجبة لجيب تمام الزاوية. يمكننا كذلك استخدام المعطيات لدينا لإيجاد قيمة ظل الزاوية التي تساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. بالنسبة إلى هذه الزاوية، ستساوي واحدًا على واحد. وما نراه هنا هو أن هذه العلاقات الثلاث موجبة لهذه الزاوية. وهذا يعني أنه علينا القول إنها تقع في الربع الأول.

في المثال التالي، سنتناول زاوية أكبر من ٣٦٠ درجة.

هل قيمة جتا ٤٠٠ درجة موجبة أم سالبة؟

للإجابة عن هذا السؤال، علينا تحديد أين تقع ٤٠٠ درجة على شبكة الإحداثيات. إذا كتبنا على شبكة الإحداثيات الدرجات من صفر إلى ٣٦٠ درجة، فعلينا التفكير فيما سنفعله مع ٤٠٠ درجة. بالتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار دورة كاملة، نكون قد وصلنا إلى ٣٦٠ درجة. لكن لنصل إلى ٤٠٠، علينا التحرك ٤٠ درجة إضافية؛ لأن ٤٠٠ ناقص ٣٦٠ يساوي ٤٠. وهذا يعني أن الزاوية ٤٠٠ ستقع في المكان نفسه الذي تقع فيه الزاوية ٤٠ درجة؛ أي هنا.

والآن بعد أن حددنا موضع الزاوية ٤٠٠ درجة على شبكة الإحداثيات، علينا أن نفكر كيف سنعرف ما إذا كانت موجبة أم سالبة. ولمعرفة ذلك، علينا تذكر أي العلاقات المثلثية تكون موجبة في كل من الأرباع الأربعة. في شبكة الإحداثيات الموضحة. في الربع الأول، تكون العلاقات الثلاث موجبة. وفي الربع الثاني، يكون جيب الزاوية فقط موجبًا. وفي الربع الثالث، يكون ظل الزاوية فقط موجبًا. وفي الربع الرابع، يكون جيب تمام الزاوية فقط موجبًا. تقع زاويتنا في الربع الأول. في الربع الأول، تكون قيم الجيب وجيب التمام والظل موجبة. وهذا يعني أن قيمة جتا ٤٠٠ درجة موجبة.

قبل أن ننتهي، دعونا نستعرض النقاط الأساسية التي تناولناها. يمكننا تحديد ما إذا كانت قيم الجيب وجيب التمام والظل موجبة أم سالبة بناء على الربع الذي تقع فيه الزاوية. في الربع الأول، تكون جميع علاقات الجيب وجيب التمام والظل موجبة. وبالنسبة إلى الزوايا التي تقع في الربع الثاني، تكون علاقة جيب الزاوية موجبة، ولكن تكون علاقتا جيب التمام وظل الزاوية سالبتين. وبالنسبة إلى الزوايا التي تقع في الربع الثالث، تكون علاقتا الجيب وجيب تمام الزاوية سالبتين، لكن علاقة ظل الزاوية موجبة. وأخيرًا، في الربع الرابع، تكون علاقة جيب الزاوية سالبة، وعلاقة جيب تمام الزاوية موجبة، وعلاقة ظل الزاوية سالبة أيضًا. يجب علينا تذكر ذلك جيدًا. فمعرفة أي الدوال المثلثية تكون موجبة في كل ربع من الأرباع ضرورية لحل المسائل.