فيديو السؤال: استخدام قانون جيوب التمام لحساب قياس أصغر زاوية في المثلث الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟ مثلث فيه ﺡ ناقص ﺃ شرطة يساوي ٢٠ سنتيمترًا، وﺡ زائد ﺃ شرطة يساوي ١١٦ سنتيمترًا، وﺏ شرطة يساوي ٤١ سنتيمترًا؛ حيث اثنان ﺡ يمثل محيط المثلث. أوجد قياس أصغر زاوية في المثلث ﺃﺏﺟ لأقرب ثانية.

عند رسم المثلث ﺃﺏﺟ، نعلم من المعطيات أن طول الضلع ﺏ شرطة يساوي ٤١ سنتيمترًا. لدينا أيضًا معادلتان: ﺡ ناقص ﺃ شرطة يساوي ٢٠ سنتيمترًا، وﺡ زائد ﺃ شرطة يساوي ١١٦ سنتيمترًا. يمكننا حل هاتين المعادلتين آنيًّا عن طريق جمع المعادلة واحد والمعادلة اثنين أولًا. هذا يعطينا اثنان ﺡ يساوي ١٣٦. عند قسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين، نحصل على ﺡ يساوي ٦٨. بما أننا نعلم من المعطيات أن محيط المثلث يساوي اثنين ﺡ، فهذا يعني أنه يساوي ١٣٦ سنتيمترًا. بالتعويض عن ﺡ بـ ٦٨ في المعادلة اثنين، نحصل على ٦٨ زائد ﺃ شرطة يساوي ١١٦. يمكننا طرح ٦٨ من كلا طرفي هذه المعادلة، فنحصل على ﺃ شرطة يساوي ٤٨. طول الضلع ﺃ شرطة، وهو الضلع المقابل للزاوية ﺃ، يساوي ٤٨ سنتيمترًا.

يمكننا بعد ذلك حساب طول الضلع ﺟ شرطة من خلال طرح ٤٨ و٤١ من ١٣٦. وذلك يساوي ٤٧. إذن، طول الضلع المقابل للزاوية ﺟ يساوي ٤٧ سنتيمترًا. المطلوب منا هو حساب قياس أصغر زاوية. ونعرف أن أصغر زاوية في أي مثلث هي الزاوية المقابلة لأصغر ضلع. وهذا يعني أن الزاوية ﺏ، التي تسمى 𝜃، ستكون أصغر زاوية في المثلث. يمكننا حساب ذلك باستخدام قانون جيوب التمام أو قاعدة جيب التمام، التي تنص على أن جتا الزاوية ﺃ يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص ﺃ شرطة تربيع الكل مقسوم على اثنين مضروبًا في ﺏ شرطة مضروبًا في ﺟ شرطة. من المهم أن نلاحظ أن طول الضلع الذي نطرحه هو طول الضلع المقابل للزاوية التي نريد إيجادها.

في هذه المسألة، لدينا جتا 𝜃 يساوي ٤٨ تربيع زائد ٤٧ تربيع ناقص ٤١ تربيع الكل مقسوم على اثنين مضروبًا في ٤٨ مضروبًا في ٤٧. يمكننا تبسيط الطرف الأيسر من المعادلة لنحصل على ٥٩ على ٩٤. يمكننا بعد ذلك التأثير بالدالة العكسية لـ جتا على طرفي المعادلة بحيث 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ٥٩ على ٩٤. عند حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على 𝜃 تساوي ٥١٫١٢٢٣ وهكذا مع توالي الأرقام درجة. وبما أن المطلوب هو تقريب الإجابة لأقرب ثانية، سنجد أنها تساوي ٥١ درجة وسبع دقائق و٢٠ ثانية. إذن، هذه هي أصغر زاوية في المثلث ﺃﺏﺟ.