تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: مشتقات الدوال الأُسِّية المركَّبة

أحمد لطفي

يوضح الفيديو تعريف الدوال الأسية المركَّبة، وكيفية إيجاد مشتقاتها من خلال بعض الأمثلة المختلفة.

٠٧:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن مشتقات الدوال الأُسية المركبة، وهنعرف إيه هي الدوال الأُسية المركبة، وإزاي هنقدر نِوجد مشتقاتها.

في البداية لو كان عندنا دالة بالشكل ده ص بتساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ س الكل أُس س، الدالة الأُسية بيكون عندنا أساس مرفوع لـ أُس س، لكن الدالة الأسية المركبة بيكون الأساس بيحتوي ع المتغير س والكل مرفوع لـ أُس س، زي الدالة ص بتساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ س الكل أُس س. يبقي كده عرفنا إن الدالة ص هي دالة أُسية مركبة.

لو كان مطلوب إننا نِوجد د ص على د س عند س بتساوي هـ، وعشان نقدر نِوجد اشتقاق الدالة الأُسية المركبة، محتاجين نتخلص من الـ س اللي في الـ أُس، وعشان نقدر نتخلص من الـ س اللي في الـ أُس هنستخدم خاصية لوغاريتم القوة؛ يعني لو عندنا اللوغاريتم الطبيعي لـ أ أُس ب، ممكن نكتبها في صورة ب في اللوغاريتم الطبيعي لـ أ. بس هنلاحظ من خاصية لوغاريتم القوة إن الأساس مرفوع للـ أُس كان بداخل اللوغاريتم، لكن في الدالة ص عندنا الـ أُس مرفوع للوغاريتم كله؛ وبالتالي عشان نقدر نستخدم خاصية لوغاريتم القوة، هنقول الدالة ص بتساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ س الكل أُس س. بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين، هيكون عندنا اللوغاريتم الطبيعي لـ ص هيساوي اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ س الكل أُس س. ومن هنا هنلاحظ إن ما بداخل اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم الطبيعي لـ س الكل أُس س؛ وبالتالي هنقدر نطبّق خاصية لوغاريتم القوة، فهيكون عندنا اللوغاريتم الطبيعي لـ ص هتساوي س مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ س.

وبكده نكون قدرنا نتخلص من س اللي كانت في الـ أُس، وبقى عندنا س مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ س، ممكن نستخدم قاعدة حاصل ضرب دالتين عشان نقدر نِوجد مشتقة س مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ س. وهيبقى باشتقاق الطرفين هيكون عندنا واحد على ص في د ص على د س هيساوي واحد مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ س زائد س مضروبة في واحد على اللوغاريتم الطبيعي لـ س في واحد على س، نقدر نختصر الـ س مع الـ س عشان س في واحد على س هيساوي واحد، وهنضرب الطرفين في ص عشان يكون عندنا في الطرف الأيمن د ص على د س فقط.

د ص على د س هيساوي ص مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ س زائد واحد على اللوغاريتم الطبيعي لـ س. بما إن الدالة ص بتساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ س الكل أُس س، فهنعوّض عن ص بقيمتها؛ وبالتالي هيكون عندنا د ص على د س هتساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ س الكل أُس س الكل مضروب في اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ س زائد واحد على اللوغاريتم الطبيعي لـ س. وبكده نكون قدرنا نِوجد د ص على د س. عايزين نِوجد د ص على د س عند س بتساوي هـ، فهنعوّض عن س بـ هـ وهيكون عندنا فيبقى د ص على د س عند س بتساوي هـ هيساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ هـ الكل أُس هـ في اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ هـ زائد واحد على اللوغاريتم الطبيعي لـ هـ. وبما إن اللوغاريتم الطبيعي لـ هـ هيساوي واحد، بالتالي د ص على د س عند س بتساوي هـ هيساوي واحد أُس هـ في اللوغاريتم الطبيعي لواحد زائد واحد، اللوغاريتم الطبيعي لواحد هيساوي صفر، وبالتالي د ص على د س عند س بتساوي هـ هتساوي واحد. ويبقى كده بالنسبة للدالة ص بتساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ س الكل أُس س، فـ د ص على د س عند الـ س بتساوي هـ هتكون بتساوي واحد.

لو عايزين نشوف مثال آخر لدالة أُسية مركبة، مثلًا ص بتساوي س أُس س، عندنا س في الأساس مرفوعة لـ أُس س، وبالتالي الدالة ص هتكون دالة أُسية مركبة. لو عايزين نِوجد د ص على د س، في البداية هنكون محتاجين نتخلص من الـ س اللي موجودة في الأُس، يبقى هنستخدم خاصية لوغاريتم القوة، لكن عشان نستخدمها محتاجين يكون س أُس س كلها بداخل اللوغاريتم، وبالتالي هياخد اللوغاريتم للطرفين. لكن عشان نقدر نستخدم خاصية لوغاريتم القوة محتاجين تكون س أُس س بداخل اللوغاريتم، وبالتالي هنقول: بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين، هيكون عندنا اللوغاريتم الطبيعي لـ ص هتساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ س أُس س. بتطبيق خاصية لوغاريتم القوة هيكون عندنا اللوغاريتم الطبيعي لـ ص بتساوي س في اللوغاريتم الطبيعي لـ س. باشتقاق الطرفين هيكون عندنا واحد على ص في د ص على د س بتساوي واحد في اللوغاريتم الطبيعي لـ س زائد س في واحد على س.

نقدر نختصر س مع س عشان س في واحد على س هيساوي واحد، وهنضرب ص في الطرفين عشان يكون عندنا في الطرف الأيمن د ص على د س فقط. هيكون عندنا د ص على د س هتساوي ص في اللوغاريتم الطبيعي لـ س زائد واحد. وبما إن ص بتساوي س أُس س فهنعوّض عن ص بقيمتها هيكون عندنا د ص على د س هتساوي س أُس س في اللوغاريتم الطبيعي لـ س زائد واحد. ويبقي كده بالنسبة للدالة ص اللي بتساوي س أُس س قدرنا نِوجد د ص على د س، وكانت بتساوي س أس س مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي لـ س زائد واحد.

لو فرضنا عندنا دالة أخرى بالشكل ده، ص بتساوي س أُس س أُس س، ومطلوب نِوجد د ص على د س، بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين عشان نقدر نطبّق خاصية لوغاريتم القوة، هيكون عندنا اللوغاريتم الطبيعي لـ ص هيساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ س أُس س أُس س. وبتطبيق خاصية لوغاريتم القوة هيكون عندنا اللوغاريتم الطبيعي لـ ص هيساوي س أُس س في اللوغاريتم الطبيعي لـ س. باشتقاق الطرفين اشتقاق الطرف الأيمن هيكون عبارة عن واحد على ص في د ص على د س، واشتقاق الطرف الأيسر الطرف الأيسر عبارة عن حاصل ضرب دالتين، فاشتقاق حاصل ضرب دالتين هيكون الدالة الأولى في مشتقة الدالة التانية؛ يعني س أُس س في واحد على س زائد الدالة التانية في مشتقة الدالة الأولى؛ يعني اللوغاريتم الطبيعي لـ س في مشتقة س أُس س.

هنلاحظ إننا محتاجين نِوجد مشتقة س أُس س، ولو رجعنا للمثال السابق، فالمثال السابق كان عندنا ص بتساوي س أُس س، وبالتالي مشتقة الدالة ص بتساوي س أُس س كانت بتساوي س أُس س في اللوغاريتم الطبيعي لـ س زائد واحد. يعني عشان نقدر نِوجد مشتقة س أُس س هنستخدم نتيجة المثال السابق، وبالتالي هنقدر نكمل خطوات الحل عشان نوصل لـ د ص على د س للدالة ص بتساوي س أُس س أُس س.

في النهاية نكون عرفنا إيه هي الدوال الأُسية المركبة، وإزاي نقدر نِوجد مشتقات الدوال الأُسية المركبة.