تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الدوال الدورية

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو تعريف الدوال الدورية، وخصائصها، وأمثلةً تطبيقية عليها.

٠٧:٠٥

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على الدوال الدورية. هنعرف يعني إيه الدالة الدورية. وإزّاي بنرسمها. وإزّاي بنستخدمها في حياتنا العملية. الدوال الدورية بيكون شكل الدالة وقيمها على محور الصادات، عبارة عن تكرار لنمط على فترات منتظمة متتالية. وبيُسمى النمط الواحد منها الكامل، دورة. وتُسمى المسافة الأفقية في الدورة، طول الدورة.

يعني الدالة اللي قدامنا دي، بتكرر نفسها كل فترة. لو جينا بصّينا ده بيتكرر هنا، وده بيتكرر هنا. يبقى معنى كده إن الجزء ده كله، بيتكرّر كل فترة. يبقى دي اسمها دالة دورية. طيب الفترة دي اسمها طول الدورة، اللي هي تلتمية وستين درجة. يعني بنيجي من عند تلتمية وستين درجة، بتبدأ دورة جديدة للدالة.

الدورة بتمثّل النمط الواحد الكامل. يعني الشكل الكامل ده، بيمثّل دورة. لو جينا حطّيناها في جدول، عند الزاوية صفر قيمة الصادات تساوي واحد. عند المية وتمانين بتساوي سالب واحد. التلتمية وستين بتساوي واحد. الخمسمية وأربعين تساوي سالب واحد. السبعمية وعشرين تساوي واحد. يبقى هنا بتكرّر الدورة بتاعتها كل تلتمية وستين درجة.

نقلب الصفحة وناخد مثال. اوجد طول الدورة للدالة الممثلة بيانيًّا في الشكل. علشان نعرف طول الدورة، بنشوف إمتى الشكل بيبتدي يكرّر نفسه. النمط اللي عندنا بيتكرر إمتى. يعني الشكل عندنا … الأول هنحدّد الشكل اللي بيتكرّر، شكله عامل إزّاي، اللي هو الشكل ده … نص الفترة دي. طيب يبقى ابتدى يكرر نفسه من عند الـ 𝜋. وهيعيد نفسه تاني عن الاتنين 𝜋. وهكذا … يبقى طول الدورة هو 𝜋. ليه؟ لأن بيبدأ تكرار النمط عند الـ 𝜋، والاتنين 𝜋، وهكذا …

عندنا ملحوظة، يمكن أن تبدأ الدورة عند أيّ نقطة في منحنى الدالة الدورية. يعني مثلًا، المثال اللي قدامنا ده، لو كانت بدأت الدورة من عند الـ 𝜋 عَ الاتنين. طيب يبقى تكرار النمط، هيبقى لغاية التلاتة 𝜋 عَ الاتنين. يعني هو ده طول الدورة بتاعتنا، اللي هو قيمته برضو 𝜋. إزّاي بنحسبها؟ اللي هو تلاتة 𝜋 على اتنين، ناقص 𝜋 على اتنين. اللي هو نهاية النمط، مع بداية النمط. اللي هي بتساوي 𝜋.

عندنا حاجات كتير في حياتنا بتمثّل الدوال الدورية. نقلب الصفحة، ونشوف زيّ إيه. دوران العجلة، والبدّال في الدراجة الهوائية، ولعبة العجلة الدوّارة. والعديد من الألعاب في مدن الألعاب. ودوران الأشياء المختلفة في الفضاء. كلها بتمثّل دوال دورية.

ناخد مثال على الكلام ده. يقود شخص دراجة هوائية. وكان ارتفاع البدّال في أثناء دورانه، يمثّل دالة في الزمن، كما هو مبيَّن بالشكل. والبدّال يدور دورة كاملة، كل ثانيتين. فإذا تغيَّر ارتفاع البدّال في الدراجة الهوائية، بصورة دورية، كدالة في الزمن. فاوجد ما يأتي … كوّن جدولًا يوضّح ارتفاع البدّال عند الثواني الآتية: صفر، ونص، وواحد من عشرة، وواحد ونص، واتنين، واتنين ونص، وتلاتة.

قدامنا البدال بيلفّ دورة كاملة كل ثانيتين. يعني لو بدأ عند صفر ثانية، يبقى هنا هيلفّ الدورة الكاملة دي لغاية هنا اتنين ثانية. طيب يبقى صفر، نص ثانية، ثانية، واحد ونص ثانية. عند الصفر، هيكون ارتفاعه ستة وتلاتين سنتيمتر. عند النص، هيكون ارتفاعه أربعة وعشرين سنتيمتر. وهكذا …

نرسم جدول يوضّح القيم دي. عند الصفر، هيبقى ستة وتلاتين سنتيمتر. عند النص ثانية، هيبقى أربعة وعشرين سنتيمتر. عند الثانية، هيبقى اتناشر سنتيمتر. عند الواحد ونص، هيبقى أربعة وعشرين سنتيمتر. عند الاتنين، ستة وتلاتين سنتيمتر. اتنين ونص، هيعيد تاني نفس الأرقام أربعة وعشرين سنتيمتر. التلاتة، يبقى اتناشر سنتيمتر.

بيقول لنا اوجد طول دورة الدالة، يعني إمتى الدالة هتبتدي تعيد نفسها. هنا ستة وتلاتين، هترجع تعيد نفسها تاني هنا. يبقى كل اتنين ثانية، بتبدأ الدالة في إعادة الدورة تاني. يبقى طول دورة الدالة، هتساوي اتنين ثانية.

بعد كده بيقول لنا: مثّل الدالة بيانيًّا. حيث إن المحور الأفقي هيمثّل الزمن، والمحور الرأسي يمثّل الارتفاع. لمّا هنرسمها هتبقى بالشكل ده. نقطة الصفر اللي هي صفر ثانية، هتمثّل ارتفاع على قيم الصادات ستة وتلاتين سنتيمتر. النص هتمثّل أربعة وعشرين سنتيمتر. الواحد هتمثّل اتناشر سنتيمتر. وبعدين أربعة وعشرين. لغاية ما هتبتدي تكرر نفسها تاني عند الاتنين ثانية. أقصى ارتفاع للبدال عند ستة وتلاتين. وأقل ارتفاع عند الاتناشر.

يبقى عرفنا في الفيديو ده يعني إيه دوال دورية. وإزّاي بنستخدمها في حياتنا. وإزّاي هنعرف نرسمها، ونجيب طول الدورة بتاعة الدالة.