فيديو السؤال: إيجاد مدى دالة مثلثية من قاعدتها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

مدى الدالة ﺩ𝜃 تساوي ﺃ جتا ثلاثة 𝜃 يساوي الفترة المغلقة من سالب خمسة على أربعة إلى خمسة على أربعة. أوجد قيمة ﺃ؛ حيث ﺃ أكبر من صفر.

مدى الدالة هو مجموعة كل القيم المخرجة الممكنة للدالة. وبما أن مدى الدالة هو الفترة المغلقة من سالب خمسة على أربعة إلى خمسة على أربعة، يمكننا القول إن ﺃ جتا ثلاثة 𝜃 يجب أن يكون دائمًا أكبر من أو يساوي سالب خمسة على أربعة وأقل من أو يساوي خمسة على أربعة. لكن كيف يساعدنا ذلك؟ حسنًا، دعونا نفكر في جتا 𝜃 فقط. مدى الدالة ﺩ𝜃 تساوي جتا 𝜃 هو الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. وعليه، فإن جتا 𝜃 يجب أن يكون دائمًا أكبر من أو يساوي سالب واحد وأقل من أو يساوي واحدًا.

إذن، ما تأثير ضرب 𝜃 في ثلاثة على مدى الدالة؟ حسنًا، إذا فكرنا في تحويل الدالة جتا 𝜃 إلى جتا ثلاثة 𝜃، فإننا نعلم أن ذلك يمثل تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس يساوي ثلثًا. وهذا لا يغير المدى؛ أي إنه لا يغير القيمة المخرجة. وستظل الدالة تعطينا قيمًا مخرجة أكبر من أو تساوي سالب واحد وأقل من أو تساوي واحدًا.

وبالطبع، الدالة لدينا هي ﺃ جتا ثلاثة 𝜃. إذن ما نوع التحويل الهندسي هنا؟ لكي نحول جتا ثلاثة 𝜃 إلى ﺃ في جتا ثلاثة 𝜃، سيكون لدينا تمدد رأسي بمعامل قياس ﺃ. هذا يعني أن أقل قيمة مخرجة ستكون الآن سالب واحد في ﺃ، وهو ما يساوي سالب ﺃ، وأكبر قيمة مخرجة هي واحد في ﺃ، وهو ما يساوي ﺃ. يمكننا الآن المقارنة بين المتباينة الأصلية والمتباينة الجديدة. نلاحظ أن لدينا ﺃ جتا ثلاثة 𝜃 في كلتا المتباينتين. ولدينا أيضًا سالب خمسة أرباع وسالب ﺃ، وخمسة أرباع وﺃ. هذا يعني أنه يمكننا استنتاج أن ﺃ يجب أن يساوي خمسة على أربعة. وهذا بالفعل أكبر من صفر، كما هو مطلوب. إذن، ﺃ لا بد أن يساوي خمسة على أربعة.