فيديو: إيجاد المشتقة الأولى والثانية للدوال الجذرية المركبة

أوجد المشتقة الأولى والثانية للدالة ‪𝐺(𝑟) = 3√𝑟 − 5‬‏ في الجذر الخامس لـ ‪𝑟‬‏.

٠٣:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى والثانية للدالة ‪𝐺‬‏ في المتغير ‪𝑟‬‏ تساوي ثلاثة الجذر التربيعي لـ ‪𝑟‬‏ ناقص خمسة في الجذر الخامس لـ ‪𝑟‬‏.

أولًا، يتعين علينا إعادة كتابة الدالة بطريقة أسية. وهكذا يصبح لدينا الدالة ‪𝐺‬‏ في المتغير ‪𝑟‬‏ تساوي ثلاثة ‪𝑟‬‏ أس نصف ناقص خمسة ‪𝑟‬‏ أس خمس. وقد حصلنا على هذا باستخدام إحدى قواعد الأسس التي تخبرنا بأن الجذر ‪𝑎‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس واحد على ‪𝑎‬‏. حسنًا، ماذا نفعل الآن؟ في الواقع، أول ما علينا فعله هو إيجاد المشتقة الأولى. وما نريده هو اشتقاق الدالة ‪𝐺‬‏ في المتغير ‪𝑟‬‏.

والآن، لاشتقاق الدالة فعليًا، فإننا سنستخدم القاعدة العامة للاشتقاق. تنص هذه القاعدة العامة على أنه إذا كان لدينا دالة في صورة ‪𝑎𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏، فإن مشتقة هذه الدالة ستساوي ‪𝑎𝑏‬‏، وهو حاصل ضرب المعامل في الأس، ثم ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ ناقص واحد، وهكذا فإننا نطرح واحدًا من الأس. وعليه، يمكننا بالفعل تطبيق هذا على الدالة التي نحاول اشتقاقها.

إذن، سيصبح الحد الأول ثلاثة على اثنين أس سالب نصف. والسبب في ذلك أننا ضربنا المعامل ثلاثة في الأس نصف فأصبح الناتج ثلاثة على اثنين. ثم طرحنا واحدًا من الأس. ولذلك تحول الأس من نصف إلى سالب نصف. وبعد ذلك، سيصبح الحد الثاني سالب خمسة على خمسة ‪𝑟‬‏ أس سالب أربعة على خمسة. وعليه، يمكننا القول إن المشتقة الأولى ستساوي ثلاثة على اثنين ‪𝑟‬‏ أس سالب نصف ناقص ‪𝑟‬‏ أس سالب أربعة على خمسة. فعلنا هذا عن طريق التبسيط لأن لدينا خمسة على خمسة يساوي واحدًا. ممتاز. هكذا نكون قد انتهينا من أول مرحلة.

الآن، سننتقل إلى المرحلة الثانية وهي إيجاد المشتقة الثانية. ولإيجاد المشتقة الثانية، فإننا نجري اشتقاقًا للمشتقة الأولى التي أوجدناها. إذن نحن نعلم أن المشتقة الثانية تساوي مشتقة المشتقة الأولى. وعليه، ما سنفعله هو تطبيق قاعدة الاشتقاق مرة أخرى. وهكذا، تصبح المشتقة الثانية تساوي ثلاثة على اثنين في سالب نصف، وذلك لأننا ضربنا المعامل في الأس، ثم ‪𝑟‬‏ أس سالب نصف ناقص واحد. ثم نطرح من هذا سالب أربعة على خمسة ‪𝑟‬‏ أس سالب أربعة على خمسة ناقص واحد.

وهكذا إذا أجرينا تبسيطًا لهذا، ستصبح المشتقة الثانية للدالة تساوي سالب ثلاثة على أربعة ‪𝑟‬‏ أس سالب ثلاثة على اثنين زائد أربعة على خمسة ‪𝑟‬‏ أس سالب تسعة على خمسة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.