فيديو السؤال: إيجاد قيمة التكامل المحدد للدوال المتعددة التعريف الرياضيات

افترض أن: ﺩ(ﺱ) = ٤ إذا كان ﺱ < ١، وﺩ(ﺱ) = ٤ﺱ إذا كان ﺱ ≥ ١ أوجد ∫_(−١)^(٣) ﺩ(ﺱ) ﺩﺱ.

١٠:٣٢

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺩﺱ تساوي أربعة إذا كان ﺱ أصغر من واحد، وتساوي أربعة ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي واحدًا. أوجد التكامل من سالب واحد إلى ثلاثة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

لدينا هنا دالة متعددة التعريف ﺩﺱ، ومطلوب منا إيجاد التكامل المحدد لهذه الدالة. توجد عدة طرق مختلفة لفعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا تمثيل الدالة ﺩﺱ بيانيًّا. عندئذ نتذكر أن التكامل المحدد لـ ﺩﺱ بين سالب واحد وثلاثة سيكون هو المساحة الواقعة أسفل منحنى ﺩﺱ. وبالطبع، سيكون علينا أيضًا التحقق من أن الدالة متصلة على هذه الفترة. ستنجح هذه الطريقة. لكننا سنفعل ذلك باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

لذا سنبدأ بتذكر النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. في الواقع، سنتذكر فقط الجزء الذي يرتبط بإيجاد التكاملات المحددة. وهو ينص على أنه إذا كانت الدالة ﺩ متصلة على فترة مغلقة من ﺃ إلى ﺏ، وﻕ شرطة ﺱ تساوي ﺩﺱ، فإن التكامل من ﺃ إلى ﺏ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي قيمة ﻕ عند ﺏ ناقص قيمة ﻕ عند ﺃ. بعبارة أخرى، إذا كانت الدالة التي سيتم تكاملها متصلة على فترة التكامل وكانت لدينا مشتقة عكسية لهذه الدالة، يمكننا إذن إيجاد قيمة التكامل المحدد فقط من خلال إيجاد قيمة المشتقة العكسية.

عادة ما ننتقل مباشرة لاستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. لكن في هذه الحالة، لدينا دالة متعددة التعريف ﺩﺱ. وبما أن ﺩﺱ دالة متعددة التعريف، فإننا نريد تقسيم التكامل إلى الأجزاء التي يتغير عندها تعريف الدالة، في هذه الحالة عندما يساوي ﺱ واحدًا. إذن علينا تقسيم التكامل المحدد إلى التكامل من واحد إلى ثلاثة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد التكامل من سالب واحد إلى واحد لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لكن، علينا الانتباه جيدًا في هذه المرحلة. على سبيل المثال، نحن لا نعرف حتى الآن ما إذا كانت الدالة ﺩﺱ متصلة عندما يساوي ﺱ واحدًا.

لهذا السبب عندما يطلب منا إيجاد تكامل محدد، من المنطقي التحقق أولًا من أن الدالة متصلة على مجال التكامل بأكمله. في هذه الحالة، يمكننا التحقق من ذلك مباشرة. فمثلًا، يمكننا ملاحظة أن الدالة ﺩﺱ ليست دالة متعددة التعريف فحسب؛ بل هي في الحقيقة دالة متصلة متعددة التعريف. ونعلم أن الدوال المتصلة المتعددة التعريف لا بد أن تكون متصلة عند جميع القيم، ربما ما عدا عند النقاط الحدية. وفي الواقع، هي بالتأكيد متصلة إذا تلاقت نقاطها الحدية.

إذن للتأكد من اتصال الدالة ﺩﺱ، علينا التأكد من تلاقي نقاطها الحدية. إذن، علينا التعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في كلا التعريفين. وإذا فعلنا ذلك، فسنجد أننا في كلتا الحالتين نحصل على أربعة. إذن تتلاقى النقاط الحدية. إذن، في الواقع، الدالة ﺩﺱ ليست متصلة عندما يساوي ﺱ واحدًا فقط. بل إنها أيضًا متصلة لجميع قيم ﺱ الحقيقية. وهذا يوضح لنا أنه يمكننا تقسيم التكامل بالأعلى بهذه الطريقة. والآن، نحن جاهزون لاستخدام التعريف المتعدد للدالة ﺩﺱ لتغيير الدالتين اللتين سيتم تكاملهما.

لنبدأ بالتكامل الأول. يمكننا أن نرى أن فترة التكامل هي الفترة المغلقة من واحد إلى ثلاثة. ومن ثم، فإن قيم ﺱ ستكون بين واحد وثلاثة. ويمكننا ملاحظة أن ﺩﺱ تساوي الدالة أربعة ﺱ خلال هذه الفترة. إذن، بما أن ﺩﺱ تساوي بالضبط الدالة أربعة ﺱ خلال هذه الفترة، يمكننا التعويض عن ﺩﺱ بأربعة ﺱ. نريد أن نفعل الشيء نفسه مع الدالة الثانية التي سيتم تكاملها. يمكننا أن نرى، في هذه الحالة، أن فترة التكامل هي الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. لكن في هذه المرة، علينا أن نتوخى الحذر. إذ نريد التعويض عن ﺩﺱ بأربعة.

وفقًا للتعريف المتعدد للدالة ﺩﺱ، نجد أن هذا ينطبق على جميع قيم ﺱ الأصغر من واحد. ولكن، فترة التكامل تتضمن أيضًا عندما يساوي ﺱ واحدًا. وهذا سبب آخر يجعل التحقق من أن الدالة ﺩﺱ متصلة أمرًا مهمًّا للغاية. لقد تحققنا بالفعل من أن النقاط الحدية في كلا الحدين تلتقي. إذن، عندما يساوي ﺱ واحدًا، فإننا نعرف بالفعل أن ﺩﺱ يساوي أربعة. وعليه، نعلم أن ﺩﺱ تساوي بالضبط الدالة أربعة على الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. ولذا، يمكننا التعويض عن التكامل الثاني بالتكامل من سالب واحد إلى واحد لأربعة بالنسبة إلى ﺱ.

والآن يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد قيمة كل تكامل على حدة. هيا نبدأ بالتكامل الأول. أولًا، نلاحظ أن الحد السفلي للتكامل هو واحد، والحد العلوي للتكامل هو ثلاثة. لذا سنجعل ﺃ يساوي واحدًا، وﺏ يساوي ثلاثة. بعد ذلك، سنجعل الدالة ﺩ الدالة التي سيتم تكاملها. تذكر أنه على فترة التكامل هذه، الدالة ﺩ تساوي ذلك بالفعل. نحن الآن مستعدون لأن نحاول استخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. أولًا، علينا إثبات أن الدالة التي سيتم تكاملها متصلة على فترة التكامل. وقد فعلنا ذلك.

بعد ذلك، علينا إيجاد المشتقة العكسية للدالة التي سيتم تكاملها. وهناك بعض الطرق المختلفة لإجراء ذلك. على سبيل المثال، يمكننا أن نحاول استخدام قواعد الاشتقاق بطريقة عكسية. ولكن أسهل طريقة هي استخدام ما نعرفه عن التكاملات المحددة. نريد حساب تكامل أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا حساب هذا التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل. نحتاج إلى إضافة واحد إلى الأس ثم القسمة على هذا الأس الجديد. هذا يعطينا اثنين ﺱ تربيع زائد ثابت التكامل ﺙ.

في الواقع، هذا يعني أن لدينا المشتقة العكسية العامة لأربعة ﺱ. هذه هي المشتقة العكسية لأي قيمة لـ ﺙ. لذا، سنستخدم ﺙ يساوي صفرًا. إذن، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، تمكنا من توضيح أن التكامل من واحد إلى ثلاثة لأربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي قيمة المشتقة العكسية عند ثلاثة ناقص قيمة المشتقة العكسية عند واحد، وهو ما نمثله باستخدام هذا الترميز.

نريد الآن أن نفعل الشيء نفسه مع التكامل المحدد الثاني. أولًا، قيمة ﺃ تساوي سالب واحد، وﺏ يساوي واحدًا، وﺩﺱ يساوي أربعة. لقد أثبتنا بالفعل أن الدالة ﺩ متصلة على هذه الفترة. هذا يعني أن كل ما علينا فعله هو إيجاد المشتقة العكسية للدالة التي سيتم تكاملها. وفي الحقيقة، يمكننا فعل ذلك مرة أخرى باستخدام قاعدة القوة للتكامل. نحصل بذلك على أربعة ﺱ زائد ﺙ، ومرة أخرى يمكننا استخدام أي قيمة لـ ﺙ. لذا، سنختار ﺙ يساوي صفرًا. إذن، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، أوضحنا أنه، لإيجاد قيمة التكامل المحدد، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدود التكامل.

والآن، كل ما علينا فعله هو حساب قيمة هذا المقدار. سنبدأ بحساب المشتقة العكسية الأولى عند حدي التكامل. بفعل ذلك، نحصل على اثنين في ثلاثة تربيع ناقص اثنين في واحد تربيع. وبحساب ذلك، نجد أنه يساوي ١٦. نريد بعد ذلك أن نفعل الشيء نفسه مع المشتقة العكسية الثانية. وعند فعل ذلك، نحصل على أربعة في واحد ناقص أربعة في سالب واحد. ويمكننا أيضًا حساب ذلك؛ إنه يساوي ثمانية. إذن، بحساب المشتقتين العكسيتين عند حدود التكامل، نحصل على ١٦ زائد ثمانية، وهو ما نعرف أنه يساوي ٢٤.

إذن، بتقسيم الدالة المتصلة المتعددة التعريف إلى دالتين منفصلتين، تمكنا من إيجاد أن التكامل المحدد من سالب واحد إلى ثلاثة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ٢٤.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.