نسخة الفيديو النصية
أوجد المصفوفة الموسعة لنظام المعادلات الآتي: اثنان ﺱ زائد تسعة ﺹ زائد اثنين يساوي صفرًا، ثلاثة ﺹ ناقص أربعة ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا.
في نظام المعادلات الخطية، يكون لدينا معادلة خطية واحدة أو أكثر تتضمن مجموعة من المتغيرات. في هذه المسألة، لدينا معادلتان خطيتان تتضمنان المتغيرين ﺱ وﺹ. ونشير إلى الأعداد التي تسبق المتغيرات باسم المعاملات. توجد طريقة بديلة لتمثيل نظام المعادلات الخطية، وذلك في صورة مصفوفة موسعة. بصفة عامة، في نظام المعادلات الخطية في المتغيرات ﺱ واحد، وﺱ اثنين إلى ﺱﻥ؛ والمعاملات ﺃﺹﻉ، يمكننا كتابة نظام المعادلات الخطية على صورة مصفوفة موسعة، وستبدو كما هو موضح. تنقسم المصفوفة إلى جزأين. في الجزء الأيمن، لدينا ما نسميه مصفوفة المعاملات. وهي كما يشير الاسم، مصفوفة جميع المعاملات من نظام المعادلات الخطية هذا.
نلاحظ أن المعاملات لا تكتب بأي ترتيب، بل تكون بالترتيب نفسه الذي تظهر به في المعادلات الخطية أعلاه. وتظل معاملات متغير معين داخل العمود. وعلى يسار المصفوفة الموسعة، لدينا هذه القيم. إذن، من الجيد أن نبدأ هذا السؤال بإعادة كتابة نظام المعادلات الخطية بهذه الطريقة. حسنًا، أول ما فعلناه هو إعادة ترتيب المعادلة الثانية بحيث يظهر الحد المشتمل على ﺱ أولًا ثم الحد المشتمل على ﺹ بعده، كما هو مكتوب في المعادلة الأولى. وهذا يحافظ على محاذاة معاملي ﺱ، ومحاذاة معاملي ﺹ. كما يسهل كثيرًا وضعها في صورة مصفوفة موسعة.
بعد ذلك، سنعيد ترتيب كلتا المعادلتين بحيث تظهر هاتان القيمتان، أي القيمتان غير المرفقتين بمتغيرات، في الطرف الأيسر من علامة يساوي. ومن ثم، يصبح نظام المعادلات الخطية هو: اثنان ﺱ زائد تسعة ﺹ يساوي سالب اثنين وسالب أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي ستة. والآن، بعد كتابة النظام بهذه الطريقة، سيكون من السهل وضعه في صورة مصفوفة موسعة. دعونا نبدأ بكتابة المصفوفة. نتذكر أنه في الطرف الأيمن، لدينا مصفوفة المعاملات، أي المصفوفة التي تضم المعاملات. إذن، في أعلى اليمين، يكون لدينا اثنان. وفي أسفل اليمين، يكون لدينا سالب أربعة. إذن، يمثل هذا العمود معاملي ﺱ.
ويمثل العمود التالي معاملي ﺹ، أي تسعة وثلاثة. أما الجزء الأيسر من هذه المصفوفة الموسعة فيتكون من القيمتين: سالب اثنين وستة. وهكذا نصل إلى الحل. هذه هي المصفوفة الموسعة لنظام المعادلات الخطية هذا. عند حل هذا النوع من المسائل، من المهم حقًّا أن نتأكد من محاذاة معاملات المتغير نفسه قبل وضعها في المصفوفة.
