تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حساب الزاوية بين متجهين

سوزان فائق

يوضح الفيديو كيفية حساب الزاوية بين متجهين باستخدام الضرب القياسي، وكيفية استنتاج القانون المستخدم، وأمثلةً توضيحية.

٠٨:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على طريقة حساب الزاوية بين متجهين. الزاوية 𝜃 بين أيّ متجهين غير صفريين، أ وَ ب، زيّ ما إحنا شايفين كده، هي الزاوية بين هذين المتجهين، لمّا بيكونوا في الوضع القياسي. والوضع القياسي للمتجه، إن يكون نقطة بدايته هي نقطة الأصل، صفر وصفر. ونقطة النهاية هي قيمة المتجه أ. وبيعمل زاوية مع محور السينات. الزاوية 𝜃 بتبقى قيمتها من صفر إلى 𝜋، أو من صفر إلى مية وتمانين درجة. بنستخدم الضرب القياسي، لإيجاد قياس الزاوية بين المتجهين غير الصفريين. وده اللي هنتكلّم عنه في الفيديو ده. نقلب الصفحة، ونشوف قانون الزاوية بين متجهين، باستخدام الضرب القياسي.

الزاوية بين متجهين، إذا كانت 𝜃 هي الزاوية بين متجهين غير صفريين، المتجه أ والمتجه ب. فإن جتا الـ 𝜃 بتساوي المتجه أ ضرب قياسي المتجه ب، على معيار المتجه أ مضروب في معيار المتجه ب. هنشوف إزّاي البرهان بتاع القانون ده. في البرهان إذا كان المتجه أ، والمتجه ب، والمتجه ب ناقص الـ أ؛ أضلاع مثلث كما في الشكل. فإن من قانون جيب التمام، طول الضلع اللي هو المتجه ب ناقص المتجه أ تربيع. بيساوي طول الضلع أ تربيع، وطول الضلع ب تربيع، ناقص اتنين طول المتجه أ في طول المتجه ب في جتا الزاوية ما بينهم.

باستخدام العلاقة بين الضرب القياسي وطول المتجه، نقدر نساوي طول المتجه، بالضرب القياسي للمتجه. يعني هتبقى المتجه ب ناقص المتجه أ، ضرب قياسي المتجه ب ناقص المتجه أ. والطرف الأيسر زيّ ما هو. بعد كده هنستخدم خاصية التوزيع في الضرب القياسي. يبقى المتجه ب، هنضربه في المتجه ب ضرب قياسي. وبعد كده المتجه ب، هنضربه في المتجه أ ضرب قياسي. وبعد كده هنضرب الـ أ ضرب قياسي الـ ب. وبعدين الـ أ ضرب قياسي الـ أ. نقلب الصفحة.

ده نتيجة خاصية التوزيع في الضرب القياسي. وهيساوى الطرف الأيسر زيّ ما هو. باستخدام العلاقة ما بين الضرب القياسي وطول المتجه، يبقى هنعوّض عن الضرب القياسي بطول المتجه تربيع. يبقى المتجه ب ضرب قياسي المتجه ب، يبقى طول المتجه ب تربيع. ناقص اتنين، أ ضرب قياسي الـ ب. زائد طول المتجه أ تربيع. والطرف الأيسر زيّ ما هو.

باختصار الحدود المتشابهة. يعني طول المتجه ب تربيع، مع طول المتجه ب تربيع. متجه أ تربيع، مع المتجه أ تربيع. يبقى سالب اتنين المتجه أ، ضرب قياسي المتجه ب؛ هتساوي سالب اتنين طول المتجه أ، مضروب في طول المتجه ب، في جتا الزاوية ما بينهم. باختصار السالب اتنين مع السالب اتنين، نقدر نجيب قيمة الـ جتا 𝜃. بإن إحنا هنقسم الطرفين على طول المتجه أ، مضروب في طول المتجه ب. يبقى جتا 𝜃 هتساوي المتجه أ ضرب قياسي المتجه ب، على طول المتجه أ مضروب في طول المتجه ب.

يبقى كده عرفنا نثبت العلاقة ما بين الزاوية 𝜃، اللي هي بين المتجهين، والضرب القياسي للمتجهين. وقدرنا نجيب منهم قيمة الزاوية 𝜃. نقلب الصفحة، وناخد مثال.

اوجد قياس الزاوية 𝜃 بين المتجهين أ وَ ب، في كلٍّ مما يأتي. أول واحدة: المتجه أ بيساوي ستة واتنين، وَ ب يساوي سالب أربعة وتلاتة. تاني واحدة: المتجه أ بيساوي تلاتة وواحد، وَ ب بيساوي تلاتة وسالب تلاتة. هنحل أول واحدة، اللي هو المتجه أ يساوي ستة واتنين؛ والمتجه ب، بيساوي سالب أربعة وتلاتة. باستخدام قانون جتا الزاوية بين متجهين، اللي هي 𝜃، هتساوي المتجه أ ضرب قياسي المتجه ب، على طول المتجه أ مضروب في طول المتجه ب. يبقى جتا 𝜃 هتساوي ستة واتنين ضرب قياسي سالب أربعة وتلاتة، على طول المتجه ستة واتنين مضروبة في طول المتجه سالب أربعة وتلاتة.

هتساوي المركبة الأولى في المتجه الأول اللي هو ستة، في سالب أربعة المركبة الأولى في المتجه التاني. زائد المركبة التانية في المتجه الأول، مضروبة في المركبة التانية في المتجه التاني. على … على طول المتجه ستة واتنين، الجذر التربيعي لستة تربيع زائد اتنين تربيع. مضروبين في الجذر التربيعي لسالب أربعة تربيع زائد تلاتة تربيع.

هتساوي … البسط هيبقى قيمته سالب تمنتاشر. المقام هيبقى جذر أربعين مضروبة في جذر خمسة وعشرين. لمّا هنختصرها، هتبقى سالب تمنتاشر على، عشرة مضروبة في الجذر عشرة. يبقى الـ 𝜃 هتساوي الدالة العكسية لجيب التمام سالب تمنتاشر على، عشرة في الجذر عشرة. اللي هي هتساوي تقريبًا مية خمسة وعشرين درجة. ممكن نتأكد من الحل، بإن إحنا نرسم المتجهين. برسم المتجهين أ وَ ب، وقياس الزاوية ما بينهم بالمنقلة؛ هنلاقي إن القيمة ما بينهم مية خمسة وعشرين درجة تقريبًا. نقلب الصفحة، ونكمّل المثال.

المتجه أ بيساوي تلاتة وواحد. والمتجه ب تساوي تلاتة وسالب تلاتة. الزاوية ما بينهم، اللي هي جتا 𝜃، هتساوي المتجه أ ضرب قياسي المتجه ب، على طول المتجه أ مضروب في طول المتجه ب. يعني هيساوي تلاتة وواحد ضرب قياسي التلاتة وسالب تلاتة، على طول المتجه تلاتة وواحد في طول المتجه تلاتة وسالب تلاتة.

يبقى البسط هيساوي تلاتة في تلاتة، زائد واحد في سالب تلاتة. اللي هو المركبة الأولى في المركبة الأولى، زائد المركبة التانية في المركبة التانية. على الجذر التربيعي لمربع المركبة الأولى، زائد مربع المركبة التانية. يعني تسعة زائد الواحد، مضروبة في التسعة زائد التسعة. يبقى القيمة هتساوي بعد الاختصار، واحد على جذر خمسة. نتأكد من الحل، بإن إحنا نرسم المتجهين. لمّا هنرسم المتجهين، هنلاقي إن قياس الزاوية ما بينهم حوالي تلاتة وستين درجة تقريبًا.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده عن قياس الزاوية بين المتجهين. وإزّاي أثبتنا إن نقدر نحسب قيمة الزاوية بين متجهين، عن طريق استخدام الضرب القياسي.