فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة كثيرة الحدود الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية للدالة ﺩ(ﺱ) يساوي أربعة ﺱ تكعيب ناقص ١٢ﺱ ناقص خمسة.

نقاط القيم العظمى والصغرى المحلية هي أمثلة على النقاط الحرجة. ونحن نعلم أن النقاط الحرجة للدالة تظهر عندما تكون مشتقتها الأولى صفرًا أو غير معرفة. علينا إذن إيجاد تعبير للمشتقة الأولى للدالة ﺩ شرطة (ﺱ) ، ثم إيجاد الموضع الذي تساوي فيه صفرًا. لإيجاد ﺩ شرطة (ﺱ) ، يمكننا استخدام قاعدة القوة للاشتقاق. ‏‏ﺩ شرطة (ﺱ) تساوي أربعة مضروبًا في ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٢ مضروبًا في واحد. تذكر أن مشتقة الثابت، وهو هنا يساوي سالب خمسة، تساوي صفرًا، ويمكن تبسيط المشتقة إلى ١٢ﺱ تربيع ناقص ١٢. إذن لدينا تعبير للمشتقة الأولى للدالة ﺩ(ﺱ).

بعد ذلك، نجعل هذا التعبير يساوي صفرًا، ونحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة ﺱ. بإضافة ١٢ إلى الطرفين، ثم القسمة على ١٢، نحصل على ﺱ تربيع يساوي واحدًا. نحل المعادلة بأخذ الجذر التربيعي، ونتذكر أنه علينا أن نأخذ القيم الموجبة، وكذلك السالبة. ‏‏ﺱ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لواحد. وبما أن الجذر التربيعي لواحد يساوي واحدًا فقط، نحصل على ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد. والآن، هذه هي قيم ﺱ التي تظهر عندها النقاط الحرجة للدالة. علينا أيضًا إيجاد قيم الدالة نفسها عند هذه النقاط. وللقيام بذلك، نعود ونعوض بكل قيمة من قيمتي ﺱ في الدالة ﺩ(ﺱ).

‏‏ﺩ(واحد) يساوي أربعة مضروبًا في واحد تكعيب ناقص ١٢ مضروبًا في واحد ناقص خمسة، وهو ما يساوي سالب ١٣. ‏‏ﺩ(سالب واحد) تساوي أربعة مضروبًا في سالب واحد تكعيب ناقص ١٢ مضروبًا في سالب واحد ناقص خمسة، وهو ما يساوي ثلاثة. إذن، نجد أن الدالة لها نقاط حرجة عند النقاط: واحد، سالب ١٣؛ وسالب واحد، ثلاثة. لكن السؤال يطلب منا تحديد القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية للدالة ﺩ(ﺱ). علينا إذن تصنيف هذه النقاط الحرجة.

لكي نفعل ذلك، علينا تطبيق اختبار المشتقة الثانية. سنوجد تعبيرًا للمشتقة الثانية ﺩ شرطتين (ﺱ) للدالة التي لدينا، ثم نوجد قيمة ذلك عند كل نقطة حرجة. ووفقًا لإشارة ﺩ شرطتين (ﺱ) عند كل نقطة حرجة، سنعلم ما إذا كانت توجد نقاط قيمة عظمى محلية، أو نقاط قيمة صغرى محلية، أو ربما نقطة انقلاب. مرة أخرى، باشتقاق التعبير ﺩ شرطة (ﺱ) ، تذكر أن ﺩ شرطة (ﺱ) تساوي ١٢ﺱ تربيع ناقص ١٢. نجد أن المشتقة الثانية ﺩ شرطتين (ﺱ) تساوي ١٢ مضروبًا في اثنين ﺱ، وهو ما يساوي ٢٤ﺱ.

وبإيجاد قيمة ذلك عند ﺱ يساوي واحدًا، نحصل على ٢٤ مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي ٢٤. هذا أكبر من الصفر. يخبرنا اختبار المشتقة الثانية أنه إذا كانت المشتقة الثانية للدالة موجبة عند نقطة حرجة، فإن هذه النقطة الحرجة ستكون نقطة قيمة صغرى محلية. وبذلك، نعرف أن النقطة الحرجة: واحدًا، سالب ١٣، هي نقطة قيمة صغرى محلية للدالة ﺩ(ﺱ). وبإيجاد قيمة ﺩ شرطتين (ﺱ) عند النقطة الحرجة الأخرى عندما ﺱ يساوي سالب واحد، حصلنا على سالب ٢٤. هذا أقل من الصفر؛ ومن ثم فإن اختبار المشتقة الثانية يخبرنا أن هذه النقطة الحرجة هي نقطة قيمة عظمى محلية للدالة ﺩ(ﺱ).

يمكننا استنتاج أن الدالة ﺩ(ﺱ) هذه لها قيمة عظمى محلية، وهي ثلاثة، عندما يساوي ﺱ سالب واحد، وقيمة صغرى محلية، وهي سالب ١٣، عندما يساوي ﺱ موجب واحد. تذكر، في هذه المسألة، نستخدم الاشتقاق لإيجاد المشتقة الأولى للدالة، وسنسميها النقاط الحرجة. المشتقة الأولى ستساوي صفرًا أو ستكون غير معرفة. أوجدنا قيمة الدالة نفسها عند كل نقطة من النقاط الحرجة. ثم استخدمنا اختبار المشتقة الثانية لتصنيف هذه النقاط الحرجة باعتبارها نقاط قيمة صغرى محلية أو عظمى محلية.