فيديو الدرس: الأعداد النسبية وغير النسبية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية ونميز الفرق بينها.

٢٧:١٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية ونميز الفرق بينها. لنبدأ بتناول أنواع أو مجموعات الأعداد التي نعرفها بالفعل. في هذا المستوى، المجموعة الرئيسية أو تصنيف الأعداد تنتمي جميعها إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. وأصغر مجموعة فيها هي مجموعة أعداد العد، وهي الأعداد واحد، اثنان، ثلاثة، وهكذا. تشمل مجموعة الأعداد الكلية هذه المجموعة، لكنها تتضمن الصفر أيضًا. تشمل مجموعة الأعداد الصحيحة هاتين المجموعتين، وتتضمن أيضًا الأعداد السالبة المقابلة للأعداد الكلية.

سنتناول اليوم مجموعتين، وهما: الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية. نلاحظ أن هاتين المجموعتين تندرجان ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية. ولكن، لكي نجعل هذا الشكل أكثر دقة نوعًا ما، يمكن أن نقسم مجموعة الأعداد الحقيقية إلى أعداد نسبية أو أعداد غير نسبية؛ إذ لا توجد قيم تعتبر أعدادًا حقيقية ولا تندرج ضمن مجموعة الأعداد النسبية أو الأعداد غير النسبية. والآن سنرى ما المقصود بكون العدد نسبيًّا أو غير نسبي.

لنبدأ بالأعداد النسبية، العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على صورة كسر ﺃ على ﺏ، حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان وﺏ لا يساوي صفرًا. لنقسم هذا التعريف إلى أجزاء ونرى معنى كل جزء فيه. لكي يكون العدد نسبيًّا، يجب أن نتمكن من كتابته على صورة كسر. مذكور في المعطيات أن ﺃ وﺏ في الكسر يجب أن يكونا عددين صحيحين. نتذكر أن العدد الصحيح هو العدد الذي لا يحتوي على كسر أو جزء عشري، لكن مسموح بالأعداد السالبة والصفر في مجموعة الأعداد الصحيحة. ومذكور أيضًا أن ﺏ لا يمكن أن يساوي صفرًا. وهو المقام هنا؛ ومن ثم لا يمكن أن يكون المقام صفرًا. لنتناول الآن بعض الأعداد ونرى ما إذا كان يمكننا أن نحدد هل هي نسبية أم لا.

لنبدأ بقيمة صحيحة وهي العدد خمسة، إنه ليس كسرًا على الصورة ﺃ على ﺏ، لكن هل يمكن أن نكتبه على صورة كسر؟ حسنًا، تذكر أنه يمكن أن نكتب أي عدد صحيح على صورة كسر مقامه واحد. وهنا ﺃ على ﺏ عددان صحيحان. وكملحوظة هامشية، يمكن أيضًا أن نكتبه على صورة الكسر المكافئ ١٠٠ على ٢٠ أو سالب ٢٠ على سالب أربعة، وما زال كل منهما عددًا نسبيًّا. وبذلك، يمكننا القول إن القيمة خمسة عدد نسبي. ماذا عن الكسر ربع؟ هل هو عدد نسبي؟ يمكن أن نتحقق من ذلك باستخدام الكسر ﺃ على ﺏ، وهو هنا واحد على أربعة؛ واحد وأربعة عددان صحيحان وأربعة لا يساوي صفرًا. إذن، الربع هو عدد نسبي.

لننظر بعد ذلك إلى القيمة العشرية سالب ٣٫٧٥، هذا ليس كسرًا. لكن هل يمكن أن نكتبه على صورة كسر؟ تذكر أنه يمكننا كتابته على صورة العدد الكسري سالب ثلاثة و٧٥ على ١٠٠. ويمكن أن نبسطه أكثر ليصبح سالب ثلاثة وثلاثة أرباع. ومن ثم، يمكن أن نكتبه على صورة كسر بسطه أكبر من مقامه وهو سالب ١٥ على أربعة. وهكذا نلاحظ أننا حصلنا على هذه القيمة في صورة الكسر ﺃ على ﺏ. وبما أن سالب ١٥ وأربعة عددان صحيحان، فيمكننا القول إن سالب ٣٫٧٥ عدد نسبي.

في المثال التالي سنتناول العدد العشري ٠٫٣ دوري. يمكن أن نكتب ذلك على صورة كسر هكذا: واحد على ثلاثة. نلاحظ هنا أن كلًّا من البسط والمقام عددان صحيحان، وبذلك يكون ٠٫٣ دوري عددًا نسبيًّا. وأخيرًا، لنلق نظرة على الجذر التربيعي للعدد ٢٥. نتذكر أنه بما أن ٢٥ عدد مربع أو مربع كامل، فيمكن أن نكتب خمسة عوضًا عن ذلك. ورأينا من قبل أن خمسة عدد نسبي.

حتى الآن يبدو أن ثمة الكثير من الأعداد تعتبر أعدادًا نسبية. رأينا أن الأعداد الصحيحة والكسور أعداد نسبية، وكذلك الأعداد العشرية المنتهية مثل سالب ٣٫٧٥. ورأينا أن العدد العشري ٠٫٣ دوري عدد نسبي. ورأينا أيضًا أن الجذر التربيعي لمربع كامل هو عدد نسبي. إذن، ما القيم التي نعتبرها أعدادًا غير نسبية؟ يمكن أن نجد في الفئات الثلاث السابقة دليلًا على ذلك، لكن دعونا نتعمق أكثر في الأعداد غير النسبية.

الأعداد التي لا تكون نسبية تسمى الأعداد غير النسبية. معنى هذا أنه لا يمكننا كتابتها على صورة كسر ﺃ على ﺏ، حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان وﺏ لا يساوي صفرًا. تذكر الشكل الذي عرضناه سابقًا حيث قسمنا الأعداد الحقيقية إلى أعداد نسبية وأعداد غير نسبية؛ ما يعني أن العدد إما أن يمكن كتابته على صورة كسر ﺃ على ﺏ أو لا يمكن ذلك.

والآن، دعونا نر بعض الأعداد ونحدد ما إذا كانت أعدادًا غير نسبية. ربما أشهر عدد غير نسبي هو 𝜋. لكن لماذا نعتبره عددًا غير نسبي؟ القيمة العشرية التقريبية لـ 𝜋 تساوي ٣٫١٤١٥٩٢٦٥٤ وهكذا مع توالي الأرقام؛ ما يعني أن القيمة العشرية غير منتهية أو غير دورية. وبذلك، لا يمكننا كتابته على صورة الكسر ﺃ على ﺏ، حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان؛ ما يعني أن 𝜋 عدد غير نسبي. وكملحوظة هامشية، ربما رأيت أن ٢٢ على سبعة هي قيمة 𝜋، لكن هذه قيمة تقريبية للقيمة العشرية وليست قيمة 𝜋 الدقيقة. لنتناول مثالًا آخر، لدينا العدد العشري ٠٫٣٠٣٠٠٣٠٠٠٣ وهكذا مع توالي الأرقام. على الرغم من أن الأرقام بعد العلامة العشرية في هذا العدد ذات نمط متناسق، فإنه ليس نمطًا متكررًا. وإذا كان العدد العشري غير منته أو غير دوري؛ فهذا يعني أنه لا يمكن كتابته على صورة كسر ﺃ على ﺏ. إذن، هذه القيمة العشرية هي عدد غير نسبي.

في المثال التالي، سنتناول الجذر التربيعي للعدد ١١. رأينا سابقًا أن الجذر التربيعي لعدد مربع يعطينا قيمة صحيحة. لكن بما أن ١١ ليس عددًا مربعًا؛ فهو إذن جذر تربيعي لمربع غير كامل. القيمة العشرية في هذه الحالة ستكون قيمة غير منتهية وغير دورية؛ أي لا يمكن كتابتها على صورة كسر. وبذلك، فإن الجذر التربيعي لـ ١١ عدد غير نسبي. ماذا إذن عن الجذر التربيعي لخمسة على اثنين؟ يبدو هذا جيدًا لأن لدينا كسرًا. لكن في البسط، الجذر التربيعي لخمسة ليس عددًا صحيحًا، وهذا لا يتفق مع القاعدة التي تقول إنه في الكسر ﺃ على ﺏ، يجب أن يكون كل من ﺃ وﺏ قيمة صحيحة. وعلى ذلك، فإن جذر خمسة على اثنين عدد غير نسبي.

والآن سنتناول بعض الأمثلة على أسئلة تتضمن أعدادًا نسبية وأعدادًا غير نسبية. وفي كل مرة سنستخدم تعريف العدد النسبي. ونأمل بنهاية هذا الفيديو أن نكون قد فهمنا جيدًا كل جزء في هذا التعريف.

العدد ٠٫٤٥٦ دوري عدد نسبي أم غير نسبي؟

نتذكر هنا أن العدد النسبي هو العدد الذي يمكننا كتابته على صورة كسر ﺃ على ﺏ، حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان وﺏ لا يساوي صفرًا. والعدد غير النسبي هو العدد الذي لا يكون نسبيًّا. إذن، لكي نتحقق مما إذا كان ٠٫٤٥٦ دوري عددًا نسبيًّا، علينا أن نتأكد ما إذا كان من الممكن كتابته على صورة كسر ﺃ على ﺏ. سنستخدم طريقة منظمة لكتابة هذا العدد العشري الدوري على صورة كسر. تبدأ هذه الطريقة بتعريف متغير ﺱ يساوي ٠٫٤٥٦ دوري. يمكننا القول إن ﺱ يساوي ٠٫٤٥٦٤٥٦٤٥٦ وهكذا مع توالي الأرقام. في الخطوة التالية، سنكون قيمة أخرى بنفس الأرقام بعد العلامة العشرية للمتغير ﺱ. بما أن لدينا ثلاثة أرقام دورية، فإن الضرب في ١٠ أس ثلاثة هو نفسه الضرب في ١٠٠٠. وبذلك، ١٠٠٠ﺱ يساوي ٤٥٦٫٤٥٦٤٥٦ وهكذا.

لدينا الآن قيمتان فيهما الأرقام نفسها بعد العلامة العشرية. وبذلك، إذا طرحنا ١٠٠٠ﺱ ناقص ﺱ، فسنحصل على ٤٥٦ لأن كل رقم من الأرقام بعد العلامة العشرية سيطرح من قيمة مساوية أخرى. وبإكمال العملية الحسابية، يمكن أن نكتب ٩٩٩ﺱ يساوي ٤٥٦. وبإعادة الترتيب عن طريق قسمة الطرفين على ٩٩٩، نحصل على ﺱ يساوي ٤٥٦ على ٩٩٩. بما أننا حددنا سابقًا قيمة ﺱ بأنها تساوي ٠٫٤٥٦ دوري، فإننا بذلك نكون قد أثبتنا أنه يمكن كتابة هذا العدد العشري على صورة كسر. وبما أن كلًّا من البسط والمقام عددان صحيحان والمقام لا يساوي صفرًا، فإنه يتفق مع تعريف العدد النسبي. إذن، ٠٫٤٥٦ دوري عدد نسبي.

هل الجذر التربيعي لاثنين عدد نسبي أم غير نسبي؟

لنبدأ بتذكر تعريف العدد النسبي. العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على صورة كسر ﺃ على ﺏ، حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان وﺏ لا يساوي صفرًا. والعدد غير النسبي هو العدد الذي لا يكون نسبيًّا. لدينا هنا الجذر التربيعي لاثنين. نعلم أن الجذر التربيعي لاثنين يقع بين الجذر التربيعي لواحد والجذر التربيعي لأربعة؛ لأن واحدًا وأربعة هما أقرب عددين مربعين. القيمة الموجبة للجذر التربيعي لواحد هي واحد، والقيمة الموجبة للجذر التربيعي لأربعة هي اثنان.

باستخدام الآلة الحاسبة، يمكن أن نحسب الجذر التربيعي لاثنين وهو ١٫٤١٤٢١٣٥٦٢ وهكذا مع توالي الأرقام. الجزء العشري هنا ليس جزءًا عشريًّا دوريًّا. كما نلاحظ أنه لا ينتهي. إذن، لا يمكن كتابة كسر يعبر عن هذا العدد العشري والذي يكافئ الجذر التربيعي لاثنين؛ ما يعني أن تعريف العدد النسبي لا ينطبق هنا؛ أي إن الجذر التربيعي لاثنين عدد غير نسبي.

سنتناول في المثال التالي مسألة كلامية، وعلينا أن نحدد ما إذا كان ناتج العملية الحسابية عددًا نسبيًّا أم عددًا غير نسبي.

استنادًا إلى دار السك الأمريكية، قطر العملة المعدنية فئة ربع دولار يساوي ٠٫٩٥٥ بوصة. محيط هذه العملة يساوي القطر مضروبًا في 𝜋. هل محيط هذه العملة عدد كلي، أم عدد نسبي، أم عدد غير نسبي؟

لدينا هنا عملة نقدية فئة ربع دولار. مذكور في المعطيات أن طول القطر يساوي ٠٫٩٥٥ بوصة. وهي المسافة من أحد طرفي الدائرة إلى الطرف الآخر مرورًا بالمركز. ومذكور أن المحيط يساوي 𝜋 مضروبًا في طول القطر. وبذلك، يمكننا القول إن محيط هذه العملة يساوي ٠٫٩٥٥𝜋. المطلوب هو أن نحدد ما إذا كانت هذه القيمة عددًا كليًّا أم عددًا نسبيًّا أم عددًا غير نسبي. تذكر أن القيمة العشرية التقريبية لـ 𝜋 تبدأ بـ ٣٫١٤١٥٩٢٦٥٤ وهكذا مع توالي الأرقام. وبذلك، عندما نضرب هذا العدد في ٠٫٩٥٥، فبالتأكيد لن نحصل على عدد كلي. فلنلق نظرة على العدد النسبي.

العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على صورة كسر ﺃ على ﺏ، حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان وﺏ لا يساوي صفرًا. إذا لم نتمكن من التعبير عن عدد ما على صورة كسر ﺃ على ﺏ، فإن هذا العدد يكون عددًا غير نسبي. ويمكننا ببساطة أن نقول إن العدد غير النسبي هو العدد الذي لا يكون نسبيًّا. ربما نتذكر أن 𝜋 عدد غير نسبي. وهذا لأنه لا يمكننا التعبير عنه على صورة كسر ﺃ على ﺏ. وتوصلنا إلى هذه النتيجة لأن القيمة العشرية لـ 𝜋 غير منتهية، وليست عددًا عشريًّا دوريًّا. إذن، لدينا 𝜋، عدد غير نسبي، مضروبًا في ٠٫٩٥٥، وهو عدد نسبي. ويمكن أن نقول إنه عدد نسبي لأنه يساوي الكسر ٩٥٥ على ١٠٠٠.

ونحن بذلك نضرب عددًا نسبيًّا في عدد غير نسبي؛ ومن ثم سنحصل على عدد غير نسبي، وهذا ينطبق في كل الحالات ما عدا إذا كان العدد النسبي هو صفر. إذن، الإجابة هي أن محيط العملة المعدنية فئة ربع دولار والذي تبلغ قيمته ٠٫٩٥٥𝜋، هو عدد غير نسبي.

والآن سنتناول مثالًا أخيرًا، ويمكنك أن توقف الفيديو مؤقتًا بعد أن تقرأ السؤال أمامك وتحاول حله بمفردك أولًا.

مربع طول ضلعه ﺱ سنتيمتر ومساحته ٢٨٠ سنتيمترًا مربعًا. أي مما يلي صحيح عن ﺱ؟ عدد صحيح. عدد طبيعي. عدد نسبي. عدد غير نسبي. عدد سالب.

لنبدأ حل هذا السؤال برسم المربع. بما أنه مربع، فإن طول أضلاعه الأربعة يساوي ﺱ سنتيمتر. مذكور في المعطيات أن مساحته تساوي ٢٨٠ سنتيمترًا مربعًا. وبما أنه يمكن حساب مساحة المربع من خلال ضرب طول الضلع في نفسه، إذن ﺱ تربيع يساوي ٢٨٠. وبذلك، يمكن أن نحسب قيمة ﺱ عن طريق أخذ الجذر التربيعي للطرفين؛ ما يعني أن ﺱ يساوي الجذر التربيعي للعدد ٢٨٠. إذن، ماذا نقول عن ﺱ؟

لنبدأ بالنظر إلى القيمة ٢٨٠. إذا حسبنا قيمة بعض الأعداد المربعة القريبة من العدد ٢٨٠، فإننا نجد أن ١٦ تربيع يساوي ٢٥٦، و١٧ تربيع يساوي ٢٨٩. ومن ثم، ٢٨٠ ليس مربعًا كاملًا أو عددًا مربعًا. وجذره التربيعي ليس قيمة صحيحة. وإذا استخدمنا الآلة الحاسبة، فسنحصل على قيمة عشرية تقريبية تساوي ١٦٫٧٣٣٢٠٠٥٣ وهكذا مع توالي الأرقام.

لنلق نظرة على بعض خيارات الإجابة. العدد الصحيح لا يحتوي على جزء كسري ولا أرقام بعد العلامة العشرية، إذن الجذر التربيعي للعدد ٢٨٠ ليس عددًا صحيحًا. الأعداد الطبيعية تشمل الأعداد الصحيحة الموجبة، ما عدا الصفر. وعادة ما يطلق عليها أعداد العد لأنها تبدأ بواحد، اثنين، ثلاثة، وهكذا. وتندرج مجموعة الأعداد الطبيعية ضمن الأعداد الصحيحة. إذن، إذا كان العدد ٢٨٠ ليس عددًا صحيحًا، فلا يمكن أن يكون عددًا طبيعيًّا كذلك.

نتذكر أن العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على صورة كسر ﺃ على ﺏ، حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان وﺏ لا يساوي صفرًا. هل يمكن أن نكتب الجذر التربيعي للعدد ٢٨٠، وهو العدد العشري ١٦٫٧٣٣٢٠٠٥٣ وهكذا مع توالي الأرقام على صورة كسر ﺃ على ﺏ؟ الإجابة هي لا، لا يمكننا ذلك. هناك طريقة سريعة للتحقق مما إذا كان العدد العشري عددًا نسبيًّا، وهي أن ترى ما إذا كان عددًا منتهيًا أو دوريًّا. في كلتا الحالتين، سيكون العدد العشري عددًا نسبيًّا. لكن بما أن القيمة التي لدينا ليست أيًّا من ذلك، إذن فهي غير نسبية.

لنر الخيار التالي إذن؛ نتذكر أن العدد غير النسبي هو عدد لا يكون نسبيًّا. ومن الجدير بالذكر أن هذا ينطبق فقط داخل مجموعة الأعداد الحقيقية التي نتناولها هنا. وبما أننا وضحنا أنه ليس عددًا نسبيًّا؛ فهذا يعني أن القيمة التي لدينا لا بد أن تكون غير نسبية. يبدو أننا حصلنا بذلك على الإجابة، لكن دعنا نتحقق من الخيار (هـ).

هل يمكن أن يكون الجذر التربيعي لـ ٢٨٠ عددًا سالبًا؟ في الواقع، هذا ممكن لأنه عند إيجاد الجذر التربيعي لـ ٢٨٠، أي عند إيجاد ﺱ، يمكن أن نحصل على موجب ١٦٫٧٣٣ وهكذا مع توالي الأرقام، ويمكن أيضًا أن نحصل على سالب ١٦٫٧٣٣ وهكذا مع توالي الأرقام. لكننا نستبعد ببساطة من سياق المسألة أن يكون عددًا سالبًا. فلا يمكن أن يكون طول المربع سالبًا؛ ومن ثم لا يمكن أن تكون الإجابة هي الخيار (هـ). ولذا، إجابتنا النهائية هي أن ﺱ عدد غير نسبي.

والآن، دعونا نلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو. رأينا أن العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته في صورة كسر ﺃ على ﺏ، حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان وﺏ لا يساوي صفرًا. ومن أمثلة الأعداد النسبية ثلثان، وسالب ١٫٧٥، و٤٫٢٢ دوري والجذر التربيعي للعدد ٢٥.

إذا كان لدينا عدد عشري ونريد أن نتحقق ما إذا كان عددًا نسبيًّا؛ فإنه إذا كان عددًا عشريًّا دوريًّا أو عددًا عشريًّا منتهيًا، يكون بذلك عددًا نسبيًّا. وإذا كانت لدينا قيمة جذر تربيعي، فيمكن أن نتحقق ما إذا كانت جذرًا تربيعيًّا لمربع كامل. وإذا كانت كذلك، فإنها عدد نسبي.

وأخيرًا، تعلمنا أن العدد غير النسبي هو العدد الذي لا يكون نسبيًّا. ومن أمثلة الأعداد غير النسبية 𝜋، والجذر التربيعي لاثنين، و٠٫٣٠٣٠٠٣ وهكذا مع توالي الأرقام. وعليه، نستطيع الآن أن نحدد الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية ونميز بينها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.