فيديو الدرس: النسبة | نجوى فيديو الدرس: النسبة | نجوى

فيديو الدرس: النسبة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم النسبة لوصف العلاقة بين مقدارين، ثم نستخدم ذلك في حل مسائل واقعية.

١٨:٣٩

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم النسبة لوصف العلاقة بين مقدارين، ثم نستخدم ذلك في حل مسائل واقعية. كما سنتناول أيضًا كيفية كتابة النسب في أبسط صورة. حسنًا، سنبدأ بالأهم أولًا. ما النسبة؟ ببساطة شديدة، النسبة هي مقارنة بين إحدى القيم وقيمة أخرى. إذا فكرنا بإحدى الوصفات، فيمكننا إيجاد نسبة أحد المكونات إلى مكون آخر. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد نسبة السكر إلى اللبن. وفي هذه النسبة، سنقارن مقدار السكر مع مقدار اللبن. عند التعامل مع النسب، يكون الترتيب أحد أهم الأمور.

وبما أن المطلوب هو إيجاد نسبة السكر إلى اللبن، فقيمة السكر يجب أن تأتي أولًا، ثم قيمة اللبن ثانيًا. في هذه الوصفة، يوجد كوب واحد من السكر وكوبان من اللبن. يمكننا كتابة هذه النسبة باستخدام «إلى» بينهما. يمكننا القول: كوب إلى كوبين. لكن بما أن الوحدتين عبارة عن أكواب، فسنكتب أن النسبة بين السكر واللبن هي واحد إلى اثنين؛ أي جزء من السكر إلى جزأين من اللبن. هذه إحدى طرق كتابة النسبة. ويوجد طريقة أخرى لكتابة ذلك، وهي أن نضع نقطتين رأسيتين في المنتصف. ولا يزال هذا السطر الثاني يقول من واحد إلى اثنين. عند وجود نقطتين رأسيتين بين القيمتين، فإنها تقرأ «إلى». والخيار الثالث لكتابة هذه النسبة هو كتابتها في صورة كسر؛ واحد على اثنين.

باستخدام الوصفة نفسها، دعونا نفكر في نسبة أخرى؛ وهي نسبة الدقيق إلى اللبن. مرة أخرى، الترتيب مهم جدًّا. القيمة الأولى هي الدقيق، والقيمة الثانية هي اللبن. يوجد ثلاثة أكواب من الدقيق في هذه الوصفة، وكوبان من اللبن مجددًا. يمكننا كتابة ذلك بالكلمات على صورة النسبة ثلاثة إلى اثنين، أو كتابته بالنقطتين الرأسيتين؛ ٣ : ٢. وأخيرًا، ثلاثة على اثنين؛ أي في صورة كسر. لاحظ أننا عندما نتعامل مع الكسور، فإن القيمة الأولى ستكون البسط، والقيمة الثانية ستكون المقام.

الآن وبعد أن رأينا الطرق الأساسية للتعبير عن النسب، سنلقي نظرة على كيفية إيجاد أبسط صورة للنسب. للتفكير في أبسط صورة للنسب، دعونا نتخيل أنه يوجد في أحد المدارس ناد للركض وناد لكرة السلة. عدد أعضاء نادي الركض هو ١٥٠ عضوًا، وعدد أعضاء نادي كرة السلة ٧٥ عضوًا. ونريد أن نعرف نسبة العدائين إلى لاعبي كرة السلة في المدرسة. مرة أخرى، الترتيب مهم للغاية هنا، فلدينا العداءون أولًا، ولاعبو كرة السلة ثانيًا. وهكذا نكتب ١٥٠ إلى ٧٥. ولكن لإيجاد أبسط صورة لها، علينا معرفة إذا ما كان ١٥٠ و٧٥ بينهما عوامل مشتركة. ١٥٠ و٧٥ كلاهما يقبل القسمة على ٢٥. ١٥٠ على ٢٥ يساوي ستة. و٧٥ على ٢٥ يساوي ثلاثة.

علمنا من السطر الأول أن نسبة عدد العدائين إلى لاعبي كرة السلة هي ١٥٠ إلى ٧٥. يوجد طريقة أخرى للتعبير عن هذا؛ وهي قول إن لكل ١٥٠ عداء، هناك ٧٥ لاعب كرة سلة. لكن هناك طريقة أبسط للتعبير عن ذلك بقول إن لكل ستة عدائين، يوجد ثلاثة من لاعبي كرة السلة. ومع ذلك، يجب ملاحظة أن ثلاثة وستة بينهما عامل مشترك وهو ثلاثة. ستة على ثلاثة يساوي اثنين، وثلاثة على ثلاثة يساوي واحدًا. إذن، نسبة العدائين إلى لاعبي كرة السلة هي اثنان إلى واحد.

يمكننا تناول ذلك بطريقة أخرى. تذكر أنه يمكننا كتابة النسب في صورة كسور، وتكون القيمة الأولى هي البسط، والقيمة الثانية هي المقام. والتعامل مع النسب يماثل تمامًا التعامل مع الكسور، فإذا قسمنا إحدى القيم على عدد ما، فعلينا قسمة القيمة الأخرى على هذا العدد نفسه.

حسنًا، ١٥٠ على ٧٥ يبسط إلى ستة على ثلاثة، ويمكن تبسيطه مرة أخرى إلى اثنين على واحد. كان بإمكاننا ملاحظة أن ٧٥ هو أحد عوامل العدد ١٥٠. وهذا يعني أنه كان بإمكاننا من البداية قسمة الطرفين على ٧٥، وهو ما سيعطينا أيضًا اثنين إلى واحد. قبل تناول بعض الأمثلة، هناك شيء آخر علينا أن نلاحظه حول النسب. إنه النسب المتكافئة.

تعبر النسب المتكافئة عن نفس العلاقة بين القيم. ما لدينا هنا، ١٥٠ إلى ٧٥ وستة إلى ثلاثة واثنان إلى واحد، هي نسب متكافئة. جميعها توضح العلاقة بين العدائين ولاعبي كرة السلة في الأندية المدرسية. يمكننا إيجاد النسب المتكافئة كما فعلنا هنا بقسمة جزأي النسبة على المقدار نفسه. يمكنك أيضًا إيجاد النسبة المكافئة بضرب طرفي النسبة في العدد نفسه. هذه النسبة ٢٠ إلى ١٠ هي نسبة مكافئة أخرى للنسبة اثنين إلى واحد. ٢٠ إلى ١٠ هي أحد مضاعفات اثنين إلى واحد.

بالاستعانة بهذه المعلومات، نكون مستعدين لتناول المثال الأول.

في أحد أحواض السمك، كل ثلاث سمكات من الذكور يقابلها سبع من الإناث. ما نسبة الذكور إلى الإناث في الحوض؟

نحن نعرف أن النسبة هي مقارنة بين قيمتين مختلفتين. في هذه الحالة، ستكون عبارة عن نسبة السمكات الذكور إلى السمكات الإناث. من المهم الحفاظ على الترتيب هنا. نسبة الذكور إلى الإناث تعني أن القيمة التي تأتي أولًا هي عدد السمكات الذكور. هناك ثلاث سمكات ذكور لكل سبع سمكات إناث. وهذا يعني أن لدينا النسبة ثلاثة إلى سبعة. يمكننا كتابة ذلك بكتابة النقطتين الرأسيتين في المنتصف؛ ٣ : ٧، أو في صورة كسر؛ ثلاثة على سبعة. تحدد كلتا القيمتين النسبة بشكل صحيح.

لكن قبل أن نكمل، نلاحظ أن هذا لا يعني أنه لا يوجد سوى ثلاث سمكات من الذكور وسبع سمكات من الإناث في الوعاء. يخبرنا هذا فقط بنسبة الذكور إلى الإناث. على سبيل المثال، في وعاء السمك هذا، يوجد ستة من الذكور و١٤ من الإناث. إذا وضعنا ثلاثة ذكور معًا وسبع إناث معًا في مجموعة، فيمكننا فعل ذلك مرتين. في هذه الحالة، لدينا ستة من الذكور و١٤ من الإناث، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ثلاثة على سبعة. لذا، على الرغم من أنه يمكننا التأكد من أن النسبة هي ثلاثة إلى سبعة، فإننا لا نعرف عدد السمكات الموجودة في الحوض بالضبط.

المطلوب في المثال التالي هو إيجاد النسبة في أبسط صورة.

أوجد نسبة عدد المربعات إلى عدد المثلثات في أبسط صورة.

عندما نتعامل مع النسب، فإننا نعلم أن الترتيب مهم جدًّا. في هذه الحالة، نحن نبحث عن النسبة بين عدد المربعات إلى عدد المثلثات. لكننا نلاحظ أننا نريد إيجادها في أبسط صورة. أول ما علينا فعله هو تحديد عدد المربعات وعدد المثلثات في الصورة. إجمالًا، لدينا ١٤ مربعًا وثمانية مثلثات. وبما أن المطلوب هو نسبة المربعات إلى المثلثات، فإن عدد المربعات يأتي أولًا ثم المثلثات ثانيًا. وهذا يعني أن النسبة لدينا هي ١٤ إلى ثمانية. وعند كتابة هذا في صورة كسر، يكون ١٤ هو البسط، وثمانية هو المقام.

لإيجاد هذه القيمة في أبسط صورة، علينا تحديد إذا ما كان للعددين ثمانية و١٤ أي عوامل مشتركة. العددان ١٤ وثمانية هما عددان زوجيان، وبالتالي فهما يقبلان القسمة على اثنين. ١٤ على اثنين يساوي سبعة. ثمانية على اثنين يساوي أربعة. إذن لدينا النسبة المكافئة سبعة إلى أربعة. نحن نعلم أن العدد سبعة عدد أولي، وهذا يعني أن سبعة وأربعة لن يشتركا في أي عوامل أخرى ما عدا العدد واحدًا. إذن، سبعة إلى أربعة هي أبسط صورة لنسبة المربعات إلى المثلثات هنا.

إذا أردنا تصور هذا، يمكننا القول إنه لكل سبعة مربعات، يوجد أربعة مثلثات. وبأخذ مجموعة ثانية من سبعة مربعات، نحصل على مجموعة ثانية من أربعة مثلثات، ما يؤكد أن نسبة المربعات إلى المثلثات هي سبعة إلى أربعة.

في المثال التالي، لدينا نسبة، وعلينا تفسير ما تعنيه هذه النسبة.

أكمل ما يلي: في متجر للمثلجات، النسبة بين عبوات المثلجات الصغيرة المبيعة وعبوات المثلجات الكبيرة خمسة إلى تسعة. لكل (فراغ) من عبوات المثلجات الكبيرة المبيعة، يوجد (فراغ) من عبوات المثلجات الصغيرة المبيعة.

في البداية، سنفكر فيما نعرفه. لدينا هذه النسبة خمسة إلى تسعة. لكي نفهم النسبة خمسة إلى تسعة، علينا معرفة العلاقة التي تمثلها. إنها نسبة عبوات المثلجات الصغيرة المبيعة إلى عبوات المثلجات الكبيرة المبيعة. وهذا يعني أن القيمة الأولى خمسة تمثل عدد عبوات المثلجات الصغيرة المبيعة، بينما القيمة تسعة في هذه النسبة تمثل عدد عبوات المثلجات الكبيرة المبيعة. خمسة إلى تسعة، هي إذن نسبة المقدار الصغير إلى المقدار الكبير.

إذا قرأنا الجملة التي علينا حلها بعناية، فسنرى أننا نريد أن نعرف لكل كم عبوة مثلجات كبيرة مبيعة، توجد كم عبوة مثلجات صغيرة مبيعة. وهذا يعني أن القيمة تسعة يجب أن تنسب إلى العبوات الكبيرة، ويجب أن تنسب القيمة خمسة إلى العبوات الصغيرة. مقابل كل تسع عبوات مثلجات كبيرة مبيعة، توجد خمس عبوات مثلجات صغيرة مبيعة؛ لأن نسبة المقدار الصغير إلى الكبير هي خمسة إلى تسعة. إذن، أول فراغ يجب أن يكون تسعة، وثاني فراغ يجب أن يكون خمسة.

دعونا نفكر في نسبة أخرى حيث علينا إيجاد أبسط صورة.

إذا كان أحد الفصول فيه ٥٠ فتى و٢٠ فتاة، فاحسب نسبة الفتيات إلى الفتيان في أبسط صورة.

علينا هنا إيجاد النسبة. وهي مقارنة بين قيمتين مختلفتين. ستكون المقارنة بين عدد الفتيات وعدد الفتيان في الفصل. عند التعامل مع النسب، يكون الترتيب مهمًّا للغاية. يجب أن تمثل النسبة هنا عدد الفتيات إلى عدد الفتيان. لكن عندما نقرأ المسألة، نلاحظ أن المعطيات جاءت بترتيب معكوس. تقول المعطيات ٥٠ فتى و٢٠ فتاة. هذه ليست مشكلة. علينا فقط أن نقرأ بعناية ونلاحظ أنه يوجد ٢٠ فتاة و٥٠ فتى.

سنعوض بالقيمة ٢٠ للفتيات و٥٠ للفتيان، بحيث تكون النسبة بين الفتيات إلى الفتيان هي ٢٠ إلى ٥٠. لكننا لم ننته هنا، لأننا نبحث عن أبسط صورة. تكون النسبة في أبسط صورة عندما لا يكون بين القيمتين أي عوامل مشتركة فيما عدا العدد واحدًا. ونلاحظ هنا أن ٢٠ و٥٠ يقبلان القسمة على ١٠. وللحفاظ على هذه النسبة متكافئة، نقسم كلا الطرفين على ١٠. ٢٠ على ١٠ يساوي اثنين. ٥٠ على ١٠ يساوي خمسة. وبهذا، نحصل على نسبة مبسطة مكافئة، وهي اثنان إلى خمسة. اثنان وخمسة كلاهما عدد أولي، ما يعني أنهما لا يشتركان في أي عوامل مشتركة، لذلك هما في أبسط صورة. إذن، النسبة بين عدد الفتيات إلى عدد الفتيان في هذا الفصل في أبسط صورة هي اثنان إلى خمسة.

مفتاح حل هذه المسألة هو معرفة ترتيب ما تريد إيجاده. لو كنت قد كتبت النسبة في صورة خمسة إلى اثنين، لكانت هذه هي النسبة بين الفتيان والفتيات، وهي ما لم نكن نبحث عنه، وبذلك ستكون النسبة غير صحيحة. عند حل هذه المسائل، عليك القراءة بعناية.

في المثال التالي، علينا القيام بخطوة إضافية قبل أن نتمكن من إيجاد النسبة.

في مقابل كل سبع حقائب، تمتلك رانيا  خمسة أزواج من الأحذية. ما نسبة الحقائب إلى إجمالي عدد الحقائب والأحذية؟

نحن نبحث هنا عن النسبة، ونعرف أن النسبة هي مقارنة بين مقدارين مختلفين. عند حل مسائل النسب، علينا دائمًا أن نحدد بحرص الكميات التي نقارن بينها. وستكون النسبة هنا بين عدد الحقائب وإجمالي عدد الحقائب والأحذية. القيمة الأولى هي عدد الحقائب، لكن القيمة الثانية ستكون عدد الحقائب والأحذية معًا. نحن نعلم أن مقابل كل سبع حقائب، تمتلك رانيا  خمسة أزواج من الأحذية. يمكننا كتابة العدد سبعة في خانة عدد الحقائب. لكن بالنسبة إلى الإجمالي، فسنحتاج إلى سبعة ثم خمسة. سبعة زائد خمسة يساوي ١٢. إذن، هذه النسبة هي سبعة إلى ١٢.

مرة أخرى، مفتاح حل هذه المسألة هو التحديد الصحيح لكل جزء من النسبة. فقد عرفنا أن الجزء الأول يمثل عدد حقائب رانيا . لكن كان علينا معرفة أن الجزء الثاني — وهو الكمية الثانية التي نقارن معها — يمثل الحقائب والأحذية وهي قيمة إجمالية، وتتطلب خطوة إضافية تتمثل في جمع عدد الأحذية وعدد الحقائب. عندما ننظر إلى سبعة و١٢، نلاحظ عدم وجود أي عوامل مشتركة بينهما باستثناء العدد واحد. إذن، سبعة إلى ١٢ هي أبسط صورة.

في المثال الأخير، سنتناول النسبة بين طولي قطعتين مستقيمتين.

ما النسبة بين طولي ﺃﺟ وﺃﻫ في أبسط صورة؟

ستكون النسبة هنا عبارة عن مقارنة بين طولين. القطعة الأولى التي تهمنا هي ﺃﺟ، وهي هذه المسافة. والمسافة الثانية التي نريدها هي ﺃﻫ، وهي هذه المسافة. قبل أن نفعل أي شيء آخر، يجب أن نلاحظ أن النسبة ستكون ﺃﺟ إلى ﺃﻫ. وهذا لأنه موضح لدينا أن ﺃﺟ جاء أولًا وﺃﻫ جاء ثانيًا. وهذا يحدد ترتيب النسبة. لكن عندما ننظر جيدًا إلى القطعة المستقيمة، نلاحظ أننا ليس لدينا أي مسافة فعلية.

لكننا نعلم أن هذه القطع متساوية في الطول. وتتضمن ﺃﺟ قطعتين متساويتين، بينما تتضمن ﺃﻫ أربع قطع متساوية. وهذا يعني أنه يمكننا كتابة النسبة على الصورة اثنان إلى أربعة. إذا كنت لا تزال غير متأكد من صحة ذلك لأنه ليس لدينا قياس فعلي، فتخيل أن طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي خمس بوصات. وهذا يعني أن طول كل قطعة من هذه القطع يساوي خمس بوصات. وهذا يجعل طول ﺃﺟ يساوي ١٠ بوصات وطول ﺃﻫ يساوي ٢٠ بوصة. وستكون هذه نسبة مكافئة. بذلك، تكون النسبة بين طولي هاتين القطعتين المستقيمتين اثنين إلى أربعة بغض النظر عن الكيفية التي نقيس بها المسافة.

لكننا نعلم أننا نريد أبسط صورة. وهذا يعني أن علينا التفكير فيما إذا كان اثنان وأربعة بينهما أي عوامل مشتركة. كل من هاتين القيمتين تقبل القسمة على اثنين. اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا. أربعة مقسومًا على اثنين يساوي اثنين. وهذا يعني، في أبسط صورة، أن النسبة بين طولي هاتين القطعتين المستقيمتين هي واحد إلى اثنين. إذن، نسبة ﺃﺟ إلى ﺃﻫ هي واحد إلى اثنين. إذا كنت تريد طريقة أخرى لتصور ذلك، فكل جزء في ﺃﺟ، يقابله جزءان في ﺃﻫ. مرة أخرى، يمكننا أن نجد قطعة واحدة في ﺃﺟ وقطعتين في ﺃﻫ، وهي النسبة واحد إلى اثنين.

والآن نحن مستعدون لتلخيص ما تعلمناه. النسبة هي مقارنة بين مقدار ومقدار آخر. ها هي الصيغ الثلاثة التي نستخدمها عمومًا عند كتابة النسب؛ التفاح إلى الموز والتفاح نقطتان رأسيتان الموز، والتي تقرأ «التفاح إلى الموز»، والتفاح على الموز. وعند التعامل مع النسب، نقرأ التفاح على الموز على الصورة «التفاح إلى الموز». وأخيرًا، تكون النسبة في أبسط صورة عندما لا يكون بين المقدارين أي عوامل مشتركة.

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية