فيديو السؤال: إيجاد مشتقة دالة مثلثية مركبة باستخدام قاعدة السلسلة الرياضيات

أوجد مشتقة الدالة ﺹ = ظتا^٢ (جا 𝜃).

٠٦:١١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مشتقة الدالة ﺹ تساوي ظتا تربيع لـ جا 𝜃.

المطلوب منا في السؤال هو إيجاد مشتقة الدالة ﺹ. ونلاحظ أن الدالة ﺹ معطاة بدلالة 𝜃. لذا، فإننا نريد إيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى 𝜃. وهناك عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها لاشتقاق هذه الدالة. أولًا، نلاحظ أننا نأخذ ظتا تربيع لـ جا 𝜃. لذا، بدلًا من كتابة ﺹ على صورة تربيع، يمكننا كتابة ﺹ على صورة ظتا لـ جا 𝜃 مضروبًا في نفسه. وبما أن الدالة ﺹ هي حاصل ضرب دالتين، فيمكننا محاولة اشتقاقها باستخدام قاعدة الضرب.

وهذه القاعدة مناسبة هنا. لكننا سنفعل ذلك باستخدام قاعدة السلسلة مرتين. ومن ثم، لاستخدام قاعدة السلسلة، سنفترض أولًا أن الدالة ﺹ ناتجة من تركيب دالتين. أولًا، كان لدينا ظتا لـ جا 𝜃. وبعد ذلك ربعنا هذه القيمة. نحن نتذكر الآن الصيغة الآتية من قاعدة السلسلة. إذا كانت ﺹ دالة في المتغير ﻉ، وﻉ دالة في المتغير 𝜃؛ فإن ﺩﺹ على ﺩ𝜃 يساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ في ﺩﻉ على ﺩ𝜃.

لاستخدام قاعدة السلسلة لإيجاد ﺩﺹ على ﺩ𝜃، سنجعل الدالة ﻉ الدالة الداخلية، وهي ظتا لـ جا 𝜃. وباستخدام ذلك، نجد أننا قد أعدنا كتابة ﺹ على صورة ﻉ تربيع. ‏ﺹ دالة في المتغير ﻉ، وﻉ دالة في المتغير 𝜃. لذا، باستخدام قاعدة السلسلة، يصبح لدينا: ﺩﺹ على ﺩ𝜃 يساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ في ﺩﻉ على ﺩ𝜃. وهنا، يمكننا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻉ. لكن لا يمكننا إيجاد قيمة ﺩﻉ على ﺩ𝜃 مباشرة. وهذا لأن الدالة ﻉ ناتجة من تركيب دالتين؛ وهي تساوي ظتا لـ جا 𝜃.

إذن، لإيجاد مشتقة ﻉ بالنسبة إلى 𝜃، علينا تطبيق قاعدة السلسلة مرة أخرى. لكن هذه المرة، سنكتب قاعدة السلسلة بطريقة مختلفة قليلًا. إذا كانت ﻉ دالة في المتغير ﻕ، وﻕ دالة في المتغير 𝜃؛ فإن ﺩﻉ على ﺩ𝜃 يساوي ﺩﻉ على ﺩﻕ في ﺩﻕ على ﺩ𝜃. ولاستخدام قاعدة السلسلة هذه المرة، سنجعل الدالة ﻕ الدالة الداخلية، وهي جا 𝜃. وبذلك نكون قد أعدنا كتابة ﻉ على صورة ظتا ﻕ. وﻉ هو دالة في المتغير ﻕ، وﻕ دالة في المتغير 𝜃.

يمكننا الآن استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد مقدار يعبر عن ﺩﻉ على ﺩ𝜃. وباستخدام هذه القاعدة، نجد أن: ﺩﻉ على ﺩ𝜃 يساوي ﺩﻉ على ﺩﻕ في ﺩﻕ على ﺩ𝜃. وبذلك، يصبح لدينا الآن هذا المقدار الجديد لـ ﺩﺹ على ﺩ𝜃. ويمكننا إيجاد كل أجزاء هذا المقدار. لذا، دعونا نوجد قيمة كل جزء من هذه الأجزاء على حدة.

أولًا، ﺩﺹ على ﺩﻉ هو مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻉ. ونحن نعرف أن ﺹ يساوي ﻉ تربيع، لذا فإن هذه هي مشتقة ﻉ تربيع بالنسبة إلى ﻉ. ويمكننا حساب هذه المشتقة باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. وبذلك، فإننا نضرب في أس ﻉ، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وهذا يعطينا اثنين ﻉ.

دعونا نوجد الآن الجزء الثاني، وهو مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻕ. نحن نعرف أن ﻉ يساوي ظتا ﻕ. لذا، علينا اشتقاق ظتا ﻕ بالنسبة إلى ﻕ. وهذه هي إحدى نتائج المشتقات القياسية للدوال المثلثية. نحن نعلم أن مشتقة ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب قتا تربيع ﺱ. ومن ثم، فإن مشتقة ظتا ﻕ بالنسبة إلى ﻕ تساوي سالب قتا تربيع ﻕ.

وأخيرًا، نريد إيجاد مقدار يعبر عن ﺩﻕ على ﺩ𝜃. نحن نعرف أن ﻕ يساوي جا 𝜃. لذا، فإن هذا هو مشتقة جا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. ومرة أخرى، هذه هي إحدى نتائج المشتقات المثلثية القياسية التي يجب علينا حفظها جيدًا. مشتقة جا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي جتا 𝜃. بذلك، نكون قد أوضحنا أن ﺩﺹ على ﺩ𝜃 يساوي اثنين ﻉ في سالب قتا تربيع ﻕ مضروبًا في جتا 𝜃.

بضرب هذه القيم معًا وإعادة ترتيبها، نحصل على سالب اثنين جتا 𝜃 في ﻉ في قتا تربيع ﻕ. ويمكننا أن نترك إجابتنا بهذا الشكل. لكن تذكر أننا نحاول إيجاد مقدار يعبر عن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى 𝜃. لذا، علينا كتابة الإجابة بدلالة 𝜃. ويمكننا فعل ذلك من خلال تذكر أن ﻉ يساوي ظتا لـ جا 𝜃، وﻕ يساوي جا 𝜃.

بالتعويض بالمقدارين المعبرين عن ﻉ وﻕ، نجد أن ﺩﺹ على ﺩ𝜃 يساوي سالب اثنين جتا 𝜃 في ظتا لـ جا 𝜃 مضروبًا في قتا تربيع لـ جا 𝜃. وهذه هي إجابتنا النهائية. إذن، باستخدام قاعدة السلسلة مرتين، نكون قد استطعنا توضيح قيمة مشتقة الدالة ﺹ تساوي ظتا تربيع لـ جا 𝜃. إنها تساوي سالب اثنين جتا 𝜃 في ظتا لـ جا 𝜃 مضروبًا في قتا تربيع لـ جا 𝜃.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.