تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الصورة التربيعية لكثيرات الحدود

أحمد مدحت

يوضح الفيديو الصورة التربيعية لكثيرة الحدود، وكيفية كتابة كثيرة حدود في الصورة التربيعية، وحل معادلات كثيرات الحدود باستخدام الصورة التربيعية.

١١:١١

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن الصورة التربيعية لكثيرة الحدود.

في الفيديو ده، هنعرف إيه هي الصورة التربيعية لكثيرة الحدود. وكمان هنشوف إزّاي نقدر نكتب كثيرة حدود في الصورة التربيعية. وكمان هنعرف إزّاي نحلّ معادلات كثيرات حدود باستخدام الصورة التربيعية.

هنبدأ بالصورة التربيعية. فساعات بنقدر نكتب كثيرة حدود فيها المتغيّر س على الصورة: أ ن تربيع، زائد ب ن، زائد ج. فمثلًا لو فرضنا إن الـ س تربيع بتساوي ن. نقدر نكتب كثيرة الحدود: س أُس أربعة، زائد اتناشر س أُس اتنين، زائد اتنين وتلاتين على الصورة: س أُس اتنين الكل أُس اتنين، زائد اتناشر س أُس اتنين، زائد اتنين وتلاتين. وإحنا فارضين إن س تربيع بتساوي ن. يعني نقدر نعوّض بـ ن مكان س تربيع. فهتبقى كثيرة الحدود عبارة عن: ن تربيع، زائد اتناشر ن، زائد اتنين وتلاتين. بالنسبة لكثيرة الحدود الجديدة، فهي بتكافئ أو بتساوي كثيرة الحدود الأصلية. لكن مكتوبة على الصورة التربيعية.

بكده نقدر نقول: إن الصورة التربيعية لكثيرة الحدود هي: أ ن تربيع، زائد ب ن، زائد ج، بحيث إن أ لا يساوي صفر، وَ أ وَ ب وَ ج عبارة عن أعداد حقيقية. ونقدر نكتب بعض كثيرات الحدود اللي بيكون فيها المتغيّر س على الصورة دي بعد ما نعرّف ن بدلالة س. فمثلًا لو هنكتب كثيرة الحدود: اتناشر س أُس ستة، زائد تمنية س أُس تلاتة، زائد واحد في الصورة التربيعية. فهي هتساوي: تلاتة في، اتنين س أُس تلاتة الكل تربيع، زائد أربعة في، اتنين س أُس تلاتة، زائد واحد.

بعد ما عرفنا الصورة التربيعية لكثيرة الحدود، هنشوف أمثلة نعرف بيها إزّاي نقدر نكتب كثيرة حدود في الصورة التربيعية. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا مثال. عندنا في المثال مقدارين جبريين عايزين نكتبهم في الصورة التربيعية، لو أمكن.

هنبدأ بالمقدار أ، وهو: مية وخمسين أ أُس تمنية، زائد أربعين أ أُس أربعة، ناقص خمستاشر. علشان نكتب كثيرة حدود على الصورة التربيعية، فإحنا بنختار المقدار الجبري اللي هيساوي المتغيّر ن، اللي موجود في الصورة العامة للصورة التربيعية. وده هيكون من خلال إن إحنا هنبصّ عَ الحدود اللي فيها المتغيّرات، وبالأخص هنهتمّ بالأُسُس بتاعة المتغيّر الأصلي اللي موجود. وده اللي هيخلّينا نحدّد إذا كنّا نقدر نكتب كثيرة الحدود في الصورة التربيعية ولّا لأ.

فلو عندنا كثيرة حدود مكتوبة بحيث إن حدودها مترتّبة ترتيب تنازلي حسب أُس المتغيّر اللي موجود في كل حدّ، يعني مكتوب على الصورة أو الصيغة القياسية. ولقينا إن أُس المتغيّر بتاع الحدّ الأول ضعف أُس المتغيّر بتاع الحدّ التاني. ده معناه إن إحنا هنقدر نكتبها على الصورة التربيعية. لكن لو ما كانش ضعف أُس المتغيّر بتاع الحدّ التاني، فإحنا مش هنقدر نكتبها على الصورة التربيعية.

فبالنسبة للمقدار: مية وخمسين أ أُس تمنية، زائد أربعين أ أُس أربعة، ناقص خمستاشر. هنلاقي إن أُس المتغيّر أ اللي موجود في الحدّ الأول ضعف أُس المتغيّر أ اللي موجود في الحدّ التاني. ده معناه إن إحنا هنقدر نكتب المقدار ده في الصورة التربيعية. بعد كده هنلاقي إن فيه عندنا معامل لـ أ أُس تمنية، وهو مية وخمسين. وكمان فيه معامل لـ أ أُس أربعة، وهو أربعين. فهنبدأ ندوّر على عاملين للعدد مية وخمسين، بحيث يكون فيه واحد فيهم مربع كامل. وعن عاملين للعدد أربعين، بحيث يكون فيه واحد فيهم جذر تربيعي لواحد من العاملين بتوع العدد مية وخمسين. بالنسبة للمية وخمسين، فهي عبارة عن ستة في خمسة وعشرين. والخمسة وعشرين عبارة عن مربع كامل. أمَّا أربعين، فهي بتساوي تمنية في خمسة. والخمسة عبارة عن الجذر التربيعي لخمسة وعشرين.

بكده هيبقى المقدار الجبري: مية وخمسين أ أُس تمنية، زائد أربعين أ أُس أربعة، ناقص خمستاشر. يساوي ستة في خمسة وعشرين أ أُس تمنية، زائد تمنية في خمسة أ أُس أربعة، ناقص خمستاشر. بالنسبة لخمسة وعشرين أ أُس تمنية، فهي بتساوي خمسة أ أُس أربعة الكل تربيع. يعني المقدار الجبري هيساوي ستة، خمسة أ أُس أربعة الكل تربيع؛ زائد تمنية، خمسة أ أُس أربعة؛ ناقص خمستاشر. وهي دي الصورة التربيعية للمقدار الجبري.

بعد كده المقدار ب، وهو: ص أُس تمنية، زائد اتناشر ص أُس تلاتة، زائد تمنية. هنلاقي إن أُس المتغيّر ص اللي موجود في الحدّ الأول مش ضعف أُس المتغيّر ص اللي موجود في الحدّ التاني. وبالتالي مش هنقدر نكتبها على الصورة التربيعية. وده بسبب إن ص أُس تمنية لا يساوي ص أُس تلاتة الكل أُس اتنين. معنى كده إن فيه كثيرات حدود ما نقدرش نكتبها على الصورة التربيعية.

هنقلب الصفحة. في بعض الأوقات، بنستخدم الصورة التربيعية؛ علشان نحلّ معادلات كثيرات حدود درجاتها أكبر من الدرجة التانية. فهنشوف مثال نعرف بيه إزّاي نحلّ معادلات كثيرات الحدود باستخدام الصورة التربيعية. هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا، عايزين نحلّ المعادلة: تمنتاشر س أُس أربعة، ناقص واحد وعشرين س أُس اتنين، زائد تلاتة يساوي صفر.

أول حاجة، هنلاحظ إن أُس المتغيّر س اللي موجود في الحدّ الأول هو ضعف أُس المتغيّر س اللي موجود في الحدّ التاني. ده معناه إن كثيرة الحدود اللي عندنا نقدر نكتبها على الصورة التربيعية. فأول خطوة هنعملها، هنكتب كثيرة الحدود: تمنتاشر س أربعة، ناقص واحد وعشرين س أُس اتنين، زائد تلاتة على الصورة التربيعية. هنكتب الأول المعادلة اللي عندنا مرة كمان. المعادلة هي: تمنتاشر س أُس أربعة، ناقص واحد وعشرين س تربيع، زائد تلاتة يساوي صفر.

بعد كده هنبدأ ندوّر على عاملين للعدد تمنتاشر، بحيث يكون فيه واحد منهم مربع كامل. وعن عاملين للعدد واحد وعشرين، بحيث يكون فيه واحد فيهم عبارة عن الجذر التربيعي لواحد من العاملين بتوع العدد تمنتاشر. فبالنسبة لتمنتاشر، فهي بتساوي اتنين في تسعة. والتسعة دي عبارة عن مربع كامل. أمَّا واحد وعشرين، فهي بتساوي سبعة في تلاتة. والتلاتة عبارة عن الجذر التربيعي لتسعة. معنى كده، هيبقى تمنتاشر س أُس أربعة يساوي اتنين في، تلاتة س أُس اتنين الكل أُس اتنين. معنى كده هتبقى المعادلة بتاعتنا عبارة عن: اتنين في، تلاتة س أُس اتنين الكل أُس اتنين؛ ناقص سبعة في، تلاتة س أُس اتنين؛ زائد تلاتة يساوي صفر.

هنفرض إن ن تساوي تلاتة س تربيع. فلمّا هنكتب ن مكان تلاتة س تربيع في المعادلة اللي عندنا، هتبقى المعادلة عبارة عن: اتنين ن تربيع، ناقص سبعة ن، زائد تلاتة يساوي صفر. هنبدأ بعد كده نحلّل المقدار ده لعوامله. فهيبقى عندنا القوس اتنين ن ناقص واحد في القوس ن ناقص تلاتة يساوي صفر. بعد كده، هنستخدم خاصية الضرب الصفري. فهنلاقي ن تساوي نصّ، أو ن تساوي تلاتة. وإحنا عندنا ن بتساوي تلاتة س تربيع. فلمّا هنعوّض بتلاتة س تربيع مكان ن، هنلاقي تلاتة س تربيع تساوي نصّ. وكمان تلاتة س تربيع تساوي تلاتة.

هنكمّل بقية الحلّ في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة. وصلنا إن تلاتة س تربيع بتساوي نصّ. وتلاتة س تربيع بتساوي تلاتة. فهنقسم طرفَي المعادلة بتاع كل معادلة عندنا على تلاتة. فهنلاقي س تربيع تساوي سدس، وَ س تربيع تساوي واحد. بعد كده، هنجيب الجذر التربيعي للطرفين بتوع المعادلة اللي عندنا. فهنلاقي إن س تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لستة، على ستة. وكمان س تساوي موجب أو سالب واحد. بكده هتبقى حلول المعادلة هي: الجذر التربيعي لستة، على ستة. وسالب الجذر التربيعية لستة، على ستة. وواحد، وسالب واحد.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا إيه هي الصورة التربيعية لكثيرة الحدود. وعرفنا إنها على الشكل: أ ن تربيع، زائد ب ن، زائد ج، بحيث إن أ لا تساوي صفر، وَ أ وَ ب وَ ج عبارة عن أعداد حقيقية. وعرفنا إن إحنا نقدر نكتب بعض كثيرات الحدود اللي بيكون فيها المتغيّر س على الصورة دي. وده بعد ما نعرّف ن بدلالة س.

كمان عرفنا إن فيه ساعات كثيرات حدود ما نقدرش نكتبها على الصورة التربيعية. وده كان بيتحدّد لمّا بيبقى عندنا كثيرة حدود مكتوبة، بحيث إن حدودها مترتّبة ترتيب تنازلي حسب أُس المتغيّر اللي موجود في كلّ حدّ. فلو لقينا إن أُس المتغيّر بتاع الحدّ الأول ضعف أُس المتغيّر بتاع الحدّ التاني، ده معناه إن إحنا هنقدر نكتبها على الصورة التربيعية. ولو ما كانش ضعف أُس المتغيّر بتاع الحدّ التاني، فإحنا مش هنقدر نكتبها على الصورة التربيعية.

بعد كده عرفنا إزّاي نقدر نستخدم الصورة التربيعية؛ علشان نحلّ معادلات كثيرات حدود.