فيديو السؤال: إيجاد مجال ومدى دوال القيمة المطلقة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجال ومدى الدالة ﺩﺱ يساوي سالب أربعة في القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة ناقص واحد.

سنبدأ بتذكر تعريف مجال الدالة ومداها. مجال الدالة هو المجموعة الكاملة للقيم الممكنة للمتغير المستقل. بعبارة أخرى، مجموعة كل القيم الممكنة لـ ﺱ التي تجعل الدالة صحيحة، وتجعل مخرجاتها عبارة عن قيم ﺹ حقيقية.

ويعرف مدى الدالة أيضًا بأنه المجموعة الكاملة للقيم الناتجة الممكنة للمتغير المستقل بعد التعويض بقيم المجال. بعبارة أخرى، هو قيم ﺹ الناتجة التي نحصل عليها بعد التعويض بقيم ﺱ الممكنة.

لذا دعونا نفكر فيما تخبرنا به هذه الدالة. نأخذ قيمة ﺱ، ونعوض بها في التعبير ﺱ ناقص خمسة. وبغض النظر عن الناتج، علينا إيجاد القيمة المطلقة له. بعبارة أخرى، أن نجعل هذه القيمة عددًا موجبًا. ثم نضربها في سالب أربعة ونطرح واحدًا. هل توجد أي قيم لـ ﺱ تجعل الدالة غير حقيقية؟

حسنًا، لا، كل القيم الحقيقية لـ ﺱ تعطينا قيمًا حقيقية للدالة. وبذلك، يمكننا القول إن مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية. وفي الواقع، مجال الدالة التي تكون على صورة القيمة المطلقة لدوال ما كثيرة الحدود زائد أو ناقص أو مضروبًا في ثوابت، سيكون دائمًا مجموعة كل الأعداد الحقيقية. لكن ما هو المدى؟

حسنًا، لدينا طريقتان لإيجاد المدى. وإحدى الطرق هي التفكير في ذلك جبريًّا. حسنًا، أولًا، نعلم أنه إذا كان ﺱ يساوي خمسة، فإن القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة هي القيمة المطلقة لصفر، أي صفر. لكن إذا كان ﺱ لا يساوي خمسة، فعلينا أن نعوض بها. نحصل على ﺱ ناقص خمسة، ونجعل هذا موجبًا. وعليه، تصبح القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة دائمًا أكبر من صفر ما دام ﺱ لا يساوي خمسة. لذا، يمكننا القول إن القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة ستكون دائمًا أكبر من أو تساوي صفرًا.

تذكر أن الدالة تساوي سالب أربعة في القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة ناقص واحد. دعونا إذن نضرب طرفي المتباينة في سالب أربعة. عندما نفعل ذلك، يصبح الطرف الأيمن من المتباينة سالب أربعة في القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة. ويظل الطرف الأيسر صفرًا.

لكن تذكر أنه عندما نضرب متباينة في عدد سالب، فعلينا عكس رمز المتباينة. لذا، نحصل على سالب أربعة في القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة أصغر من أو يساوي صفرًا.

بعد ذلك، نطرح واحدًا من الطرفين. ونحصل على سالب أربعة في القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة ناقص واحد أصغر من أو يساوي سالب واحد. ثم نلاحظ أن مخرجات هذه الدالة ستكون دائمًا أصغر من أو تساوي سالب واحد. وباستخدام ترميز المجموعة، يكون المدى كما هو موضح. والمخرجات ستكون أكبر من سالب ما لا نهاية لكنها أصغر من أو تساوي سالب واحد.

لكن توجد طريقة أخرى يمكننا بها إيجاد المدى. وهي استخدام التمثيل البياني للدالة. دعونا ننظر إلى التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ ناقص خمسة. فنجده عبارة عن خط مستقيم واحد يمر بالمحور ﺹ عند سالب خمسة والمحور ﺱ عند خمسة. وﺹ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة كما هو موضح.

علينا أن نجعل جميع قيم ﺹ موجبة. وهو ما سيبدو كانعكاس للجزء من التمثيل البياني الذي يقع أسفل المحور ﺱ في المحور ﺱ. لاحظ أن هذا يتضمن نقطة تقاطع التمثيل البياني مع المحور ﺱ.

ضرب الدالة في سالب أربعة سينعكس في المحور ﺱ ويجعله أكثر انحدارًا بأربعة أمثال. ثم نطرح واحدًا، ما ينتج عنه انتقال رأسي بمقدار وحدة واحدة. المدى هو قيم ﺹ الممكنة في هذا التمثيل البياني. ونلاحظ أن أعلى نقطة في التمثيل البياني تقع عند خمسة، سالب واحد. إذن، قيم ﺹ ستكون دائمًا أقل من أو تساوي سالب واحد. والمدى سيكون نفس القيمة السابقة.